2.2 基本不等式及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式及其应用核心考点，涵盖内容辨析、最值求解（配凑法、常数代换等）、恒成立问题及实际应用等10大题型，按“基础—方法—综合”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法提炼、真题训练及分层练习，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性与系统性。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新方法指导如配凑法分凑系数与凑项、常数代换法“1”的转化策略，结合高考真题示例培养学生运算能力与模型观念。设置选择、填空、解答分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.2 基本不等式及其应用·复习讲义 目录 题型1: 基本不等式的内容及辨析 3 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 4 题型3：配凑法求最值 4 题型4：常数代换法求最值 5 题型5：条件等式求最值 6 题型6：消元法求最值 6 题型7：分离常数法求最值 6 题型8：换元法求最值 7 题型9：含参恒成立问题 8 题型10：基本不等式的实际应用 9 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式链 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： 3. 不等式的变形 (1) (2) （） 4. 最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. 提醒 (1)最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. (2)利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 题型1: 基本不等式的内容及辨析 【例1.1.】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1.2.】 （多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【例1.3.】 下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 【例2.1.】 （2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【例2.2.】 已知，，且，则的最小值________. 【例2.3.】 （多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 若满足，则的最大值是______. 【例2.5.】 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型3：配凑法求最值 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 例：，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 例： 【例3.1.】 已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【例3.2.】 设，则函数的最大值为_____. 【例3.3.】 若，则函数的最小值为_____. 【例3.4.】 若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型4：常数代换法求最值 方法提炼 常数代换法： 将确定的常数（定值）变形为1，把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 【例4.1.】 已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例4.3.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【例4.5.】 已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【例4.6.】 已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 题型5：条件等式求最值 【例5.1.】 （2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【例5.2.】 求 的最大值为______. 【例5.3.】 已知实数，满足，则的最大值为_____. 【例5.4.】 已知实数满足，且，则的最小值为_____． 题型6：消元法求最值 方法提炼 对于，求. (1) 换元消元法： ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. (2) 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量 型不等式求最值。 【例6.1.】 实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6.2.】 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【例6.3.】 已知实数，满足，则的最小值为______． 【例6.4.】 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【例6.5.】 已知，则的最小值是______. 题型7：分离常数法求最值 方法提炼 对于分式型不等式求最值， (1) 例或的最值求解，设,转化为的最值模型. (2) 若分子的次数不低于分母次数，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，转化为其它形式来求解；若分子次数低于分母次数，可以通过分子分母同除法来转化计算求解. 【例7.1.】 若，则函数的最小值为______，此时______. 【例7.2.】 已知，则的最小值为______. 【例7.3.】 设，则函数的最小值为（    ） A．0 B． C．-1 D． 【例7.4.】 函数在上的最大值为_______________． 题型8：换元法求最值 方法提炼 (1) 双换元 形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (2) 三角换元 一般情况下，能转化为或形式的式子，可以通过三角换元来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值. 【例8.1.】 已知正数满足，则的最小值为__________. 【例8.2.】 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【例8.3.】 若实数，满足，则的最小值为______. 【例8.4.】 已知实数、满足，则的最小值为______. 【例8.5.】 若，且，则的最大值为______. 【例8.6.】 已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9：含参恒成立问题 方法提炼 若是已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值. 恒成立⇒；恒成立⇒. 【例9.1.】 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例9.2.】 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【例9.3.】 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9.4.】 设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【例9.5.】 若对恒有，则的取值范围是_____ 【例9.6.】 已知，为正实数，且，则不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 题型10：基本不等式的实际应用 【例10.1.】 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【例10.2.】 某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【例10.3.】 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______. 【例10.4.】 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.2 基本不等式及其应用·复习讲义 目录 题型1: 基本不等式的内容及辨析 3 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 5 题型3：配凑法求最值 8 题型4：常数代换法求最值 10 题型5：条件等式求最值 13 题型6：消元法求最值 15 题型7：分离常数法求最值 18 题型8：换元法求最值 20 题型9：含参恒成立问题 24 题型10：基本不等式的实际应用 28 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式链 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： 3. 不等式的变形 (1) (2) （） 4. 最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. 提醒 (1)最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. (2)利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 题型1: 基本不等式的内容及辨析 【例1.1.】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【例1.2.】 （多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式的内容及辨析 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 【例1.3.】 下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【例1.4.】 （多选）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的内容及辨析、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 题型2: 基本不等式求和（积）的最值 【例2.1.】 （2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 【例2.2.】 已知，，且，则的最小值________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，进而可求的最小值. 【详解】， ， ， . 当且仅当即时取等号， 的最小值为4，则的最小值为2. 故答案为：2 【例2.3.】 （多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.75 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 【例2.4.】 若满足，则的最大值是______. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】由均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故的最大值是. 故答案为： 【例2.5.】 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 题型3：配凑法求最值 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 例：，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 例： 【例3.1.】 已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】因为， 所以可得， 则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 故选：A． 【例3.2.】 设，则函数的最大值为_____. 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意，由可得，则可以将变形为，再由基本不等式的性质可得，即可得答案. 【详解】， 当且仅当“，即”时，等号成立． 因为， ∴函数的最大值为， 故答案是：. 【例3.3.】 若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【难度】0.82 【知识点】对勾函数求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【例3.4.】 若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 题型4：常数代换法求最值 方法提炼 常数代换法： 将确定的常数（定值）变形为1，把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 【例4.1.】 已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 【例4.2.】 已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 【例4.3.】 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【例4.4.】 已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【例4.5.】 已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】利用平方关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 【例4.6.】 已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 题型5：条件等式求最值 【例5.1.】 （2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 【例5.2.】 求 的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】先根据基本不等式，得出结论，，结合该结论可得，结合为常数，可求的值，进而得到的最大值. 【详解】因为，（当且仅当时取等号）， 所以(*)，要想此式为定值则分子分母对应系数成比例， 即，解得， 将代入(*)式，得：，（当且仅当时取等号）. 故 的最大值为. 【例5.3.】 已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】条件等式求最值 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【例5.4.】 已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 题型6：消元法求最值 方法提炼 对于，求. (1) 换元消元法： ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. (2) 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量 型不等式求最值。 【例6.1.】 实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】运用代入法将代数式 转换为只含有x的一元代数式，运用基本不等式求解. 【详解】 ，所以，当且仅当取等号； 故选：C. 【例6.2.】 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【例6.3.】 已知实数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由得，代入结合基本不等式即可求解最值． 【详解】由已知得，， 所以， 当且仅当，即时取得等号． 故答案为： 【例6.4.】 已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【例6.5.】 已知，则的最小值是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】解析  解法一（换元法）：由，可得，由，可得， 则，当且仅当，； 解法二（基本不等式）：由于，是积式，而目标式是和式，所以可以配凑成基本不等式，，故， 当且仅当，即，时取得等号； 解法三（齐次化）：已知式为四次方，而未知式需要通过平方才能构造出四次方，所以不妨令，即，此时我们同除以得：，令，故，即关于的方程对有解，所以，，此时，成立，即故答案为. 题型7：分离常数法求最值 方法提炼 对于分式型不等式求最值， (1) 例或的最值求解，设,转化为的最值模型. (2) 若分子的次数不低于分母次数，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，转化为其它形式来求解；若分子次数低于分母次数，可以通过分子分母同除法来转化计算求解. 【例7.1.】 若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 【例7.2.】 已知，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【例7.3.】 设，则函数的最小值为（    ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】设，，则，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】设，，则， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 【例7.4.】 函数在上的最大值为_______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 题型8：换元法求最值 方法提炼 (1) 双换元 形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (2) 三角换元 一般情况下，能转化为或形式的式子，可以通过三角换元来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值. 【例8.1.】 已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】换元后可得，再由及“1”的技巧化简，利用均值不等式求解. 【详解】令，则， 即， ， 当且仅当，即时，解得时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 【例8.2.】 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 【例8.3.】 若实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】解析  （对偶换元）令，，，则，，由题知，则，所以，，所以， 令，则，，则，当且仅当，即时取等号.故答案为：. 【例8.4.】 已知实数、满足，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】设，，可得出，令，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，设，， 所以， 令，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【例8.5.】 若，且，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值 【详解】解析  解法一：（待定系数法）令，对比系数可知：，解得：，故； 解法二：（三角换元），，，则， 由辅助角得 ，故答案为. 【例8.6.】 已知正实数a，b，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值 【分析】令，则，再代入已知，可得关于的一元二次方程有正实数根，再根据求解即可. 【详解】令，则， 则， 由题意知关于的一元二次方程有正实数根， 因为，， 所以，解得， 即. 所以的取值范围是. 故选：D 题型9：含参恒成立问题 方法提炼 若是已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值. 恒成立⇒；恒成立⇒. 【例9.1.】 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 【例9.2.】 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 【例9.3.】 已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、条件等式求最值 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 【例9.4.】 设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 【例9.5.】 若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式的恒成立问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【例9.6.】 已知，为正实数，且，则不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【详解】解析  解法一：权方和不等式：由，可得，当且仅当时等号成立，由不等式，则，解得， 即实数的取值范围为. 解法二：柯西不等式：，（下同法一）故答案为. 题型10：基本不等式的实际应用 【例10.1.】 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【例10.2.】 某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【难度】0.4 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式的实际应用 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 【例10.3.】 已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、基本不等式的实际应用 【分析】根据锥体与外接球的性质，结合棱锥的体积公式以及基本不等式的三维形式进行求解即可. 【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 ， 设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ， 则正三角形的外接圆的半径为 ，所以 ， 即 ，所以 ， 又正三棱锥体积为 ， 当且仅当 即 时，等号成立， 所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4. 故答案为:4. 【例10.4.】 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $