第三单元《因数与倍数》（单元自测练习卷）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

苏教版五年级下册 第三单元《因数与倍数》单元测试卷（新教材） （ 时间：80分钟 ; 满分：100分 ; 难度系数：0.65 ） 班级：_________ 姓名：_________ 成绩：_________ 一、用心思考，准确填空。（每空1分，共20分） 1. 在1、2、7、9、12、15、23、30、49这些数中，质数有（ ），合数有（ ），既是奇数又是合数的有（ ）。 2. 24的因数有（ ），其中质因数有（ ）。 3. 两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是（ ）和（ ）。 4. 一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数是（ ）。 5. 【情境题·生活情境】 五（3）班开展分组游戏活动，全班人数在35～45人之间。如果每3人一组，正好分完；如果每5人一组，也正好分完。五（3）班有学生（ ）人。 6. 【新考法·开放探究】a和b都是大于0的自然数，若a＝b＋1，则a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 7. 491至少增加（ ）才是3的倍数，至少减少（ ）才有因数5，至少增加（ ）才能同时是2、3、5的倍数。 8. 如果A＝2×3×7，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 9. 【新考法·推理意识】 a和b都是自然数，分解质因数a＝2×5×c，b＝3×5×c，如果a和b的最大公因数是35，那么c＝（ ），a和b的最小公倍数是（ ）。 10. 相邻三个连续自然数的个数之和是45，其中最小的数是（ ），最大的数是（ ）。这两个数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 二、反复比较，择优选择。（每题2分，共10分） 11.质数和质数的乘积一定是（ ）。 A. 奇数 ;B. 质数 ;C. 合数 D. 偶数 12. “哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面四个算式中符合这个猜想的是（ ）。 A. 8＝1＋7 B. 36＝17＋19 C. 48＝23＋25 D. 49＝13＋36 13.【情境题·生活情境】小明家卫生间的地面是一个边长为42分米的正方形。如果要在地面上铺地砖，选择下面第（ ）种地砖正好铺满。 A. 长6分米、宽5分米 B. 长5分米、宽3分米 C. 长7分米、宽6分米 D. 长8分米、宽6分米 14. 下面四种说法：①最小的质数和最小的合数的最大公因数是1；②互质数的两个数的最大公因数是1；③两个数的公因数的个数是有限的；④两个合数的最大公因数不可能是1。正确的说法有（ ）个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. a是一个自然数，下面一定是偶数的为（ ）。 A. a B. 2a＋1 C. 2a D. 2a−1 三、仔细推敲，准确判断。（每题1分，共5分） 16. 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最大是30。 （ ） 17. 两个数的公倍数的个数一定多于这两个数的公因数的个数。 （ ） 18. 用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。 （ ） 19. 既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。 （ ） 20. 若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。 （ ） 四、看清题目，细心计算。（共18分） 21. 写出下面每组数的最大公因数。（6分） （1）7和10（2）4和9 （3）12和24 （4）27和3 （5）26和13 （6）15和25 22. 写出下面每组数的最小公倍数。（6分） （1）8和12 （2）5和7 （3）15和20 （4）40与60 （5）9和27 （6）18和24 23. 把下面各数分解质因数。（6分） 14 38 56 70 50 85 五、看图列方程并求解。（每题4分，共8分） 24.如图，一个长方形由三个同样大小的小正方形拼成，长方形的周长是48厘米。求每个小正方形的边长。 （列方程并求出方程的解） 25. 如图，将一个正方形的一组对边各增加3厘米，变成一个长方形，所得长方形的面积比原正方形增加了39平方厘米。求原正方形的边长。 （列方程并求出方程的解） 六、走进生活，解决问题。（共39分） 26. （5分）五（2）班为美化教室环境，买了36盆绿萝和48盆多肉植物。老师要把这些植物分别摆成若干排，每排绿萝盆数相同，每排多肉植物盆数也相同，且没有剩余。每排最多能摆几盆？ 27. （5分）1路公交车每8分钟发车一次，12路公交车每12分钟发车一次。早上7:00两路车同时发车，到中午12:00之前，这两路车还有几次是同时发车的？ 28. （5分）一个分数，分子与分母的和是28，且分子和分母的最大公因数是4。分子和分母各是多少？这个分数可能是多少？ 29. （6分）同学们去植树，把同学们每8人一组、9人一组或12人一组，都正好分完，参加植树的同学最少有多少人？如果想在植树节（3月12日）那天每人植3棵树，最少需要准备多少棵树苗？ 30. （6分）有两根彩带，一根长48厘米，另一根长32厘米。把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余。 （1）每根短彩带最长是多少厘米？ （2）一共可以剪成多少根这样的短彩带？ 31. （6分）妈妈买来一些苹果。3个3个地数多2个，5个5个地数多4个，7个7个地数多6个。妈妈最少买了多少个苹果？ 32. （6分）观察下面两组算式，你发现了什么规律？ ① （1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16）的和是奇数还是偶数？为什么？ ② 1×3×5×7×…×99×2的积是奇数还是偶数？为什么？ 七、附加题：挑战自我。（10分） 33. 甲、乙、丙三位同学定期去图书馆借书。甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每8天去一次。如果5月8日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们三人都在图书馆相遇是几月几日？从5月8日到7月31日，三人同时在图书馆一共相遇了几次？ 参考答案与解析 一、填空题 1. 质数：2、7、23；合数：9、12、15、30、49；既是奇数又是合数：9、15、49 解析： 1既不是质数也不是合数。在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数。 2. 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；质因数：2、3 解析： 24＝2×2×2×3，质因数指既是因数又是质数的数。注意质因数的概念——把一个合数写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。 3. 7和13 解析： 设两个质数为a和b，则有：a＋b＝20，a×b＝91＝7×13。验证7＋13＝20，符合条件。也可用代入法：和为20的两个质数可能是(3,17)、(7,13)，其中积为91的只有(7,13)。 4. 16 解析： 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。一个数既是16的倍数，又是16的因数，这个数只能是16。掌握“因数和倍数”的基本特征：一个数的最小倍数＝最大因数＝它本身。 5. 45 解析： 人数同时是3和5的倍数，所以是15的倍数。在35～45之间，15的倍数有：15、30、45、60…，其中在35～45之间的是45。 6. 最大公因数：1；最小公倍数：ab（或a×b） 解析： a＝b＋1，说明a、b是连续自然数（相邻），它们的最大公因数是1，互质数的最小公倍数是它们的乘积。连续自然数互质是解题的关键性质。 7. 增加1；减少1；增加19 解析： 491各位数字之和＝4＋9＋1＝14，14÷3＝4…2，所以至少增加1即492（14＋1=?）；需要重新计算：(491＋x)÷3能整除→x＝1（因为491+1=492，4+9+2=15能被3整除）。有因数5则个位为0或5，至少减少1即可。同时是2、3、5的倍数，即30的倍数，491÷30＝16…11，所以需要增加19（30−11）。 8. 最大公因数：2×7＝14；最小公倍数：2×3×5×7＝210 解析： A＝2×3×7，B＝2×5×7。最大公因数＝公共质因数的乘积＝2×7＝14；最小公倍数＝所有不同质因数的乘积＝2×3×5×7＝210。 9. c＝7；最小公倍数＝210 解析： 最大公因数＝5×c＝35，c＝7（c为自然数）。a＝2×5×7＝70，b＝3×5×7＝105。所以a、b最小公倍数为2×3×5×7＝210。 10. 最小数：14；最大数：16；最大公因数：2；最小公倍数：112 解析： 45÷3＝15，所以三个连续自然数为14、15、16。最小的14，最大的16，14＝2×7，16＝2×2×2×2。最大公因数＝2（只有因数2）；最小公倍数＝2×2×2×2×7＝112。 二、选择题 11. C 解析： 质数×质数得到的新数至少有3个因数（1除外还有两个不同的质数），所以一定是合数。特别注意：2×2＝4，仍然是合数。最小的质数是2，两个质数（至少一个不是1）相乘，其因数至少包含1、第一个质数、第二个质数、两质数之积，因此因数个数≥3，且积肯定大于它的真因数，所以是合数。 12. B 解析： 哥德巴赫猜想要求两个数都是质数。A中1不是质数；B中17和19都是质数，符合；C中25是合数；D中49是奇数且36是合数。对“大于2的偶数”的理解：从4＝2＋2开始，任何大于2的偶数都可表示为两个素数之和。 13. C 解析： 正方形边长为42分米，地砖能正好铺满，说明地砖的长和宽都需要是42的因数。42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。A中5不是42的因数；B中5不是42的因数；C中7和6都是42的因数，√；D中8不是42的因数。考查“因数的应用”。 14. B 解析： ①最小的质数是2，最小的合数是4，最大公因数是2，错误；②互质数的定义即最大公因数为1，正确；③正确，两个数的公因数不超过较小的那个数，所以个数有限；④两个合数的最大公因数可以是1（如8和9互质），错误。所以正确的有②③，共2个。仔细解读后应该是①错误（2和4最大公因数=2≠1）、②正确、③正确、④错误（8和9互质，最大公因数=1），实际有2个正确。 15. C 解析： a为自然数时：A不确定；B中2a＋1一定是奇数；C中2a＝2×a一定是偶数；D中2a−1一定是奇数。偶数定义为能被2整除的数，2a÷2＝a必为整数，所以一定是偶数。 三、判断题 16. ✕ 解析： 同时是2、3、5的倍数即30的倍数。30的倍数有30、60、90、120…，有无限个，没有最大值。所以“这个数最大是30”错误。 17. √ 解析： 两个数的公倍数有无限多个，公因数只有有限个（不超过较小数）。这个表述正确。 18. √ 解析： 2＋0＋1＋6＝9，9是3的倍数。用这四个数任意排列得到的四位数，各位数字之和始终为9，所以一定是3的倍数。各位数字之和能被3整除是3的倍数的判别方法。 19. √ 解析： 同时是2和5的倍数个位一定是0，又有因数3，即30的倍数。不大于100的30的倍数有30、60、90，其中最大的是90，所以90既是2和5的倍数，又有因数3。 20. √ 解析： 若边长为质数a，面积＝a²，因数至少有1、a、a²，所以面积是合数。注意a＝2时，2×2＝4也是合数，该命题一定成立。考查“质数与合数”及面积计算。 四、计算题 21. 答案：（1）7和10最大公因数为1 （2）4和9最大公因数为1 （3）12和24最大公因数为12 （4）27和3最大公因数为3（5）26和13最大公因数为13 （6）15和25最大公因数取公共质因数5 解析： (1)(2)互质数最大公因数为1； (3)12和24，24÷12＝2，所以最大公因数为12； (4)27÷3＝9，最大公因数为3； (5)26÷13＝2，最大公因数为13； (6)15＝3×5，25＝5×5，最大公因数取公共质因数5。 22. 答案：（1）8和12最小公倍数24（2）5和7最小公倍数35（3）15和20最小公倍数60 （4）40和60最小公倍数120 （5）9和27最小公倍数27 （6）18和24最小公倍数72 解析： (1)8和12的最小公倍数＝2×2×2×3＝24；(2)互质，5×7＝35；(3)15＝3×5，20＝2×2×5，最小公倍数＝2×2×3×5＝60；(4)40＝2×2×2×5，60＝2×2×3×5，最小公倍数＝2×2×2×3×5＝120；(5)27÷9＝3，9和27的最大公因数是9，最小公倍数＝27； (6)18＝2×3×3，24＝2×2×2×3，最小公倍数＝2×2×2×3×3＝72。 23. 答案： 14＝2×7 38＝2×19 56＝2×2×2×7 70＝2×5×7 50＝2×5×5 85＝5×17 解析： 分解质因数可用短除法逐级分解，直到全部为质因数或直接用因式分解。 五、看图列方程 24. 解：设每个小正方形的边长为x厘米。 长方形的长＝3x，宽＝x， 周长＝(长＋宽)×2＝(3x＋x)×2＝48 8x＝48 x＝48÷8 x＝6 答： 每个小正方形的边长是6厘米。 25. 解：设原正方形的边长为x厘米。 原正方形面积＝x²；新长方形面积＝x·(x＋3)＝x²＋3x 根据“面积增加了39平方厘米”：x²＋3x－x²＝39 3x＝39 x＝13 答： 原正方形的边长是13厘米。 六、解答题 26. （5分）解： 每排绿萝盆数相同且没有剩余，说明每排盆数是36的因数；每排多肉盆数相同，说明也是48的因数。因为要求每排绿萝盆数和多肉盆数都一致，所以每排盆数为36和48的最大公因数。 36＝2×2×3×3 ; 48＝2×2×2×2×3 最大公因数＝2×2×3＝12 答： 每排最多能摆12盆（绿萝排数：36÷12＝3排；多肉排数：48÷12＝4排）。 27. （5分）解： 两车同时发车的间隔时间是8和12的最小公倍数。 8＝2×2×2; 12＝2×2×3 ; 最小公倍数＝2×2×2×3＝24（分钟） 早上7:00首班同时发车，之后每隔24分钟同时发一次。 7:00→7:24→7:48→8:12→8:36→9:00→9:24→9:48→10:12→10:36→11:00→11:24→11:48 从7:00到12:00共5小时＝300分钟。300分钟÷24分钟＝12（次） 除了7:00首班外，还有12次。到12:00又同时发车，所以一共有13次（含7:00和12:00）。 答： 到中午12:00之前（含12:00），共有13次同时发车，除7:00首班外还有12次。 28. （5分）解： 设分子＝4a，分母＝4b（a、b为互质整数，且分母＞分子）。 4a＋4b＝28 ; a＋b＝7 满足条件的互质数对有：(1,6)、(2,5)、(3,4)。 若a＝1，b＝6，分数＝＝（分子4，分母24） 若a＝2，b＝5，分数＝＝（分子8，分母20） 若a＝3，b＝4，分数＝＝（分子12，分母16） 答： 这个分数可能是、或 29. （6分）解： 人数同时是8、9、12的倍数，即8、9、12的最小公倍数。 8＝2×2×2; 9＝3×3; 12＝2×2×3 最小公倍数＝2×2×2×3×3＝72（人） 植树节3月12日，每人植3棵：72×3＝216（棵） 答： 参加植树的同学最少有72人，最少需要准备216棵树苗。 30. （6分）解： (1) 每根短彩带长度＝48和32的最大公因数。 48＝2×2×2×2×3 ， 32＝2×2×2×2×2 最大公因数＝2×2×2×2×2＝16（厘米） (2) 48÷16＝3（根） 32÷16＝2（根） 一共有3＋2＝5（根） 答： 每根短彩带最长16厘米，一共能剪成5根。 31. （6分）解： “3个3个地数多2个”即总数÷3余2，“5个5个地数多4个”即总数÷5余4，“7个7个地数多6个”即总数÷7余6。 即总数＋1能被3、5、7同时整除。 因为3、5、7两两互质，所以总数＋1是3×5×7＝105的倍数。 105−1＝104， 答：妈妈最少买了104个苹果。 32. （6分）解： ①从1加到16：奇数(1,3,5,7,9,11,13,15)之和：有8个奇数，和为偶数。偶数(2,4,6,8,10,12,14,16)之和：一定是偶数。偶数＋偶数＝偶数。 答： 和是偶数。因为奇数个数为偶数（8个）时和为偶数，偶数之和为偶数， 所以总和为偶数。 ② 1×3×5×7×…×99×2：前面1×3×5×…×99全是奇数相乘，结果仍为奇数。再乘以2（偶数），奇数×2＝偶数。 答： 积是偶数。因为最后一个因数2是偶数，任何数与偶数相乘的结果都是偶数。 七、附加题 33. （10分）解： 甲去图书馆的周期为4天，乙为6天，丙为8天。 他们同时相遇的时间间隔为4、6、8的最小公倍数。 4＝2×2; 6＝2×3 ; 8＝2×2×2 最小公倍数＝2×2×2×3＝24（天） 即每24天三人同时在图书馆相遇一次。 第一次相遇：5月8日；第二次相遇：5月8日＋24天＝6月1日 第三次相遇：6月1日＋24天＝6月25日 第四次相遇：6月25日＋24天＝7月19日 问：从5月8日到7月31日统计总共几次相遇？ 答：从5月8日起，相遇日期分别为5月8日、6月1日、6月25日、7月19日。共4次。下一次8月12日已超出范围。 答： 下一次三人都在图书馆相遇是6月1日。从5月8日到7月31日，三人同时在图书馆共相遇了4次。 学科网（北京）股份有限公司 $