精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期 高二学年期中考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设正项等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在R上的函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 若在区间内有最小值，则实数a的取值范围是 D. 若与的图象在有唯一公共点，则或 11. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 数列是递增数列 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 函数的极小值为________. 13. 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时Sn最大，则t的取值范围是________． 14. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点，的“M距离”为.若动点P满足，则P点轨迹围成的图形面积为________；已知点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为2的数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求的值． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 17. 已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 18. 已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025—2026学年度下学期 高二学年期中考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】易得，，则 2. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则，而数列为正项等比数列， 故，故. 3. 已知函数，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的定义域为， ，令，得， 故的单调增区间为. 4. 设正项等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和及等差数列的性质求解即可. 【详解】设正项等差数列的首项为，则 ，所以. 根据等差数列的性质可得，. 5. 某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：5年后本利和是元. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上单调递增，所以，则， 故实数a的取值范围是 7. 已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，求出切线方程，将点代入切线方程，得到关于的一元二次方程；曲线有两条过点的切线等价于方程有2个不等实根，得到，解不等式即可. 【详解】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得 . 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而 ，所以 ， 解得或. 故实数t的取值范围是. 8. 已知函数是定义在R上的函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造辅助函数，根据导数与单调性关系得到在R上单调递增，结合单调性逐项判断即可. 【详解】令，则， 因为，所以，所以在R上单调递增. 又，所以. 对于A：当时，，A错误. 对于B：，即，又，所以. 故，B错误. 对于C：，即，又，所以. 故，C错误. 对于D：，即，又，所以. 又，所以，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象可知导函数的正负，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,当时，故在上单调递增，A正确， 对于B, 当时，故在上单调递增，B错误， 对于C, 当时，故在上单调递增，当时，故在上单调递减，故是的极小值点，C正确，D错误， 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 若在区间内有最小值，则实数a的取值范围是 D. 若与的图象在有唯一公共点，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系判断A；根据单调性判断B；根据导数与最值的关系判断C；令，原问题可转化为在上有唯一零点，分离参数得到，进一步转化为直线与 在上有唯一交点，根据导数与单调性及最值的关系作出，结合图象即可判断D. 【详解】对于A：. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以是极大值点，是极小值点，故有两个极值点，A正确. 对于B：当时， ，所以. 由A知，在上单调递减，所以，B错误. 对于C：由A知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也即的最小值， 因为在区间内有最小值，所以，即，C正确. 对于D：令 . 若与 的图象在上有唯一公共点，即在上有唯一零点. 令 ，则，令 ， 也即直线与 在上有唯一交点. ， 令，则，解得或. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又， ，作出的简图如下： 若直线与 在上有唯一交点，则或，D正确. 11. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 数列是递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】由累加法求数列通项，对A，计算并与 5 比较判断；对 B，利用分组求和法求前 n 项和 ，代入 计算判断；对 C，并项求和计算判断；对 D，将变形为​，分析其单调性即可判断. 【详解】已知，，则当时， ， 又当时，，所以. 对于选项A：，A错误； 对于选项B：前项和， 当时，，B正确； 对于选项C： ， 因为， ， 所以，C正确； 对于选项D：， 随增大，增大，​减小， 因此​​随增大而增大，数列是递增数列，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 函数的极小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】， 当时，，当时，， 故在处取极小值，且极小值为. 13. 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时Sn最大，则t的取值范围是________． 【答案】(6.5，7.5) 【解析】 【详解】数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x＝t∈(6.5，7.5),故填(6.5，7.5). 14. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点，的“M距离”为.若动点P满足，则P点轨迹围成的图形面积为________；已知点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】根据“M距离”可得P点轨迹方程为，由对称性可取面积，同理可得，根据结合导数可求. 【详解】设，因为 ，故 即， 因为仍满足方程， 故P点轨迹围成的图形关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称， 故P点轨迹围成的图形如图所示，该图形为正方形且对角线的长为 故轨迹围成的图形的面积为. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故 ， 故恒成立，故，故 设，，则， 设，则， 故， 由的性质可得 ，当且仅当时等号成立， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为2的数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：由可得， 且，故，故， 故是首项为4、公比为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，故， 故， 故． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则 ， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为. 17. 已知椭圆：的离心率为，右焦点的坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，得，． 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 18. 已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）不存在这样的三项，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列的性质以及通项公式求解； （2）利用错位相减求解； （3）假设其存在，根据等比数列的定义以及化简可得推出矛盾即可. 【小问1详解】 设公差为，由得， 又，故，所以． 设公比为，由且， 得，解得（舍），故． 【小问2详解】 由（1）知，，则， ． 两式相减得． 故． 【小问3详解】 ， 假设存在三项，，成等比数列，且， 则，即，整理得． 由得， 代入得， 整理得，即，与矛盾，故不存在这样的三项． 19. 已知函数． （1）求函数在区间上的最值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）最大值为1，最小值为0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合其符号讨论单调性后可求函数的最值； （2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围； （3）先证明，设，利用分析法结合前述不等式可得，据此可证题设中的不等式. 【小问1详解】 由可得， 当时，，当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 而，，，故的最大值为1，最小值为0． 【小问2详解】 当，即时，不等式可化为恒成立， 令，需．其中为在上的最大值. 而， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，故， 故． 当，则恒成立，此时； 当，即时，， 故，其中为在上的最小值. 同理在为减函数，在为增函数，故， 综上， . 【小问3详解】 我们再证明一个不等式：， 证明：设，则， 故在上为增函数，故， 故恒成立. 设，则， 下证：. 要证，即证， 设，故即证 ， 故即证，即证，其中. 因为，故，故 ， 故对任意恒成立，故对于任意，总有， 而，且，故由累乘可得， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $