精品解析：广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题卷

2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君 审题人：温红娜 考试时间：120分钟 分数：150分 一､单选题： 1. 若，，，，则（ ） A. p，q均为真命题 B. ，均为假命题 C. ，均为真命题 D. p，q均为假命题 【答案】C 【解析】 【详解】若，则命题不成立，则为假命题，故为真命题； 若，则，则命题为真命题. 2. 设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用方差性质计算求解. 【详解】因为样本数据，，，的方差为， 所以由方差的性质可知， 数据，，，的方差为． 3. 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表． 1 2 3 4 5 10 15 19 23 28 根据上表可得线性回归方程为，则（ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解． 【详解】由表格得，， 将样本中心代入线性回归方程得，． 4. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A. 7 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法和分布乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种， 故选：C． 5. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 6. 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 故选：D 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，下四分位数为，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差，C正确； 对于D，分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关，还与各层的样本量和层间均值差异有关，即使，总体方差也不等于，还需要考虑各层的样本量权重，D不正确． 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D. 一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项分布的方差判断A选项；根据正态分布的对称性判断B选项，根据条件概率与事件的独立性判断C选项，根据超几何分布的概率公式判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项错误； 对于B选项，由，故B选项正确； 对于C选项，由，有，可得事件与相互独立，故C选项正确； 对于D选项，由，解得或6，故D选项错误． 故选：BC 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点，连接， 则，所以， 连接，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 则三点共线，， 所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知， 而到底面的距离为2，所以到底面的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 三､填空题 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 13. 直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 【答案】1或 【解析】 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 14. 已知数列的通项公式是，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，再计算，利用裂项相消化简. 【详解】，则， 又，所以， 则. 故答案为： 四､解答题 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）性别与使用AI工具的熟练度无关； （2） 0 1 2 3 数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. 【小问2详解】 男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】（1） 取中点，连接 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，先利用平行四边形性质证，再利用线面平行判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求两平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 不妨取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 19. 已知椭圆的左顶点，上顶点. （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 【答案】（1） （2） （ⅰ）当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有1个交点，即左顶点，不合题意，所以直线的斜率存在； 设直线的方程为，设，， 由，消去整理得， 所以，解得， ，， 因为，所以直线的方程为 令，得， 同理可得. 所以. 又因为， ，所以 （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由左顶点，上顶点，直接得的值，从而得到椭圆的方程； （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立椭圆与直线的方程，并表示出方程，得坐标，利用韦达定理可求得横坐标之和为定值，并得到与的面积之比为定值，并由的面积为，求得与的面积之和. 【小问1详解】 由椭圆的左顶点，上顶点，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为，的中点，得， 所以 所以与的面积之比为. 所以当的面积为时， 与这两个三角形的面积之和是为定值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君 审题人：温红娜 考试时间：120分钟 分数：150分 一､单选题： 1. 若，，，，则（ ） A. p，q均为真命题 B. ，均为假命题 C. ，均为真命题 D. p，q均为假命题 2. 设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量与线性相关，现收集了5组样本数据如下表． 1 2 3 4 5 10 15 19 23 28 根据上表可得线性回归方程为，则（ ） A. 4 B. 4.4 C. 4.5 D. 5 4. 某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A. 7 B. 10 C. 14 D. 16 5. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 6. 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D. 一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 三､填空题 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 13. 直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 14. 已知数列的通项公式是，设，则______． 四､解答题 15. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 19. 已知椭圆的左顶点，上顶点. （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $