专题5.3分式方程 复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题5.3分式方程 复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1. 明晰分式方程的定义，精准区分分式方程与整式方程； 2. 熟练掌握分式方程的完整解题流程，规范完成去分母、求解、检验全步骤； 3. 透彻理解分式方程增根的本质，掌握增根判定方法及参数求解思路； 4. 熟练解决分式方程求解、增根类参数问题、实际应用三大核心题型 核心题型◆归纳 题型1分式方程的定义 题型2根据分式方程解的情况求值 题型3分式方程无解问题 题型4列分式方程 题型5解分式方程（化为一元一次） 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其他实际问题 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程，统称为分式方程。 判定依据：方程包含分式，且分母内含有未知数，以此与整式方程明确区分。 知识点二、分式方程的解法 1.解题思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，进而求解。 2.标准解题步骤 （1）确定最简公分母：对各分母进行整理，找出所有分母的最简公分母； （2）去分母转化：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，化为整式方程； （3）求解整式方程：解转化后的一元一次（或一元二次）整式方程； （4）严格检验：将整式方程的解代入最简公分母，验证是否为增根； （5）明确结论：判定并写出原分式方程的解，或说明方程无解。 3.检验： 将所得解代入最简公分母： 若最简公分母不为0，该解为原分式方程的有效解； 若最简公分母为0，该解为增根，原分式方程无解。 知识点三、分式方程的增根 1.定义：分式方程化为整式方程后，使原方程分母为0的解，即为增根； 2.产生原因：去分母过程中，方程两边乘了值为0的整式； 3.关键结论：增根不是原分式方程的解，但一定是对应整式方程的解。 知识点四、分式方程的实际应用 （1）审题析题（2）设未知数（3）寻找等量关系（4）列分式方程（5）解分式方程（6）双重检验（检验增根+检验实际意义）（7）规范作答 知识点五、解题技巧总结 1.解题口诀：一找公分母，二去分母化整式，三求解，四检验； 2.去分母前先化简分母，便于快速确定最简公分母； 3. 增根类参数题：先由分母为0确定增根，再代入整式方程求参数； 4.实际应用题务必完成双重检验，确保结果既符合方程，又符合实际。 题型解析◆精准备考 题型1分式方程的定义 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 3．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 题型2根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．关于的分式方程有增根，则__________． 3．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 题型3分式方程无解问题 1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 2．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 3．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 题型4列分式方程 1．用，两种智能机器人搬运建筑材料，型机器人比型机器人每天多搬6吨，型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设型机器人每天搬运吨建筑材料，根据题意列方程得（    ） A． B． C． D． 2．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 3．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 题型5解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．方程的解为________． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 题型6分式方程的行程问题 1．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（） A．B．C． D． 2．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 3．山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 题型7分式方程的工程问题 1．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前60天完成了这项任务．设实际每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 3．为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 题型8分式方程的经济问题 1．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 2．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 3．列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 题型9分式方程和差倍分问题 1．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为，则B车的速度为______km/h． 3．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 题型10分式方程的其他实际问题 1．质量分数为的稀硫酸是化学课堂上的常用试剂，该试剂可利用质量分数为的浓硫酸添加蒸馏水稀释而成．现要把的上述浓硫酸稀释为的稀硫酸，若设需要加入的蒸馏水，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________． 3．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．把方程中的分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 5．小亮与小红周末去松山湖的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A．B．C． D． 二、填空题 6．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 7．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是______． 8．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 9．在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生________名． 10．甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树______棵． 三、解答题 11．解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 12．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 13．某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 14．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 15．今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 16．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3分式方程复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 1. 明晰分式方程的定义，精准区分分式方程与整式方程； 2. 熟练掌握分式方程的完整解题流程，规范完成去分母、求解、检验全步骤； 3. 透彻理解分式方程增根的本质，掌握增根判定方法及参数求解思路； 4. 熟练解决分式方程求解、增根类参数问题、实际应用三大核心题型 核心题型◆归纳 题型1分式方程的定义 题型2根据分式方程解的情况求值 题型3分式方程无解问题 题型4列分式方程 题型5解分式方程（化为一元一次） 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其他实际问题 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程，统称为分式方程。 判定依据：方程包含分式，且分母内含有未知数，以此与整式方程明确区分。 知识点二、分式方程的解法 1.解题思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程，进而求解。 2.标准解题步骤 （1）确定最简公分母：对各分母进行整理，找出所有分母的最简公分母； （2）去分母转化：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，化为整式方程； （3）求解整式方程：解转化后的一元一次（或一元二次）整式方程； （4）严格检验：将整式方程的解代入最简公分母，验证是否为增根； （5）明确结论：判定并写出原分式方程的解，或说明方程无解。 3.检验： 将所得解代入最简公分母： 若最简公分母不为0，该解为原分式方程的有效解； 若最简公分母为0，该解为增根，原分式方程无解。 知识点三、分式方程的增根 1.定义：分式方程化为整式方程后，使原方程分母为0的解，即为增根； 2.产生原因：去分母过程中，方程两边乘了值为0的整式； 3.关键结论：增根不是原分式方程的解，但一定是对应整式方程的解。 知识点四、分式方程的实际应用 （1）审题析题（2）设未知数（3）寻找等量关系（4）列分式方程（5）解分式方程（6）双重检验（检验增根+检验实际意义）（7）规范作答 知识点五、解题技巧总结 1.解题口诀：一找公分母，二去分母化整式，三求解，四检验； 2.去分母前先化简分母，便于快速确定最简公分母； 3. 增根类参数题：先由分母为0确定增根，再代入整式方程求参数； 4.实际应用题务必完成双重检验，确保结果既符合方程，又符合实际。 题型解析◆精准备考 题型1分式方程的定义 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 2．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 3．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． （1）和（2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为； 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为； 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 题型2根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围． 【详解】解：∵原方程为 ，且 ∴方程变形为 两边同乘得 整理得 解得 ∵方程的解为负数 ∴ ∵，∴ ， 解得 又∵分式方程分母不为0，即 ∴，解得 ∵，恒成立 ∴m的取值范围是 2．关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 3．关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 题型3分式方程无解问题 1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 2．若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 3．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 题型4列分式方程 1．用，两种智能机器人搬运建筑材料，型机器人比型机器人每天多搬6吨，型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设型机器人每天搬运吨建筑材料，根据题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到B型机器人每天搬运吨建筑材料，再根据型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等即可列出方程． 【详解】解：设A型机器人每天搬运吨建筑材料，则B型机器人每天搬运吨建筑材料， 由题意得，． 2．某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 3．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 【答案】千克 【分析】设线下批发每小时销量为千克，根据“线上线下销售时间相等”列分式方程，求解并检验后得到结果． 【详解】解：设线下批发每小时销售沃柑千克，则线上每小时销售千克， 根据题意可得，， 解得， 当，，则是原方程的解， 故线下批发每小时销售沃柑千克． 题型5解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路为将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程后检验，即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：将代入最简公分母，得， 是原分式方程的解． 2．方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 合并同类项、移项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 3．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验； （2）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验． 【详解】（1）解： 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是原分式方程的解； （2） 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是增根，原分式方程无解． 题型6分式方程的行程问题 1．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据两车时间差建立等量关系，利用“大巴行驶时间减早出发时间等于中巴行驶时间”列方程即可． 【详解】设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 大巴行驶全程的时间为，中巴行驶全程的时间为， ∵大巴先出发，两车同时到达， ∴列方程得． 2．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【答案】 【分析】设步行速度为，则骑自行车的速度为，然后根据时间相同建立分式方程． 【详解】解：设步行速度为，则由题意得，． 3．山西大同云冈石窟是中国三大石窟艺术宝库之一，其中既有印度、中西亚艺术元素，也有希腊、罗马建筑造型、装饰纹样、相貌特征等等，反映出与世界各大文明之间的渊源关系．某游客从酒店驾车前往景区，有两条路线可选： 路线一：沿城市主干道行驶，全程36千米； 路线二：经绕城高速行驶，全程45千米． 已知路线二的平均速度是路线一的2.5倍，且走路线二比路线一少用27分钟．求路线一的平均速度． 【答案】路线一的平均速度为40千米/时． 【分析】设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时．再根据走路线二比路线一少用27分钟．列方程计算即可． 【详解】解：设路线一的速度是千米/时，则路线二的平均速度是千米/时． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：路线一的平均速度40千米/时． 题型7分式方程的工程问题 1．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了，结果提前60天完成了这项任务．设实际每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设实际每天修路公里，则原计划每天修路公里，进而求得实际与原计划完成的时间，依题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设实际每天修路公里，则原计划每天修路公里，则实际完成时间为天，原计划所需时间为天， 依题意得：． 2．某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 3．为落实乡村快递配送，某物流园分别投入型无人配送车与型无人配送车承担快递转运任务．已知型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等，且型无人车每小时比型无人车多运送件．求型无人配送车每小时可运送多少件快递． 【答案】型无人配送车每小时可运送件快递 【分析】本题可通过设未知数，根据“型无人车运送件快递所用的时间与型无人车运送件快递所用的时间相等”这一等量关系，列出分式方程求解，最后检验方程的根是否符合题意． 【详解】解：设型无人配送车每小时可运送件快递， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的根． 答：型无人配送车每小时可运送件快递． 题型8分式方程的经济问题 1．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为，拿一株椽后，剩余株，根据剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：设这批椽有x株，依题意得 ． 2．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 【答案】60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 【详解】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 3．列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】30元 【分析】先设出第一次每套玩具套装的进价，再根据进价降低比例表示出第二次的进价，利用“总价÷单价=数量”得到两次购进的数量，根据第二次购进数量比第一次多20套列出方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是元，则第二次购进时每套的进价为元， 根据题意，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是30元． 题型9分式方程和差倍分问题 1．今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 2．甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为，则B车的速度为______km/h． 【答案】45 【分析】先根据速度比设出两车速度，再根据A车比B车多行驶的时间列出方程，解方程求出速度． 【详解】设车的速度为，则车的速度为，根据题意得： A车比B车多行驶的时间为 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 答：车的速度为． 故答案为： 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键思路是根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系来建立方程求解． 3．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 题型10分式方程的其他实际问题 1．质量分数为的稀硫酸是化学课堂上的常用试剂，该试剂可利用质量分数为的浓硫酸添加蒸馏水稀释而成．现要把的上述浓硫酸稀释为的稀硫酸，若设需要加入的蒸馏水，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】稀释前后溶质质量不变，根据稀释后的质量分数列方程即可． 【详解】解：根据题意可得． 2．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解决本题的关键． 先根据题意可得机器每天移栽幼苗株，再根据总幼苗为4000株，分别表示人工和机器所需天数，最后根据人工移栽比机器移栽多用3天列方程即可． 【详解】解：∵人工每天移栽幼苗株， ∴机器每天移栽幼苗株， ∵总幼苗数为4000株， ∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天， 根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天， ∴， 故答案为：． 3．习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． (1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 【答案】(1)高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； (2)． 【分析】（）根据题意分别求出两种水稻的试验田单位面积产量，然后进行除法运算即可得到结果； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵甲种水稻的试验田单位面积产量：， 乙种水稻的试验田单位面积产量：， ∵， ∴， ∴ ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； （2）解：由题意，可得：， 解这个分式方程得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．把方程中的分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将方程中分母化为整数时，只需对每个分式的分子分母同乘适当的非零数，使分母变为整数，方程右侧的常数项无需改变，根据分式基本性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵ 根据分式的基本性质，分式的分子分母同乘不为0的数，分式的值不变. 对，分子分母同乘10，可得； 对，分子分母同乘100，可得； 方程右侧的常数1保持不变， ∴ 原方程化为. 2．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量，根据时间公式列方程即可. 【详解】解：∵设甲机器人每天做个零件，两种机器人每天共做140个零件， ∴乙机器人每天做个零件， ∵ 时间总零件数每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， 根据等量关系可得 . 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】原方程变形为 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ∵分式方程的解为正数，且分式要有意义， ∴ 解不等式得且． 4．关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 5．小亮与小红周末去松山湖的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据小红的骑行速度先表示出小亮骑行速度，然后根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列方程即可，注意统一时间单位． 【详解】解：小红的骑行速度为，小亮的速度是小红速度的倍， 小亮的速度为， 两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了，， 可得方程． 二、填空题 6．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【详解】解：由工程问题公式：工作量工作效率工作时间， 由题意，可知甲工作组的工作效率为每天做x个，乙工作组的工作效率为每天做个， 由“甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等”，列方程， 得． 7．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出的表达式，进而计算给定分式的值． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙、丙合作所需天数为， 所以， 整理得， 于是， 因此， 同理，，， 所以， 给定表达式 ． 故答案为：． 8．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【答案】 【分析】设进价与A，B两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B进货量的关系，再根据总利润之比列方程即可求解B降价后的利润率． 【详解】解：设每部手机进价为，A种手机总进货量为，B种手机总进货量为，B种手机降价销售时的利润率为， 由题意，A的定价为，B的定价为， 根据已售出部分营业额比为，列方程得：， 约去后化简得：，即，即， A种手机价格不变，全部售完后总利润为：， B种手机总利润分两部分计算：， 根据总利润比为，列方程得：， 将代入，约去得：，即， 交叉相乘计算得：，解得， 则B种手机在降价销售时的利润率为． 9．在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生________名． 【答案】30 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙班有学生x名，则甲班有学生名，根据甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的建立方程求解即可． 【详解】解：设乙班有学生x名，则甲班有学生名， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙班有学生30名， 故答案为：30． 10．甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树______棵． 【答案】22 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题关键． 设乙班每小时种x棵树，根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：设乙班每小时种x棵树，甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 解得， 经检验符合题意， 故答案为：22． 三、解答题 11．解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)无解 【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简； （2）先确定最简公分母，通过去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，再进行检验． 【详解】（1）解： ； （2） 经检验：是增根，原分式方程无解． 12．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2， 【分析】本题考查了分式方程的求解及增根的概念和应用． （1）将代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性； （2）先解分式方程得到用m表示的x，根据原分式方程有增根得到，且用m表示的x的式子的分母，分情况讨论确定出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， 解得， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴m的值为2，． 13．某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 【答案】 A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据“数量相同”这一等量关系列出分式方程． 设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元；根据“用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同”列出方程；解此方程并检验，得到两款机器人的单价． 【详解】解：设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元． 根据题意得， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元． 14．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 15．今年春节假期，昆明文旅市场呈现人气足、消费热、年味浓、时尚化的特点．在“文化体验+假日烟火”的双引擎带动下，春节假日经济热力十足，春城递出一张“来了就不想走”的城市名片、外地游客卫先生一家在即将离昆时，特意买了云南特产鲜花饼和小粒咖啡回去送给亲友，已知一盒鲜花饼的价格比一盒小粒咖啡贵40元，花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同．一盒鲜花饼和一盒小粒咖啡的价格各是多少元？ 【答案】一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元 【分析】设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元，根据花1000元买的鲜花饼的盒数与花600元买的小粒咖啡的盒数相同列分式方程求解即可． 【详解】解：设一盒小粒咖啡的价格为元，则一盒鲜花饼的价格为元． 根据题意可得：， 解得． 经检验：是所列方程的解，且符合题目要求， 此时． 答：一盒小粒咖啡的价格为60元，一盒鲜花饼的价格为100元． 16．列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． (1)求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】(1)杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 (2)杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $