小升初图形的认识与测量--长方体和正方体 （专项训练） -2025-2026学年人教版数学六年级下册

小升初图形的认识与测量--长方体和正方体 （专项训练） 2025-2026学年人教版数学六年级下册 一、选择题 1．数学课上老师从下面几种长度的小棒中，选择12根做了一个长方体框架。做成的长方体框架棱长总和不可能是（    ）厘米。 小棒长度/厘米 15 12 10 5 小棒根数 5 3 9 4 A．148 B．140 C．120 D．100 2．中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 3．如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（    ）。 A．B． C． D． 4．小军要做一个棱长是5cm的正方体盒子，他选择哪种尺寸的纸画展开图比较合适？（    ） A．A0纸（841mm×1189mm） B．A5纸（148mm×210mm） C．A4纸（210mm×297mm） D．A6纸（105mm×148mm） 5．相传孔明灯是由三国时期的诸葛亮所发明，古代多用于军事，如今则多用于祈福。优优在手工课上准备了孔明灯框架，并把它的5个面糊上阻燃纸（底面不糊阻燃纸）。求至少需要多少平方厘米的阻燃纸，可以列式为（    ）。 A．18×18×30 B．18×30×2＋18×18×2 C．18×30×4＋18×18×2D．18×30×4＋18×18 6．李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 7．研究展开图时，陈老师让同学们把准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形。小庄同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、②两部分，已知图③是小庄剪开图①的某些数据，那么这个长方体纸盒的体积是（    ）立方厘米。 A．8 B．16 C．12 D．21 8．制作长方体收纳盒，用木条搭建框架，塑料板封装各面。所需木条长度，是求收纳盒的（    ）；所需塑料板面积，是求收纳盒的（    ）；收纳盒所占空间大小，是求收纳盒的（    ）；收纳盒可容纳物体的大小，是求收纳盒的（    ）。 A．体积；容积；表面积；棱长总和 B．容积；表面积；棱长总和；体积 C．表面积；棱长总和；体积；容积 D．棱长总和；表面积；体积；容积 9．一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（    ）盒香皂。 A．336 B．352 C．368 D．384 二、填空题 10．一个骰子六个面分别标着1～6不同的数字，1的对面是5，2的对面是4，骰子按照A－B－C－D轨迹翻转，当骰子翻转到D时，骰子最上方的数字是( )。 11．如图，用铁丝做一个长方体的框架，从一个顶点引出的三条棱长一共3米。已知长∶宽∶高∶3∶5，这个长方体框架的高是( )分米。继续焊完这个框架，还需要( )米的铁丝。（接头处忽略不计） 12．一个长方体长、宽、高分别为8分米、7分米、6分米，如果把它截成两个相同的小长方体，表面积最少增加( )平方分米，最多增加( )平方分米。 13．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍；一个长方体木块截去2厘米高后，剩余部分是一个正方体，表面积减少了48平方厘米，原长方体的体积是( )立方厘米；用一根铁丝刚好围成一个棱长总和为60厘米的正方体框架，若用这根铁丝围成一个长7厘米、宽5厘米的长方体，则长方体的高是( )厘米。 14．木桶理论又称“短板理论”，是一个经典的管理学理论。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由组成木板最短的那块木板决定的。一个底面是正方形的长方体，木桶底面边长为1.7dm。它最长的一块木板的长度为2.1dm，最短的一块木板的长度为1.7dm，（木板厚度忽略不计），这个木桶最多能盛水( )立方分米。 三、作图题 15．按要求画一画，填一填。 (1)上面的长方体纸箱要想剪成图1和图2的形式，需要剪开哪些边？用彩笔分别在图1、图2左边的长方体上描出要剪开的边。 (2)在图1的基础上完全剪开纸箱，可能得到下面的图形( )；在图2的基础上完全剪开纸箱，可能得到下面的图形( )；其中图( )是图1和图2都不可以剪成的。 四、解答题 16．杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 17．在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 18．祥和社区发起“有爱助无碍”募捐活动，为需要帮助的困难人群提供切实的帮助。工作人员制作了一个正方体爱心箱，它的棱长为5分米，爱心箱的前面开了一个长2.5分米、宽0.3分米的长方形投钱孔（如图）。这个正方体爱心箱的表面积是多少平方分米？ 19．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 20．在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（如图），挖洞后木块的体积是多少立方厘米？ 21．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。 (1)这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ (2)由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？ 22．一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦，五（2）班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报，需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，这个纸盒的容积是多少？这个纸盒的表面积是多少？ 23．为响应“节约用水，共建绿色社区”的号召，阳光小区计划对公共饮水区的长方体水箱进行优化改造。改造前，原水箱的长、宽、高之比为3∶2∶1（水箱厚度忽略不计）。 （1）已知原水箱的高度为5分米，求原水箱的容积是多少升？ （2）改造后，水箱的长和宽分别增加了1分米，高度保持不变。若小区每日需从水箱中取水120升用于公共清洁，改造后的水箱最多能满足几天的清洁用水需求？（结果保留整数） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A C C D C C D D 1．A 根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。由此可以选择15厘米的4根，10厘米的4根，5厘米的4根，或选择10厘米的8根，5厘米的4根，或选择15厘米的4根，10厘米的8根，组装一个长方体框架模型。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 （1）选择15厘米的4根，10厘米的4根，5厘米的4根： （15＋10＋5）×4 ＝30×4 ＝120（厘米） （2）选择10厘米的8根，5厘米的4根： （10＋10＋5）×4 ＝25×4 ＝100（厘米） （3）选择15厘米的4根，10厘米的8根： （15＋10＋10）×4 ＝35×4 ＝140（厘米） 所以做成的长方体框架棱长总和可能是100厘米，120厘米，140厘米；不可能是148厘米。 故答案为：A 2．A 正方体有 12 条棱，且所有棱的长度相等。求制作框架需要木条的长度，就是求正方体的棱长总和。根据正方体的棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 （m） 答：制作这个框架需要木条 m。 3．C 根据正方体的平面展开图的特征以及正方体纸盒上的图案的位置关系，在正方体纸盒中，三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的，即展开图中这三个图形所在的面不能相对，据此分析解答。 A．折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的，原正方体中这两个面是相邻的，所以此选项错误； B．折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的，原正方体中这两个面是相邻的，所以此选项错误； C．折叠后三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的，而且三个面的位置关系和原正方体一致，所以此选项正确； D．折叠后正方形的面朝上时，三角形所在的面在圆形所在的面的左侧，原正方体中三角形所在的面在圆形所在的面的右侧，所以此选项错误。 故答案为：C 4．C 正方体的展开图有11种，其中1－4－1型有6种，2－3－1型有3种，2－2－2型有1种，3－3型有1种，比较这四种展开图所需要的尺寸即可选择。 每种类型画一种为例：（图中单位均为cm） 根据1cm＝10mm可知，展开图长200mm、宽150mm或者长250mm、宽100mm。 A. 841mm×1189mm尺寸过大，不符合题意； B. 148mm×210mm两者尺寸均不满足，不符合题意； C. 210mm×297mm两种尺寸均满足，符合题意； D. 105mm×148mm两者尺寸均不满足，不符合题意。 故答案为：C 5．D 除了底面外，孔明灯的其他面都要糊上阻燃纸，也就是要求上面、左面、右面、前面、后面的面积和，一共五个面，据此可得孔明灯的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；据此解答。 18×30×2＋18×30×2＋18×18 ＝18×30×（2＋2）＋18×18 ＝18×30×4＋18×18 ＝2160＋324 ＝2484（平方厘米） 求至少需要多少平方厘米的阻燃纸，可以列式为18×30×2＋18×30×2＋18×18或18×30×4＋18×18。 6．C 这个模型的表面积＝上面两个正方体木块的侧面积（前后左右）之和＋下面正方体的表面积。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 1×1×4＋2×2×4＋3×3×6 ＝4＋16＋54 ＝74（平方分米） 这个模型的表面积是74平方分米。 故答案为：C 7．C 由图中可知长＋宽＝7（厘米），长＋宽＋高＝8（厘米），由此等量代换可知高＝8－7＝1（厘米），又因为宽＋高＝4，由此可算出长、宽各是多少，长方体体积＝长×宽×高代入计算即可。 长＋宽＝7（厘米） 长＋宽＋高＝8（厘米） 所以高＝8－7＝1（厘米） 宽＝4－1＝3（厘米） 长＝7－3＝4（厘米） 体积＝4×3×1 ＝12×1 ＝12（立方厘米） 这个长方体纸盒的体积是12立方厘米。 故答案为：C 8．D 棱长总和：长方体12条棱的长度之和。 表面积：长方体6个面的总面积。 体积：物体所占空间的大小。 容积：容器内部所能容纳物体的体积。 长方体框架由12条棱组成，所需木条长度，是求收纳盒的棱长总和。 塑料板封装各个面，求的是6个面的总面积，是求收纳盒的表面积。 物体占据空间的大小是体积的定义。收纳盒所占空间大小，是求收纳盒的体积。 收纳盒可容纳物体的大小，是求收纳盒的容积。 9．D 要计算纸箱最多能放多少盒香皂，需要分别计算纸箱的长、宽、高方向各能容纳多少个香皂的长、宽、高，再将三个方向的数量相乘。 80÷10＝8（盒） 48÷6＝8（盒） 30÷5＝6（盒） 8×8×6＝384（盒） 这个纸箱里最多能放384盒香皂。 10．3 根据题意及正方体的特征可知1的对面是5，2的对面是4，则3的对面是6，前两次都是向前翻转，因此，当第一次翻转到A时，3的面在下，3的对面6在上，前面是2，后面是4，左面是5，右面是1，第二次翻转到B时前面的2在下，它的对面4在上，前面是6，后面是3，左面是5，右面是1；第三次翻转到C时是向右翻转，因此右面的1在下，它的对面5在上，前面是6，后面是3，左面是2，右面是4，第四次翻转到D时是向前翻转，因此，6在下，它的对面上面是3。 1的对面是5，2的对面是4，则3的对面是6，当骰子翻转到A时面3在下面6在上，前面是2，当翻转到B时2在下4在上，前面是6，当向右翻转到C时1在下5在上，前面是6，当翻转到D时6在下3在上。 所以骰子按照A－B－C－D轨迹翻转，当骰子翻转到D时，骰子最上方的数字是3。 11． 10 9 根据1米＝10分米，所以3米＝30分米。又因为“长∶宽∶高＝7∶3∶5”，则高占长、宽、高之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个长方体框架的高； 每个长方体有4条长，4条宽和4条高，一组长、宽、高之和为3米。若想继续焊完这个框架，已有1组长、宽、高，那么还需要3组长、宽、高，用3×3即可求出还需要铁丝的长度。 3米＝30分米 30× ＝30× ＝10（分米） 3×3＝9（米） 所以这个长方体框架的高是10分米。继续焊完这个框架，还需要9米的铁丝。 12． 84 112 表面积增加最少，增加长方体两个面积最小的面的面积；表面积增加最多，增加面积最大两个面的面积。 6×7×2＝84（平方分米） 8×7×2＝112（平方分米） 13． 9 27 288 3 正方体的棱长扩大到原来的3倍，求表面积和体积扩大到原来的几倍。可以将原来正方体的棱长设为a，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出原来的与现在的表面积和体积，再用现在的表面积除以原来的表面积，用现在的体积除以原来的体积解答。 如图，一个长方体木块截去2厘米后，表面积减少，减少的是侧面的四个小长方形的面积，且剩余部分是一个正方体，则四个小长方形的面积相等，即每个小长方形的面积为平方厘米。根据长方形的长等于面积除以宽，用厘米求出小形方形的长。则剩余的正方体的棱长也为6厘米，所以原来长方体的长为6厘米，宽为6厘米，高为厘米，根据长方体体积＝长×宽×高进行计算。 长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，则长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽。围成正方体的铁丝再围成一个长方体，说明正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和，用正方体棱长总和除以4求出长方体长、宽、高的和，再减去长和宽就可以得到高。 设原来正方体的棱长为，则现在正方体的棱长为3。 原来的表面积： 现在的表面积： 正方体的表面积扩大到原来的9倍。 原来的体积： 现在的体积： 正方体的体积扩大到原来的27倍。 （平方厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 原长方体的体积是288立方厘米。 （厘米） 长方体的高是3厘米。 14．4.913 根据“短板理论”，最多能盛水的高度就是最短边的长度。再根据长方体的体积公式计算，长方体的公式是：。 1.71.71.7 ＝2.891.7 ＝4.913（立方分米） 15．(1)见详解 (2) ①③④ ② ⑤ （1）图1要剪开需要剪上面的面的前边、左边、右边的边；图二要剪开需要剪左面上边、下边、前边和右面上边、下边、后边。 （2）根据纸箱的展开图，想象折成立体图形的形状，以及阴影部分图形的位置关系，结合问题填空。 结合立体图形空间想象力和阴影部分图形的位置，判断所剪的边以及展开图还原后的立体图形。 （1）剪开图如下： （2）根据分析可得： 在图1的基础上完全剪开纸箱，可能得到下面的图形①③④；在图2的基础上完全剪开纸箱，可能得到下面的图形②；其中图⑤是图1和图2都不可以剪成的。 16．90厘米 用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体（不含打结部分）的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量，算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和＝棱长×12解决。 76－16＝60（厘米） 60÷8＝7.5（厘米） 7.5×12＝90（厘米）   答：正方体礼品盒棱长总和是90厘米。 17．250平方分米 垃圾桶是无盖的长方体，因此计算所需铁皮面积时，只需要计算5个面的面积，即1个底面加上4个侧面。无盖的长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入进行计算即可。 6×5＋（6×10＋5×10）×2 ＝30＋（60＋50）×2 ＝30＋110×2 ＝30＋220 ＝250（平方分米） 答：制作一个垃圾桶至少需要250平方分米的铁皮。 18．149.25平方分米。 先明确正方体表面积的计算方法，再考虑投钱孔对表面积的影响（需要用正方体的表面积减去投钱孔的面积）。正方体的表面积公式为：表面积＝ 棱长×棱长×6。 爱心箱前面开了一个长方形投钱孔，因此正方体的表面积需要减去这个投钱孔的面积（投钱孔只在一个面上，所以只需减一次）。 计算爱心箱的原始表面积： 计算投钱孔的面积： 计算爱心箱的实际表面积： 答：这个正方体爱心箱的表面积是149.25平方分米。 19．2000平方厘米 要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 20．立方厘米 所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞（长方体）的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1厘米的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积，最后再把它加上。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高。 3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2 ＝27－9＋2 ＝20（立方厘米） 答：挖洞后木块的体积是20立方厘米。 21．(1)6400立方厘米 (2)2120平方厘米 （1）图中标注的单位是dm，题干中表示水深的单位是cm，所以要先统一单位，再用长方体体积公式：计算即可。 （2）首先要确定改造后水与鱼缸接触的面，只有5个面：。第一步：算出改造后直立鱼缸的底面积与水深。底面长是2dm，宽是1dm，底面积：。通过题意可以得出，水的体积没变， 因此新水深就等于：。然后计算水与鱼缸接触面（）的面积。 （1）鱼缸尺寸：长4dm＝40cm，宽1dm＝10cm，水深16cm。 (立方厘米) 答：鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。 （2）改造后鱼缸的底面：长为2dm＝20cm，宽为1dm＝10cm，平方厘米。 因为水的体积不变，所以新水深： （厘米） 计算改造后水与鱼缸接触面（）的面积： 底面面积：（平方厘米） 两个的侧面：(平方厘米) 两个的侧面:(平方厘米) 水与鱼缸的总接触面面积：(平方厘米) 答：水与鱼缸接触面的面积是2120平方厘米。 22．2500立方厘米，950平方厘米 四个角各切掉边长5厘米的正方形，所以纸盒的长是35－5×2，宽是30－5×2，高是5厘米，再用长方体的体积公式求出它的容积。 用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。 纸盒的长： 35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 纸盒的宽： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 高：5厘米 25×20×5 ＝500×5 ＝2500（立方厘米） 35×30＝1050（平方厘米） 5×5×4＝100（平方厘米） 1050－100＝950（平方厘米） 答：这个纸盒的容积是2500立方厘米，表面积是950平方厘米。 23．（1）750升； （2）7天 （1）把长、宽、高之比看作份数比，原水箱长、宽、高之比为3∶2∶1，已知高度为5分米（对应比例中的1份），则：长＝3份＝3×5＝15（分米），宽＝2份＝2×5＝10（分米），根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算求出长方体水箱的容积是多少立方分米，再化成升即可解答； （2）分别求出改造后的长和宽，根据长方体的容积＝长×宽×高求出改造后长方体水箱的容积是多少立方分米，再化成升，最后再用长方体的容积除以120，结果用去尾法保留整数。 （1）3×5＝15（分米），2×5＝10（分米） 15×10×5 ＝150×5 ＝750（立方分米） 750立方分米＝750（升） （2）15＋1＝16（分米），10＋1＝11（分米），高度保持5分米。 16×11×5 ＝176×5 ＝880（立方分米） 880立方分米＝880升 880÷120≈7（天） 答：改造后的水箱最多能满足7天的清洁用水需求。 学科网（北京）股份有限公司 $