专题4.1因式分解 复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题4.1因式分解复习讲义 (浙教版新教材) 高效复习◆重点 精准掌握因式分解的定义，明确“整式积的形式”核心要求，区分整式乘法与因式分解 熟练识别公因式，掌握提公因式法完整步骤，能处理符号、整体公因式题型，熟记平方差、完全平方两大分解公式，精准识别公式结构特征。 熟练掌握因式分解两大核心方法：提公因式法、公式法，做到灵活选用； 掌握“先提后套”的综合分解思路，能对复杂多项式彻底分解，熟练运用因式分解进行代数式化简、整体代入求值。 严格遵循分解原则，做到分解彻底、不重不漏、格式规范； 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5添括号 题型6判断能否用公式法分解因式 题型7平方差公式分解因式 题型8完全平方公式分解因式 题型9综合运用公式法分解因式 题型10综合提公因式和公式法分解因式 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、因式分解基本概念 1. 因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2.重点提示：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式． （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点二、提公因式法 ★所有因式分解题目，优先提公因式！ 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2.公因式三部分找法 系数：取各项系数的最大公约数； 字母：取各项公共字母； 指数：取公共字母的最低次幂。 3.提公因式公式 ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 标准解题步骤 找公因式：按系数、字母、指数确定完整公因式； 提公因式：将公因式提出，剩余部分作为新多项式； 整理符号：首项为负时，统一提出负号，括号内首项变正； 检查化简：核对剩余项是否还有公因式、是否漏项。 5.易错提醒 提取公因式后，剩余项不漏1，某项全部提完剩余为1，不是0； 首项为负，优先提负号，括号内全部变号； 公因式要提尽，不可残留部分公因式。 知识点三、公式法 提完公因式后，剩余多项式符合公式结构，直接套用公式分解。 1. 平方差公式（二项式专用） 公式：-=(a+b)(a-b) 结构特征： 式子为二项式； 两项均为平方形式 两项符号一正一负。 2.完全平方公式±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 结构特征： 式子为二次三项式； 首尾两项为平方形式，符号同为正； 中间项为首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。 口诀：首平方，尾平方，首尾二倍积在中央。 知识点四、因式分解标准解题步骤 1.提公因式：优先提取全部公因式，包含数字、字母、整体多项式； 2.套用公式：剩余二项式看平方差，剩余三项式看完全平方； 3.彻底检查：分解后的每个因式，不能再提公因式、不能再套公式，即为分解彻底。 ★因式分解必须分解到不能再分解为止！ 知识点五、高频易错避坑指南 1.忘记先提公因式： 直接套用公式，导致分解不彻底，扣分最重！必须先提、后套。 2.分解不彻底： 分解后因式仍有公因式、仍可套公式，没有分解到最简。 3.提公因式漏项： 多项式全部项必须提取，常数项不可遗漏，提完空项剩余为1。 4.完全平方公式混淆： 三项式必须满足“首尾平方、中间二倍积”，不可随意套用。 5.结果保留和差形式： 因式分解结果必须是积的形式，不能留有加减运算。 6.符号错误： 首项为负提负号，括号内每一项都要变号，不可只变第一项。 知识点六、解题技巧 1.先观察结构： 二项优先平方差，三项优先完全平方，多项优先提公因式； 2.优先提取负号： 首项为负，先提负号，式子更规范，避免后续符号混乱； 3.整体思想解题： 遇到重复多项式结构，整体看作一个因式，简化运算； 4.做完反向检验： 分解完成后，展开验证，看是否等于原式，杜绝变形错误。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：，是因式分解，但未分解彻底，所以选项A不符合题意； 选项B：是乘法运算，没有化为几个整式的积的形式，所以选项B不符合题意； 选项C：右侧没有化为几个整式的积的形式，所以选项C不符合题意； 选项D：符合因式分解的定义，所以选项D符合题意． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 1．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 2．将因式分解为，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根． 根据题意得出，，再根据完全平方公式变形得出，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：对于多项式，设其因式分解为，则展开后可得． 比较系数，得，． ∵ 又∵， ∴ 故答案为：． 3．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3公因式 1．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 2．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 3．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 题型4提公因式法分解因式 1．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 2．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 3．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5添括号 1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故 B变形错误； ，故 C变形错误； ，故D变形正确. 2．若，则的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含有的式子，利用整体代入的思想方法求解即可． 【详解】解：， ． 3．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 题型6判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键． 题型7平方差公式分解因式 1．下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 2．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 3．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 见解析 【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 题型8完全平方公式分解因式 1．下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：观察四个选项，只有选项D能分解，且． 2．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 3．因式分解： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ． 题型9综合运用公式法分解因式 1．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 2．若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 3．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10综合提公因式和公式法分解因式 1．对多项式分解因式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 2．分解因式：____________． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A的变形是整式的乘法，结果是多项式的和，不符合定义； 选项B的结果是，是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 选项C：左边是多项式，右边，是几个整式的积，变形正确，符合定义； 选项D：是分式，不是整式，右边不是整式的积，不符合定义； 综上，故选C． 2．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 3．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 5．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 二、填空题 6．因式分解：______． 【答案】/ 【详解】解：． 7．因式分解______. 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．因式分解：___________． 【答案】 【详解】原式 ． 9．若，则表示的多项式是_____． 【答案】 / 【分析】先将等式右侧的多项式利用平方差公式因式分解，即可求出多项式． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．若，则代数式的值为___________． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 三、解答题 11．已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先把整体作为公因式，用提公因式法分解因式，可得：原式，再把，代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 13．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 14．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 15．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1因式分解复习讲义 (浙教版新教材) 高效复习◆重点 精准掌握因式分解的定义，明确“整式积的形式”核心要求，区分整式乘法与因式分解 熟练识别公因式，掌握提公因式法完整步骤，能处理符号、整体公因式题型，熟记平方差、完全平方两大分解公式，精准识别公式结构特征。 熟练掌握因式分解两大核心方法：提公因式法、公式法，做到灵活选用； 掌握“先提后套”的综合分解思路，能对复杂多项式彻底分解，熟练运用因式分解进行代数式化简、整体代入求值。 严格遵循分解原则，做到分解彻底、不重不漏、格式规范； 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3公因式 题型4提公因式法分解因式 题型5添括号 题型6判断能否用公式法分解因式 题型7平方差公式分解因式 题型8完全平方公式分解因式 题型9综合运用公式法分解因式 题型10综合提公因式和公式法分解因式 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、因式分解基本概念 1.因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2.重点提示：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式． （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点二、提公因式法 ★所有因式分解题目，优先提公因式！ 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2.公因式三部分找法 系数：取各项系数的最大公约数； 字母：取各项公共字母； 指数：取公共字母的最低次幂。 3.提公因式公式 ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 标准解题步骤 找公因式：按系数、字母、指数确定完整公因式； 提公因式：将公因式提出，剩余部分作为新多项式； 整理符号：首项为负时，统一提出负号，括号内首项变正； 检查化简：核对剩余项是否还有公因式、是否漏项。 5.易错提醒 提取公因式后，剩余项不漏1，某项全部提完剩余为1，不是0； 首项为负，优先提负号，括号内全部变号； 公因式要提尽，不可残留部分公因式。 知识点三、公式法 提完公因式后，剩余多项式符合公式结构，直接套用公式分解。 11. 平方差公式（二项式专用） 公式：-=(a+b)(a-b) 结构特征： 式子为二项式； 两项均为平方形式 两项符号一正一负。 2.完全平方公式±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 结构特征： 式子为二次三项式； 首尾两项为平方形式，符号同为正； 中间项为首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。 口诀：首平方，尾平方，首尾二倍积在中央。 知识点四、因式分解标准解题步骤 1.提公因式：优先提取全部公因式，包含数字、字母、整体多项式； 2.套用公式：剩余二项式看平方差，剩余三项式看完全平方； 3.彻底检查：分解后的每个因式，不能再提公因式、不能再套公式，即为分解彻底。 ★因式分解必须分解到不能再分解为止！ 知识点五、高频易错避坑指南 1.忘记先提公因式： 直接套用公式，导致分解不彻底，扣分最重！必须先提、后套。 2.分解不彻底： 分解后因式仍有公因式、仍可套公式，没有分解到最简。 3.提公因式漏项： 多项式全部项必须提取，常数项不可遗漏，提完空项剩余为1。 4.完全平方公式混淆： 三项式必须满足“首尾平方、中间二倍积”，不可随意套用。 5.结果保留和差形式： 因式分解结果必须是积的形式，不能留有加减运算。 6.符号错误： 首项为负提负号，括号内每一项都要变号，不可只变第一项。 知识点六、解题技巧 1.先观察结构： 二项优先平方差，三项优先完全平方，多项优先提公因式； 2.优先提取负号： 首项为负，先提负号，式子更规范，避免后续符号混乱； 3.整体思想解题： 遇到重复多项式结构，整体看作一个因式，简化运算； 4.做完反向检验： 分解完成后，展开验证，看是否等于原式，杜绝变形错误。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 3．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 题型2已知因式分解的结果求参数 1．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 2．将因式分解为，若，则__________． 3．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 题型3公因式 1．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 3．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 题型4提公因式法分解因式 1．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 2．因式分解：________． 3．因式分解 (1)； (2)． 题型5添括号 1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为____． 3．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 题型6判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 2．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 3．分解因式： (1)； (2)． 题型7平方差公式分解因式 1．下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式：______． 3．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 题型8完全平方公式分解因式 1．下列四个多项式，能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．因式分解：___________． 3．因式分解： (1) ； (2)． 题型9综合运用公式法分解因式 1．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式的值为0，则的值为________． 3．因式分解： (1) (2) 题型10综合提公因式和公式法分解因式 1．对多项式分解因式的结果为（    ） A． B． C． D． 2．分解因式：____________． 3．分解因式： (1)； (2)． 过关检测◆提升 一、单选题 1．在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 4．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 二、填空题 6．因式分解：______． 7．因式分解______. 8．因式分解：___________． 9．若，则表示的多项式是_____． 10．若，则代数式的值为___________． 三、解答题 11．已知可以因式分解为，求的值． 12．先化简，再求值：，其中，． 13．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 14．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 15．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．将下列各式分解因式． (1) (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $