精品解析：山西忻州市第一中学校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 3. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 4. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 6. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ） A. 不同的坐法有720种 B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种 C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种 D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ） A. 的短轴长为 B. 的焦距为2 C. 的周长为8 D. 的离心率为 11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 2. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 3. 若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【详解】，解得； ， 故选：B. 4. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 5. 如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A B C D A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知，若只用3种颜色，则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，所以采用分类和分步计数原理，结合排列组合，即可求解. 【详解】由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 若只有和颜色相同，则有种方法， 只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法. 故选：C 6. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令和后作差可得. 【详解】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 8. 已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则（ ） A. 不同的坐法有720种 B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种 C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种 D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合排列与排列数的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A中，不同的坐法有种，所以A正确； 对于B中，若小明和小强要一起坐，则不同的坐法有种，所以B正确； 对于C中，若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有种，所以C错误； 对于D中，若小明在小强的左边，则不同的坐法有种，所以D错误． 故选：AB． 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ） A. 的短轴长为 B. 的焦距为2 C. 的周长为8 D. 的离心率为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（ ） A. B. 某顾客消费200元，则其中奖概率为 C. 的最大值为 D. 当时，越大，越小 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 【答案】64 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解. 【详解】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种. 故答案为：64. 13. 在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 14. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的二项式系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义列出和的方程，求解即得； （2）利用二项式的通项公式确定展开式中含的项，计算即得答案. 【小问1详解】 第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为． 又第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为， ，，，故的值为； 【小问2详解】 因， 由解得， 故展开式中含的项的二项式系数为. 16. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质计算即可； （2）先求得数列的通项公式，再运用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为 ，公差为， 则，解得， 因此通项公式为. 【小问2详解】 将代入，裂项得， 所以. 即. 17. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）分布列见解析， （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； (2)根据列联表中的数据，经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 【小问2详解】 解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，不能拒绝零假设， 所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关. 18. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【答案】（1）；预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可； （2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为； 当， 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. 【小问2详解】 该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ， ， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 【答案】（1）分布列： （2）（i） （ii）证明：对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 所以时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $