第7章 一元一次不等式 单元测试卷 2025-2026学年 华东师大版七年级下册数学

**基本信息** 初中数学一元一次不等式单元卷，90分钟100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖不等式性质、解法及实际应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、含参不等式组整数解、实际应用（如租车载客）|结合纸带剪切（4题）等情境，考查性质应用与推理能力| |填空题|6/18|分段计费（11题）、利润折扣（12题）、不等式列写|以豆腐花促销（11题）、药品服用（15题）为背景，强化模型意识| |解答题|7/52|解不等式（组）、实际应用（电扇购进）、代数证明（糖水甜度）、含参综合（23题）|设置“中点包含”新概念（23题），融合生活情境与逻辑推理，提升创新应用能力|

第7章 一元一次不等式 单元测试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果 ，那么下列各式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．3≤a≤4 B．3≤a＜4 C．3＜a≤4 D．2≤a＜4 4．两条纸带，较长的一条长23 cm，较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（　　） A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 5．若不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C．m≥2 D．m≤2 6．不等式组的所有整数解的和是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（　　） A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人 C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人 8．不等式组 的解集是（　　） A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2 9．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 夏季到来， 花都区芙蓉度假村人气爆涨， 景区内某商店借机大力促销山水豆腐花 (单价： 5 元/杯)， 方案如下：若购买不超过 10 杯，按原价付款；若一次性购买 10 杯以上，超过部分打六折，小去有 60 元钱，最多可以购买山水豆腐花　 　杯。 12．某种商品进价为200元，标价为300元出售，要使利润率不低于，则这种商品最多能按　 　折销售． 13．若不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 14．列不等式：x的2倍与3的差小于零　 　. 15．一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用这种药量x(mg)范围为　 　． 16．已知关于x的不等式组 恰有三个整数解，则t的取值范围为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解不等式： 18．解不等式（组)： （1）并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 并写出它的整数解. 19．炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． （1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ （2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 20．生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． （1）原来的甜度为 　 　，加糖后的甜度为 　 　． （2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． （3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 21．一中集团某兄弟学校计划组织师生共556人参加一次秋季研学活动，如果租用7辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满．已知每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个． （1）求每辆大巴车和每辆中巴车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，最多可以租用多少辆中巴车？ 22．已知关于x的不等式组 （1）当 时，解该不等式组； （2）若该不等式组的解集中恰好含有三个奇数，求a的取值范围. 23．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如果 ，那么下列各式一定不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】 解： 、两边都减 ，不等号的方向不变，故原选项正确，不符合题意； 、因为 ，所以 3a＜3b，所以 ，故原选项正确，不符合题意； 、因为 ，所以-2a＞-2b，所以 ，故原选项错误，符合题意； 、因为 ，所以 （ ），故原选项正确，不符合题意. 故答案为： . 【分析】不等式的基本性质：（1）在不等式两边同加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）在不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）在不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 2．若 ，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， ∴A. ，正确，不符合题意， B. ，正确，不符合题意， C. ，正确，不符合题意， D. ，错误，符合题意. 故答案为：D. 【分析】不等式两边同加上或同减去一个数不等号方向不变，不等式两边同乘以或同除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或同除以一个负数，不等号方向改变，根据不等式的性质分别判断即可. 3．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．3≤a≤4 B．3≤a＜4 C．3＜a≤4 D．2≤a＜4 【答案】B 【解析】【解答】解： 解①得： 解②得： ∴ ∵不等式组有且仅有2个整数解， ∴ 故答案为：B. 【分析】首先将a作为字母系数分别解两个不等式得到进而根据"不等式组有且仅有2个整数解"即可得到a的取值范围. 4．两条纸带，较长的一条长23 cm，较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（　　） A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 【答案】B 【解析】【解答】解：设剪下的长度为x厘米，得： 23-x≥2（15-x） 23-x≥30-2x x≥7． 答：剪下的长度至少是7厘米． 故应选：B． 【分析】设剪下的长度为x厘米，则第一根纸带还剩（23-x）米，第二根纸带还剩（15-x）米，根据剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，列出不等式，求解得出最小整数解即可得出答案。 5．若不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C．m≥2 D．m≤2 【答案】D 【解析】【解答】解： 由①解得，x>2 又x<m，且不等式组无解， ∴m≤2 故答案为：D. 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，先解不等式组中的①不等式，再根据解集确定m的范围. 6．不等式组的所有整数解的和是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】【解答】解：， 由①得：x＜3； 由②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3， 即所有整数解为﹣1，0，1，2， 则所有整数解的之和为2， 故选C． 【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出所有整数解之和即可． 7．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（　　） A．两种客车总的载客量不少于500人 B．两种客车总的载客量不超过500人 C．两种客车总的载客量不足500人 D．两种客车总的载客量恰好等于500人 【答案】A 【解析】【解答】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人， 故选：A． 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 8．不等式组 的解集是（　　） A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2 【答案】A 【解析】【解答】解： 解不等式①，得 解不等②，得：x>0 则不等式组的解集为0<x≤2， 故答案为： A. 【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再由“大小小大取中间”找出各解集的公共部分即可求解. 9．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由于不等式组有解，则 ，必定有整数解0， ∵ ， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则 ； 解得 ． 故答案为：B． 【分析】根据题意可知不等式组有解，解出不等式组的解-x，由题意有，因此三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0，若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，可得 ，解这个不等式组即可知选项B符合题意。 10．关于的不等式组的最小整数解为1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】【解答】解： 当2m≥m-3时，m≥-3， 不等式组的解集为：x＞2m， 因为不等式组的最小整数解为1， 所以0≤2m＜1， 解得； 当2m＜m-3时，m＜-3， 不等式组的解集为：x≥m-3， 因为不等式组的最小整数解为1， 解得0＜m-1≤1， ∴1＜m≤2； ∵m＜-3， ∴不存在m. 综上所述的取值范围是. 故答案为：B. 【分析】根据同大取大分“2m≥m-3”和“2m＜m-3”两种情况，由该不等式组的最小整数解为1列出关于字母m的不等式组，求解可得答案. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11． 夏季到来， 花都区芙蓉度假村人气爆涨， 景区内某商店借机大力促销山水豆腐花 (单价： 5 元/杯)， 方案如下：若购买不超过 10 杯，按原价付款；若一次性购买 10 杯以上，超过部分打六折，小去有 60 元钱，最多可以购买山水豆腐花　 　杯。 【答案】13 【解析】【解答】解：设购买山水豆腐花x杯，根据题意得 解得， ∴最多可以购买山水豆腐花13杯． 故答案为：13 【分析】设购买山水豆腐花x杯，根据“水豆腐花 (单价： 5 元/杯)，若购买不超过 10 杯，按原价付款；若一次性购买 10 杯以上，超过部分打六折，小去有 60 元钱”即可列出不等式，从而得到x的取值范围，再根据x为整数即可求解。 12．某种商品进价为200元，标价为300元出售，要使利润率不低于，则这种商品最多能按　 　折销售． 【答案】七 【解析】【解答】解：设这种商品按折销售， 由题意得：， 解得， 则这种商品最多能按七折销售， 故答案为：七． 【分析】设这种商品按折销售，根据“ 利润率不低于 ”列出不等式，再求解即可. 13．若不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由不等式组无解，得， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据不等式组确定解集的口诀：同大取最大，同小取最小，大小小大中间找，大大小小解不了进行解题，由题意得关于a的不等式3a-2≤a+2，然后解不等式即可求出a的取值范围. 14．列不等式：x的2倍与3的差小于零　 　. 【答案】 【解析】【解答】由题意得 . 故答案为 . 【分析】根据x的2倍与3的差＜0，列出不等式即可. 15．一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用这种药量x(mg)范围为　 　． 【答案】15mg＜x＜30 【解析】【解答】解：根据题意，由“每日用量60～120mg，分4次服用”，用60÷4=15（mg/次），120÷4=30（mg/次）得到每天服用这种药的剂量为：15mg≤x≤30mg． 故答案为：15≤x≤30. 【分析】抓住根据已知条件：“每日用量60~120mg，分4次服用”分别将两端的数除以4，可得到x的取值范围. 16．已知关于x的不等式组 恰有三个整数解，则t的取值范围为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 要使不等式组有解，则 ，解得： 此时， 则不等式组的解集为： 要使不等式组恰有三个整数解，需分以下4种情况讨论：（1）当不等式组的解集表示在数轴上如图1时， ；（2）其恰好有2，3，4三个整数解 则 ，解得： ，无公共部分，不符合题意；（3）当不等式组的解集表示在数轴上如图2时， 其恰好有3，4，5三个整数解 则 ，解得： ，公共部分为 当不等式组的解集表示在数轴上如图3时， 其恰好有4，5，6三个整数解 则 ，解得： ，无公共部分，不符合题意 当不等式组的解集表示在数轴上如图4时， 其恰好有5，6，7三个整数解 则 ，解得： ，无公共部分，不符合题意 综上，当 时，题干中的不等式组恰好有三个整数解 故答案为： . 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组恰有三个整数解，结合数轴，分4种情况分析讨论，分别求解即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．解不等式： 【答案】解：， ， ， ， ． 【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。 18．解不等式（组)： （1）并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组 并写出它的整数解. 【答案】（1）解： ∴6-2（2x-4)≥3（1-5x)， 6-4x+8≥3-15x， -4x+15x≥3-6-8， 11x≥-11， 则x≥-1， 将解集表示在数轴上如下： （2）解：解不等式①得： x≥-3， 解不等式②得： x<3， 则不等式组的解集为-3≤x<3，其整数解为-3、-2、-1、0、1、2. 【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可. （2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案. 19．炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． （1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ （2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 【答案】（1）解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台， 解得： 答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台． （2）解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台． 购进款小电扇至少80台． 【解析】【分析】(1) 设购进A款小电扇台，根据“ 购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元 ”列一元一次方程解答即可； (2) 设购进款小电扇台，根据“ 用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台 ”列关于y的一元一次不等式解答即可． （1）解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台， 解得： 答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台． （2）解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台． 购进款小电扇至少80台． 20．生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． （1）原来的甜度为 　 　，加糖后的甜度为 　 　． （2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． （3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】（1）； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 【解析】【解答】解：（1）原来糖水的质量为 100 克，其中含糖 a 克，所以原来的甜度为。 加入 10 克糖后，糖水总质量变为 100 + 10 = 110 克，含糖量变为 a + 10 克，所以加糖后的甜度为。 故答案为：；。 【分析】本题以糖水加糖变甜的生活情境为背景，综合考查代数式的表示、作差法比较大小以及一元一次不等式组的应用。 （1）根据甜度的定义，用含 a 的代数式表示加糖前后的甜度； （2）计算加糖前后甜度的差，化简得，结合 0 < a < 100 得差大于 0，从而证明加糖后甜度更大； （3）根据加糖后甜度不低于 10% 且不超过 15%，列出关于 a 的一元一次不等式组，求解并取整数或实际范围。注意分式运算的准确性以及不等式方向的判断。 21．一中集团某兄弟学校计划组织师生共556人参加一次秋季研学活动，如果租用7辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满．已知每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个． （1）求每辆大巴车和每辆中巴车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，最多可以租用多少辆中巴车？ 【答案】（1）解：设每辆大巴车的乘客座位数是x个，每辆中巴车的乘客座位数是y个， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆大巴车的乘客座位数是53个，每辆中巴车的乘客座位数是37个． （2）解：设租用中巴车a辆，则租用辆大巴车， 依题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最大值为3， 答：最多可以租用3辆中巴车． 【解析】【分析】（1）设每辆大巴车的乘客座位数是x个，每辆中巴车的乘客座位数是y个，根据“ 组织师生共556人参加一次秋季研学活动 ”和“ 每辆大巴车的乘客座位数比中巴车多16个 ”列出方程组，再求解即可； （2）设租用中巴车a辆，则租用辆大巴车，根据“ 为将所有参加活动的师生装载完成 ”列出不等式，再求解即可. （1）设每辆大巴车的乘客座位数是x个，每辆中巴车的乘客座位数是y个， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆大巴车的乘客座位数是53个，每辆中巴车的乘客座位数是37个． （2）设租用中巴车a辆，则租用辆大巴车， 依题意，得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最大值为3， 答：最多可以租用3辆中巴车． 22．已知关于x的不等式组 （1）当 时，解该不等式组； （2）若该不等式组的解集中恰好含有三个奇数，求a的取值范围. 【答案】（1）解：当 时，不等式组可化为 解得-2<x<4 （2）解：解不等式组，得-2a-1<x<2a+3. ∵ 即-2a-1，2a+3的平均值为1. 若该不等式组的解集中恰好含有三个奇数，则这三个奇数为-1，1，3， ∴ 解得 0<a≤1 【解析】【分析】⑴若给定参数的值，可以将参数的值代会原不等式组，然后解不等式组即可. ⑵对于含参数不等式组，可以先解不等式组，用参数表示出不等式组的解集，再根据题意确定参数的取值范围即可. 23．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【答案】（1）解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：，∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含. （2）解：（2）解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含，∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴，解得：， 又∵，∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出. （3）解：（3）解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：，∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． 【解析】【分析】（1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可； （2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可； （3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可． （1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：， ∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）解：解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴， 解得：， 又∵， ∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出 （3）解：解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：， ∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $