2026年天津市初中学业水平考试模拟数学试卷

**基本信息** 2026天津中考数学模拟卷以氢能、《丙午年》邮票、隧道安全等真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，梯度设计适配二模综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|实数运算、视图、反比例函数等|第8题以《孙子算经》“鸡兔同笼”考方程建模，体现文化传承| |填空题|6题18分|概率、新定义函数、正方形综合|第16题“特征值”定义考抽象能力，第17题结合几何变换考推理| |解答题|7题66分|二次函数、圆的切线、动态几何|第21题隧道限高架问题考二次函数应用，第25题二次函数与几何综合考创新意识|

2026天津市初中学业水平考试模拟试卷 数学科 考试时间：100分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题 1．一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，古代的“斗”，是官仓、粮栈、米行、家庭中必备的粮食度量用具．下列图形是“斗”的主视图的是（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 6．的值等于（    ） A． B． C． D． 7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元400年前后）中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．其大意为：鸡与兔子共有35个头，共有94只脚，设鸡有只，那么可以列方程表示问题中的数量关系为（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（   ） A．x B． C． D． 10．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，与边相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 12．如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．小刚解锁手机时，清晰记得锁屏密码的前四位数字，但后两位数字已记不清．已知后两位均为中的数字，且回忆可知：倒数第二位数字只可能是中的一个；最后一位数字只可能是中的一个．小刚随机组合这两位数字尝试解锁，一次就能成功解锁的概率 14．计算：___________． 15．已知，，则的值为________． 16．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 17．如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 18．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点A的圆． （Ⅰ）线段AB的长等于______； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要求证明）______． 三、解答题 19．解不等式组． 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 20．为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图①和图②．图①是每天完成书面作业时间扇形统计图，图②是每天完成书面作业时间条形统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①这次调查的样本容量是_____，组距为_____，组数为_____； ②在扇形统计图中，的值为_____，组的圆心角是_____度； (2)请补全条形统计图； (3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过60分钟的学生人数． 21．某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 22．如图，以线段为直径作半圆，圆心为点O，C是半圆外一点，，D为半圆上异于A的一点，且． (1)求证：是半圆O的切线； (2)取中点H，连接，并延长交于点E，连接，交于点F．若，，求的长． 23．已知家、公园、书店依次在同一条直线上，公园离家，书店离家．李华从家出发途中，匀速骑行后提速，继续匀速骑行到达书店；在书店学习一段时间然后回家；回家途中，匀速骑行后到达公园；在公园停留后，继续匀速骑行回到家．给出的图象反映了这个过程中李华离家的距离与离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开家的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离家的距离/ 1.2 ________ ________ 20 ________ (2)填空： ①李华从家到书店途中，提速后的骑行速度为________； ②李华在书店学习的时间为________h； ③书店到公园的距离为________ ； ④当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (3)当李华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速骑行了直接到达了公园，锻炼了后，又沿原路原速匀速骑行返回．那么途中两人相遇时爸爸从公园出发了多久？（直接写出结果即可） 24．如如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，点B在y轴的正半轴上， OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°．D，E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接DE，交OA于点F，将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，设D，E两点的运动时间为t秒． （Ⅰ）求点的坐标及的度数； （Ⅱ）若折叠后与重叠部分的面积为， ①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请写出与的函数关系式，并直接写出的取值范围； ②当重叠部分面积最大时，把绕点旋转，得到，点的对应点分别为，连接，求面积的最大值（直接写出结果即可）． 25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《2026天津市初中学业水平考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B A C A B C 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结果． 【详解】∵数轴上原点表示的数为0， 先向负半轴移动2025个单位长度，得到的数为， 再向正方向移动2026个单位长度，得到点P表示的数为， ∴ 点P表示的数是1． 2．B 【详解】解：“斗”的主视图是： ． 3．D 【分析】根据夹逼法估计无理数的取值范围，先找到和31相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的范围即可得到结果． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 对不等式三边同时加1，得 即 ∴的值在6和7之间． 4．C 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形； B. 该选项不是轴对称图形； C. 该选项是轴对称图形； D. 该选项不是轴对称图形． 5．B 【分析】把一个大于10的数记作的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 6．A 【分析】代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．C 【分析】将各点纵坐标代入反比例函数解析式，即可求出横坐标，直接比较大小即可. 【详解】∵ 点都在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ． 8．A 【分析】根据总头数得到兔子数量，再根据总脚数的等量关系列出方程即可。 【详解】解：∵设鸡有只，鸡和兔总共有头，即总只数为， ∴兔子的数量为 只， 又∵每只鸡有只脚，每只兔有只脚，总脚数为， ∴根据“鸡的总脚数兔的总脚数”， 可得方程． 9．B 【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 10．C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，，根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质及三角形外角性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定正确，故A选项不符合题意； ∵与不一定相等，与不一定相等， ∴与不一定全等，故B选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故C选项一定正确，符合题意； ∵与不一定相等，，，， ∴与不一定相等，故D选项不一定正确，不符合题意． 11．C 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 12．C 【分析】本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握根据题意得到函数的解析式是解题的关键，设，，易得，在中，，即可得到的取值范围；由①得， 易得，，故当时，，即可得到裁剪矩形后四边形为剩余的面积；③设此块布料的出售总价为元，由题可得，由于，故当时，取最大值，即可得到③的答案． 【详解】解：①如图，设剪下来的矩形为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，设， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的取值范围为；故①正确； ②：由①得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴裁剪矩形后四边形为剩余的面积为平方厘米，故②错误； ③设此块布料的出售总价为元， ∵此块布料的出售为元/平方厘米， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此块矩形布料出售总价的最大值为元，故③正确． 故选C． 13． 【分析】根据题意列表，进而根据概率公式可得一次就能成功解锁的概率． 【详解】解：根据题意，可列下表， 1 3 7 2 1,2 3,2 7,2 8 1,8 3,8 7,8 由上表可知：总共有6种情况，其中正确的情况只有一种， ∴根据概率公式可得一次就能成功解锁的概率为． 14． 【详解】解：. 15． 【分析】先计算和的值，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 16． 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 17． 【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可得，，由勾股定理得出，再由直角三角形的性质即可得出结果； （Ⅱ）由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，，作于点， 证明，得出，，再证明，得出，求出，由直角三角形的性质可得，作于点，则为等腰直角三角形，求出，即可得出，由勾股定理可得，由（Ⅰ）可得，即可得出结果． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴； （Ⅱ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴，， 如图，作于点， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可得， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18．【答题空1】 【答题空2】图见解析；取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 【分析】本题主要考查了作圆的切线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，根据相关知识点正确作图是解题的关键． （Ⅰ）由勾股定理即可求解； （Ⅱ）取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，由全等三角形可得，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，由图可知，则是直径，与交于点，则点即为圆心，连接并延长交圆于点，则为直径，连接交圆于点，连接交于点，则有，连接并延长交于点，根据三角形的三条高相交于一点，则，则，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，因为，，，则，则，则，则连接即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：， 故答案为：． （Ⅱ）如图，即为所求． 答案为：取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 19．(1) (2) (3)数轴见解析 (4) 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集． 【详解】（1）解不等式①，移项得， 合并同类项得； （2）解不等式②，移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）根据大小小大中间找， 故原不等式组的解集为． 20．(1)100，15， 5； 40；. (2)见解析． (3)该校每天完成书面作业不超过60分钟的学生人数有990人． 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据样本容量、组距、组数等概念，结合条形统计图和扇形统计图中组所给数据，即可解题． （2）样本容量和其它组学生人数计算即可得出D组人数，补全条形图即可； （3）本题考查用样本估计总体，根据样本中每天完成书面作业不超过60分钟的学生人数占样本总数的多少，估计该校总体每天完成书面作业不超过60分钟的学生人数即可． 【详解】（1）解：（人），故样本容量为100；组距为15，组数为5； ，∴， 组的圆心角是； （2）由D组人数为：（人），故条形统计图为： （3）解：由题知样本中每天完成书面作业不超过60分钟的有、、组， 则每天完成书面作业不超过60分钟的人数占样本容量的， 因为该校共有1800名学生， 则该校每天完成书面作业不超过60分钟的学生人数为（人）． 21．(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，连接、，证明，得出，即可得证； （2）连接，由（1）可得，则，证明，得出，求出，，，再解直角三角形得出，，从而可得，求出，证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为半圆O的半径， ∴是半圆O的切线； （2）解：如图：连接， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．(1)6，14.4，20； (2)①28；②3；③8；④ (3)途中两人相遇时爸爸从公园出发了． 【分析】（1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③直接根据函数图象即可得出答案； ④分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）先求出爸爸的速度为，进而求出关系式，联立组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，， 李华从家到书店提速后的速度为， 当时，则； 当时，李华停留在书店，则； 故答案为：6，14.4，20； （2）解：①李华从家到书店提速后的速度为； 故答案为：28； ②李华在书店学习的时间为， 故答案为：3； ③书店到公园的距离为， 故答案为：8； ④当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，； （3）解：当时爸爸到达公园， 当时爸爸离开公园返回， 当时爸爸返回家中， 则爸爸离家距离y与李华离开家的时间x之间的图象如下图所示： 当时，爸爸的速度为：， ， 途中两人相遇时，得 解得， ， ∴途中两人相遇时爸爸从公园出发了． 24．（Ⅰ）；；（Ⅱ）①；② 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求得OB的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得∠OED=60°； （Ⅱ）①分点O′落在线段OA上和点O′落在线段OA延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解； ②利用①的方法求得△O′EF与△AOB重叠部分是四边形时，函数的解析式，再比较求得重叠部分面积最大时，t的值，当PQ垂直AE的延长线时，点A到直线PQ的距离AH最长，△APQ面积取得最大值，根据面积公式即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2， ∴AB=OA=1， ∴， ∴A(1，)， ∵∠EOD=90°， OE=t， OD=t， ∴tan∠OED= =， ∴∠OED=60°； （Ⅱ）①∵∠OED=60°，∠AOB=30°， ∴∠OFE=90°， ∴OA⊥DE， ∴将△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF，折叠后点O′落在直线OA上， 如图，当点O′落在线段OA上，△O′EF与△AOB重叠部分是三角形时， ∵△OEF沿直线DE折叠得到△O′EF， ∴△OEF≌△O′EF． ∴OE=O′E=t，∠EO′F=∠EOF=30°， ∴EF=O′E=t． ∴， ∴； 如图，当点O′落在线段OA延长线上，△O′EF与△AOB重叠部分是三角形时，设AB与EF交于点M． ∵， ∴， ， ， ， ． ． ， ． ， ． ； ②如图，当点O′落在线段OA延长线上，△O′EF与△AOB重叠部分是四边形时，设AB与EF交于点G． ∵， ∴EF=，OF=，∠BEG=60，∠BGE=30， ∴BE=，BG =， ∴ ()， 对称轴为， ∵， ∴当时，有最大值； 由①知()，对称轴为， ∴当时，有最大值； ()，对称轴为， ∴当时，有最大值； 综上，当，即OE时，有最大值； 当PQ垂直AE的延长线时，点A到直线PQ的距离AH最长，△APQ面积取得最大值，如图， ∵OE， ∴BE=BO-OE， ∴AE， 由旋转的性质得：QE= OE，∠EQH=∠EOF=30， ∴EH=，QH=，PQ=2QH=， ∴AH=AE+EH=， △APQ面积=． 【点睛】本题主要考查了直线与x轴的交点、用待定系数法求抛物线的解析式、运用三角函数解三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，对运算能力要求比较高，运用分类讨论和割补法是解决第（2）小题的关键． 25．(1) (2)点D的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）利用二次函数的对称轴，得到，再代入点A的坐标到抛物线，解出的值即可求解； （2）利用二次函数的性质求出点，的坐标，得出直线的解析式为，延长交轴于点，通过证明得到，设，得出的表达式，求出此时取得最大值时点的坐标，作直线，过点作轴交直线于点，利用三角函数的知识推出，作于点，则，再利用垂线段的性质和锐角三角函数的定义求出的最小值即可； （3）由平移的性质得，则设直线的解析式为，结合与原抛物线恰好只有一个交点，联立函数利用根的判别式求出的值，得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，连接交于点，连接、，利用对称的性质和平行线的性质推出四边形是菱形，得出，设，利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线， ， ， 代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 如图，延长交轴于点， 轴， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ，， ， 当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为， 作直线，过点作轴交直线于点， 令，则，解得， ， ， 在中，， ， 作于点，则， ， ， 当三点共线时，有最小值，此时， 过点作轴交直线于点，则， 令，则， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 综上所述，点D的坐标为，的最小值为． （3）解：由（2）得，直线的解析式为， 由平移的性质得，， 设直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 与原抛物线恰好只有一个交点， ， 解得：， 代入得，， 解得：， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， ，， 同理可得，直线的解析式为， 连接交于点，连接、， 点G关于直线的对称点为， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， 解得：，， 符合条件的N点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、平移和对称的性质、一元二次方程的应用，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，同时涉及较大运算量，适合有能力解决压轴题的学生． 答案第10页，共27页 答案第9页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $