精品解析：河南华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考数学试卷

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚部单位，若，则 A. i B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当 时，（m为常数），则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 8 4. （ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 6. 设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（ ） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点G到的三边 ， ， 的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ） A. 当时，的面积为 B. 当时，的周长为 C. 当为钝角时， D. 内切圆的半径的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间向量在上的投影向量为___________． 13. 已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量（单位：万辆）如下表所示． 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 1 2 3 4 5 6 销售量y 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 （1）求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数； （2）已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2025年12月份的销售量． 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，，，. 16. 设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前2n项和． 17. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为 ，如图2所示，设M为CD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面和平面的夹角的余弦值． （3）在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求方程的所有实数解； （2）证明：当时，； （3）若在上恒成立，求a的值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6． （1）求椭圆E的方程． （2）设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为． ①求点P的轨迹方程； ②求四边形ACBD面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚部单位，若，则 A. i B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求得，再根据共轭复数的概念，即可求解． 【详解】由题意，复数， 所以. 故选：A． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式，得，即， 所以， 解不等式，变形得， 因为指数函数是上的增函数，所以， 所以． 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当 时，（m为常数），则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，则， 所以当 时，， 所以，故． 4. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正切公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以． 5. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 6. 设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（ ） A. 84 B. 63 C. 42 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，利用求和公式分别表示出等差数列的前6项和与等比数列的前3项和，再由二者相等建立关于的方程，进一步求解出. 【详解】依题意可知，，显然， 又， 则． 又，故， 所以，解得，所以． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用三角函数平方关系化简函数表达式，再通过换元法将其转化为二次函数，最后根据二次函数性质求出原函数最小值. 【详解】因为， ， 所以． 令，设，则． 当时，，所以的最小值为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面垂直的性质可判断BC；根据空间位置关系的向量判断方法可判断D. 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可知，A正确； 对于B，若，则可能有或或斜交或，B错误； 对于C，若，但是m不一定在 内，故不能推出，C错误； 对于D，因为，，所以直线的方向向量分别与平面的法向量平行， 又因为，所以两平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即，D正确. 故选：AD 10. 设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（ ） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点G到的三边 ， ， 的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过正弦定理、向量关系、三角形面积公式等分别判断各选项中元素能否构成三角形. 【详解】由正弦定理可知， 所以以的长度为边能构成三角形，故A正确， 设三条中线分别为AD，BE，CF，则有， 因为，所以，即三个向量可构成闭合回路， 所以以的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确， 显然当时，，故C错误， 因为，所以， 所以，所以以的长度为边能构成三角形，故D正确． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ） A. 当时，的面积为 B. 当时，的周长为 C. 当为钝角时， D. 内切圆的半径的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由焦点三角形的面积公式，求出的面积，判断A；，根据双曲线的定义及勾股定理求得，从而求得的周长，判断B；由为钝角，根据余弦定理可得的范围，用表示，即可求得其范围，判断C；根据双曲线焦点三角形内切圆半径的范围，可判断D. 【详解】当时，，故A错误； 设，当时， 有， 所以，的周长为，故B正确； 设，当为钝角时，由余弦定理知， 因为， 所以，故C正确； 由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即 ，故D错误． 引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 证明如下： 如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）． 设内切圆的半径为r，点， 由焦半径公式得，其中． 所以． 因为， 即． 因为点在双曲线C上，所以，得． 于是，把代入得 ． 易知在时单调递增，且， 由函数的单调性及极限的知识可知， 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 空间向量在上的投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式计算. 【详解】由题意得，，， 故向量在上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不同状态下投骰子的结果建立状态转移方程，然后利用已知的终止状态逐步递推求解初始状态的成功概率. 【详解】定义状态i（）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前， 已经观察到不同的数字来自集合的个数， 设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字）， 显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此， 对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0， ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变， ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到， 因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程： ， 化简得，移项得， 即． 利用，依次计算得 ， ， 因此，所求概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量（单位：万辆）如下表所示． 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 1 2 3 4 5 6 销售量y 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 （1）求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数； （2）已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2025年12月份的销售量． 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，，，. 【答案】（1）平均数为3；80%分位数为3.7 （2），约为6.08万辆 【解析】 【分析】（1）利用平均数和分位数的计算方法，根据给定销售量数据分别计算. （2）先算出和，再用公式求得到回归方程，最后代入预测销售量. 【小问1详解】 由题意可得，6个月销售量从小到大排列为： ， 所以平均数为． 因为，所以这6个月销售量数据的80%分位数为从小到大排列后的第5个数：3.7． 【小问2详解】 由（1）可知：， ， ， ， 所以 ，当时， （万辆）， 即预测2025年12月份的销售量约为6.08万辆． 16. 设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先令函数，根据正弦函数值求解 ，再结合最小正零点及已知条件求出. （2）由（1）得出 的表达式，令正弦函数的相位为，求解 ，进而得到对称中心. （3）根据三角函数零点求出数列的通项公式，进而求出. 【小问1详解】 令得 或，其中， 解得或， 所以当时，的最小正零点为． 依题意有，故． 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为． 【小问3详解】 由（1）可知满足或， 依据三角函数的特性可知，在一个周期内有两个零点， 所以最小的两个正零点为，周期， 所以数列的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 数列的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以， 所以． 17. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为 ，如图2所示，设M为CD的中点． （1）证明：平面． （2）求平面和平面的夹角的余弦值． （3）在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在图1的等腰直角中，D为 的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且 ，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面． （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，从而；由已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，可求得平面和平面的夹角的余弦值； （3）假设存在点Q满足题意，且，根据线面角的向量求法，列出方程，求解可得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则 则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则 则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则． 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求方程的所有实数解； （2）证明：当时，； （3）若在上恒成立，求a的值． 【答案】（1）或 （2）令，则， 当时，因为在上单调递增，且， 所以当 时，单调递减； 当 时， 单调递增， 所以． 当时，因为，所以， 综上所述，当时，，即． （3） 【解析】 【分析】（1）先将代入，再用辅助角公式化简方程，最后根据正弦函数性质求解. （2）构造函数，求导分析其单调性得最小值，再结合函数性质判断其他区间函数值情况，最终得出. （3）构造函数，根据可知，即，并代入检验即充分性即可. 【小问1详解】 当时，， 则，所以， 所以， 即或， 解得或． 所以方程的所有实数解为或． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 构造函数， 则， 因为对任意内恒成立， 且，可知 为极小值点，则，即， 若，因为，则， 由（2）知，当时，成立， 所以在上单调递增， 则，由的单调性知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，满足题意， 综上所述，． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6． （1）求椭圆E的方程． （2）设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为． ①求点P的轨迹方程； ②求四边形ACBD面积的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点及三角形周长得出的值，再将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆中的关系联立方程组求解，进而得到椭圆方程. （2）①结合两直线分别过左右焦点写出直线方程的两个斜率，代入已知斜率乘积条件消参化简，排除斜率不存在的对应点，得出点的轨迹方程. ②方法一：先分别联立​、与椭圆方程，算出弦长和，结合已知斜率乘积关系写出四边形面积表达式，换元后根据函数性质即可得到面积的取值范围；方法二：先写出两条直线方程，联立与椭圆得到弦长，将四边形面积表示为乘C、D到的距离和，代入斜率条件化简面积表达式后，换元结合函数性质即可求出面积的取值范围。 【小问1详解】 因为椭圆的焦点为， 的周长为，即， 已知在椭圆上，代入得， 结合椭圆关系，所以， 解得， 所以椭圆E的方程为 ． 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆E的方程为 ，焦点坐标为， ①设直线与直线的斜率分别为，则， 设点P的坐标为，则， 即，因为斜率存在所以, 化简得， 所以点P的轨迹方程为， ②方法一 设， 联立， 则， 联立， 则， 所以， 同理可得， 设与的夹角为，因为与的方向向量分别为， 所以， 所以， 设四边形ACBD的面积为S， 则， 因为，所以， 令，则， 则， 令，则，化简得， 当时，S→6；当时，， 所以四边形ACBD面积的取值范围是， 方法二 设，直线AB的方程为， 则，直线CD的方程为， 联立直线AB与椭圆的方程得， 则， 所以， 设分别为点C，D到直线AB的距离，四边形ACBD的面积为S， 则， ， 联立得， 故． 所以， 所以， 思路1：令，则 ， 因为，所以， 因此， 思路2：令，则，即，则 ， 显然，当时，S取得最大值，当时，， 因此． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $