1.1 集合 讲义-2027届高三数学一轮复习

1.1 集合 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U, ∁U(∁UA)=A. 考点一　集合含义与表示 考点二　集合间的基本关系 考点三　集合的运算 考点四　集合的新定义问题 考点一　集合含义与表示 1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 2．（25-26高三上·江苏常州·月考）（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高三上·上海金山·开学测试）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 4．（25-26高三上·四川成都·开学测试）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 考点二　集合间的基本关系 5．（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川内江·开学测试）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 考点三　集合的运算 10．（25-26高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京石景山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·四川内江·开学测试）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 14．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 考点四　集合的新定义问题 15．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）（多选）对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（   ） A．是完全集合 B．对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C．若，则是完全集合 D．若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 17．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 18．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 19．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 1．（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 3．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·山东济南·开学测试）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 5．（安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三上学期5月学情自测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·北京朝阳·开学测试）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 10．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 11．（25-26高三上·四川宜宾·开学测试）（多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 12．（2026·山西临汾·二模）（多选）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 14．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 15．（25-26高三上·甘肃兰州·开学测试）已知，，则___________． 16．（25-26高三上·上海·开学测试）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 17．（25-26高三上·北京海淀·开学测试）已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. (1)设，写出2个的1阶伴随子集； (2)设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； (3)设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U, 且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U, ∁U(∁UA)=A. 考点一　集合含义与表示 考点二　集合间的基本关系 考点三　集合的运算 考点四　集合的新定义问题 考点一　集合含义与表示 1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 2．（25-26高三上·江苏常州·月考）（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 3．（25-26高三上·上海金山·开学测试）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 4．（25-26高三上·四川成都·开学测试）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 考点二　集合间的基本关系 5．（2026·江西·二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【详解】求解集合，由得，即. 故. 求解集合，由且，得，整数解为，故. 所以，该集合元素个数为. 因为个元素的集合真子集个数，代入得真子集个数为. 6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 7．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合中元素的特征，变形的元素表达式，结合整数性质判断集合间的包含关系. 【详解】集合，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成的形式. 对集合中任意元素，变形得，因为，所以， 因此符合中元素的形式，即任意都有，可得，A正确； 取奇数，（时），但若，得，因此，说明， ， 取奇数，（时）且（时，），即和有公共元素，交集不为空， 因此B、C、D错误. 8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 9．（25-26高三上·四川内江·开学测试）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 由，即，显然， 解得， 又， 当时， 所以； （2），，， ，解得，则，满足， 所以； （3）因为， 所以或，又，， 所以或，解得或． 所以的取值范围是或． 考点三　集合的运算 10．（25-26高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或，所以或， 由，所以，解得或， 所以或，所以或． 11．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，又，所以． 12．（2026·北京石景山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 13．（25-26高三上·四川内江·开学测试）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解分式不等式求解集合A，求解函数定义域可得集合B，然后利用并集运算求解即可；    （2）先求出集合B的补集，然后利用交集运算得，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得，所以， 因为，即，所以，解得， 所以， 所以； （2）由，得或， 若，则，， 当，即时，满足； 当，即时，满足； 综上，的取值范围是或. 考点四　集合的新定义问题 15．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 16．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）（多选）对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（   ） A．是完全集合 B．对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C．若，则是完全集合 D．若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 【答案】ABC 【分析】根据“完全集合”的定义即可判断A；根据题意存在，继而可推出只能是，进而可判断B；设中的元素从小到大依次为，可得，进而得到即可判断C；由“完全集合”的定义，结合使完全集合的元素尽可能少，得出即可判断D． 【详解】解：对于A，容易验证，都可以被中的元素及其和覆盖到， 符合完全集合的定义，故A正确； 对于B，根据完全集合的定义，必存在，则， 要使中元素从小到大成等差数列，只能是，因此这样的完全集合是唯一的，故B正确； 对于C，设中的元素从小到大依次为，由于，而， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以，易知该集合是完全集合，故C正确； 对于D，要使完全集合的元素尽可能少，需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数， 设中的元素从小到大依次为， 最优的策略：令表示前项和），即，， 此时， 即只有10个元素不满足条件，只需再加上1003， 即， 此时有，且都可以被中的元素及其和覆盖到， 因此中的元素最少有11个，故D错误． 17．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 18．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 19．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【答案】(1)；； (2) (3)676 【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可. （2）先分析集合的元素特征，证明中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项. （3）先根据的元素个数限制推导集合、为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解的最大值. 【详解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 1．（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解可得集合，再将集合使用列举法表示，进而可求得. 【详解】解，得或，因此； 满足的自然数为：， 因此，，故， 故选：B． 2．（25-26高三上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 3．（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东济南·开学测试）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 5．（安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三上学期5月学情自测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B错；，C错；，D对. 6．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以，又， 由，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 8．（25-26高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 9．（25-26高三上·北京朝阳·开学测试）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 11．（25-26高三上·四川宜宾·开学测试）（多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B．若是无理数，则也是无理数. C．若，则实数的值为1或2. D．，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 12．（2026·山西临汾·二模）（多选）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. 13．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 14．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 15．（25-26高三上·甘肃兰州·开学测试）已知，，则___________． 【答案】 【详解】令，解得，即集合； 令，解得，即集合； 所以. 16．（25-26高三上·上海·开学测试）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式分别求出集合，可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果. 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得 （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为. 17．（25-26高三上·北京海淀·开学测试）已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，.若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集. (1)设，写出2个的1阶伴随子集； (2)设，非空集合不存在1阶伴随子集，求中元素个数的最小值； (3)设和互为3阶伴随子集，求中元素个数的最大值. 【答案】(1) (2) (3)240 【分析】（1）根据1阶伴随子集的定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合假设法进行求解即可； （3）利用转化法，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）A共有12个1阶伴随子集，形如是1，2，3，4的排列）. （2）一方面，若，则，对. 令，则是的1阶伴随子集. 另一方面，若.令. 假设是的1阶伴随子集. 则互不相同，且恰取遍. 有，不可能. 综上，． （3）将中的元素自然的看做小方格，A，B中的方格分别记为“○”、 “△” A，B互为3阶伴随子集每个标记格恰有3个异标记格与之同行或同列. 一方面，如图标记时，. 另一方面，设A，B互为3阶伴随子集. 设有个双b标记行，个双b标记列. 注意到以下两个事实： ①每个双标记行（列）最多有3个“○”格，最多有3个“△”格； ②若某行（列）只有“○”（“△”）格，则该行（列）的每个“○”（“△”）格所在的列（行）必是双标记的. （i）若，则， （ii）若，与（i）同理. （iii）若，则最多有5个单标记行，每行最多21个格被双标记，否则由②，，矛盾. （iv）若，与（iii）同理. （v）若且，设同行或同列的异标记格对有个，则． 每个双标记行（列）最多产生9个异标记格对，， 综上，. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $