解答题规范练（5-6）-2026届高三数学三轮复习

中档题规范练5 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求出. （2）先求出，然后求出并化简，进而求解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为. 所以，解得. 所以. （2）. 所以 . 因为不等式对任意恒成立，则有对任意恒成立， 又，所以. 2.（2026·陕西榆林·三模）如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】（1）证明：设，因为，所以. 因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以. 连接，则，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则， 所以， . 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设二面角为，则， ， 故二面角的正弦值为. 3.（2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【答案】(1) (2) (3)应选方案一． 【分析】（1）根据题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备，利用二项分布求概率； （2）由题意得，，分别得出所需检测次数及其概率，即可得分布列及数学期望； （3）分别计算两种方案期望，即可做出决策. 【详解】（1）由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备， 所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为 （2）由题意得，， ， 所以， 所以． （3）应选方案一，理由如下： 记为机器人巡检的检测总费用，为人工巡检的检测总费用， 由题意得，， 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题规范练5 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 2.（2026·陕西榆林·三模）如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值. 3.（2026·福建漳州·三模）某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题规范练6 （满分43分， 时间：40分钟） 1.（2026·江苏·三模）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． （2）因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理， 得， 所以． 2.（2026·安徽芜湖·二模）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 【答案】(1)，相关程度很强 (2)，残差为百人 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 3.（2026·湖北·二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，取的中点，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由和，得到，结合三棱锥的体积为，列出方程，求得，再由面面垂直的性质，证得即为直线与平面所成角，即可求解； （ii）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由菱形的边长为，且，可得和都是等边三角形， 现将沿折起，可得，为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）（i）由（1）知平面，可得， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得， 又因为三棱锥的体积为，可得， 解得，所以或， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 所以直线与平面所成角为或； （ii）因为，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴， 建立空间直角坐标系，可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 可得， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题规范练6 （满分43分， 时间：40分钟） 1.（2026·江苏·三模）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 2.（2026·安徽芜湖·二模）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的人园游客量统计数据如下： 活动开展第天 人园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，； 参考数据：，，，. 3.（2026·湖北·二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：；(2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $