河南商丘市华大新高考联盟2026届高三4月联考模拟预测数学试题

数学参考答案和评分标准 题号 6 8 9 10 11 答案 B B ABD ABD ABD 一、选择题 1.【答案】C 【解析】令3”一100<0，n∈N,解得n=1,2,3,4,则k=4,故选C. 2.【答案】C 【解析2-2Di-1中-是，故所求虚部为方，故选C 4 3.【答案】B 【解析】依题意，U={x∈N一2<x<6}={0,1,2,3,4,5},故CvA={0,3,4},则CA的真子集个数为 23-1=7,故选B. 4.【答案】D 【解析】依题意，7×0.75=5.25，故m为该组数据按照从小到大排列后的第6个数，则8≤m≤10，故选D. 5.【答案】A 【解析】依题意，26=a十c,则26a=c,即4级-4b十a=-d+,即3动一4a=0,解得号-是，故所求 渐近线方程为y一土x,故选A 6.【答案】B 【解析】V-·V2y->0x>1且y>号 log.2lOgs(2y-1)<0log(2y-1)<loglog(2y-1)lg1 2 22>(2)4y台4>4'台y<x. 因为x>1,所以号>，由>y得>取x=45,则<，但x不成立 故“1og.2x十1ogs(2y-1)<0”是“22x>(√2)”的必要不充分条件，故选B. 7.【答案】D 【解析】依题意，-sina一3cosa十3cosB-sinB=0, sin(-B)+3cos(-B)=sin a+3cos a, 则√/10sin(-十p)-√10sin(a+p),其中tanp=3. 因为a,B的终边不关于x轴对称，故a,一B的终边不重合，则a十9一B十p=(2k十1)π，其中∈Z, 放。g-2g+(2+1,则ma)=-am2g=。吕。-是，放选D 8.【答案B 【解析】设圆维的底面半径为，则日·心2·5，一8写，解得=2.设小球的半径为R,则专R-, 27 4·数学参考答案和评分标准第1页（共7页） 解得R=号在圆维内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台 侧面，如图1所示.如图2，由于小球的半径R=OE=O2G=O3D -g,SB=SC=BC=4,则SE=SF=BG=B1-CK=CD=1,又 △SFE,△SGD都是等边三角形，所以EF=1,GD=SG=SB 图 BG=3,则圆台上底面圆的半径为号×EF=2,下底面圆的半径 为号×GD=多，母线长FG=SG-SF=3-1=2,其侧面积S,=π×（合+2）×2=4，故选B 二、多项选择题 9.【答案】ABD 【解析】连接MO,因为MO∥SA,MOC平面BDM,SA￠平面BDM,所以SA∥平面BDM,故A正确. 易知ACL⊥BD,而SA⊥平面ABCD,故MO⊥平面ABCD,故MO⊥AC. 因为MO∩BD=O,所以AC⊥平面BDM,故B正确. 易知∠MOS为二面角MBD-S的平面角，则cOs∠MOS=MOO云4=2104=2，故C 2M0·S0 2X√2X√10 错误。 取SD的中点N,连接MN,BN,则∠BMN为直线BM,CD所成的角或其补角，cos∠BMN= BM成MN-2子-放∠MN=1,则直线M与CD所成的角为60，放DE确 2BM·MN 故选ABD, 10.【答案】ABD 【解析】x=1为f(x)的极值点也是f(x)的零点，由题意得f'(x)=6x2+2ax,则f(1)=6+2a=0,解 得a=一3，故A正确. f(1)=2-3+b=0,獬得b=1,故f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=6.x2-6x=6x(x-1),当x∈ (2,十∞)时，∫(x)>0,故f(x)在(2，十∞)上单调递增，故B正确. 假设f(x)的图象的对称中心为(m,n),则对Hx∈R,有f(x)=f(2m一x),则6x(x一1)= 6(2m-z)(2m-x-1),即x2-x=2m(2m-1)-(4m-1)x十x,对照可知m=是，而f(号) 2×(2)°-3×（侵）+1=2，所以f(x)的图象的对称中心的纵坐标为2，故C错误。 4f(x)>2x+1曰8x3-12x2-2x+3>0台4x2(2x-1)-(2x-1)(4x+3)>0台(2x+1)· (2x-1)(2x-3)>0,则x∈(-2,2)U(号，+∞)，故D正确.故选ABD, 11.【答案】ABD 【解折1设P(%),则+=1，∈[-2,2]，则P叹·PF=后+6-3=6-2∈[-2,1]，故 A正确. 设PF,的中点为G,PF=4-PF,因为O是FF,的中点，所以OG=2|PF=2-2|PF, 又以AA为直径的圆的圆心为O,半径，=2，以PF,为直径的圆的圆心为G,半径=|PF,,所以 |OG=n一r2,所以两圆内切，故B正确. 设P(x1,y1),Q(x2y2),则PQ的中点R(x,y),依题意， 4·数学参考答案和评分标准第2页（共7页） 度+ 两式相减可得(x1十x2)(x1一x2)+4(y1十y2)(y1一y2)=0,化简可得3x=4y, +=1 _4m2 n解得号，罗》枚+(-罗）<1，解得-9沿<m放c结误 联立 (%=3x+m, 13 13 当直线OP的斜率存在且不为0时，设直线OP的方程为y=kx, 由y京得十2三4所以2 1十按所以中城· 4 .4k2 y=kx 42 4+4k 所以0P=√1+4+1+4级-√1+4k 4 因为0P10Q,将k用-代换可得10Q-√千4， /4+4k2 1/4+4k 故Saw=号OP·OQ=2√1+4R 4+4k2 (1+k2)2 ·Nk2+4 =2√1+42)(2+4) 4+2k2+1 ++1-及 =2√4k+17k2+4 2N 4k+17k2+4 =24 1 4k4+17k2+4 9 9 9 =2 1 ≥2 4 14 4 7 4k+17+ .4 2,√4×是+17 当且仅当4级=是，即=士1时取等号.因为≠0，所以2,4 4+17干4<1，所以号<S<1, 当直线OP的斜率不存在或为0时，S△arQ= 号0P1·l0Q=2×1×2=1. 所以△OPQ面积的取值范围为[手，1]，故D正确.故选ABD, 三、填空题 12.【答案】易 【解析】若有2个小球的编号与盒子的编号一致，则有C×2=20种；若有3个小球的编号与盒子的编号 一致，则有C=10种；若有5个小球的编号与盒子的编号一致，则有1种，故所求概率P=20+0+1= A 31 1201 13.【答案】76. 【解析】设a1=m,则an=mn,bn=m”,故15m=m十m2+m3十m,则m3十m2十m=14,易知f(x)=x3+ x2十x在n∈N上单调递增，且f(2)=14,故m=2,则a6=12,b=2=64,则a6十b。=76. 14.【答案】(ln(-m),0） 【解析】依题意，()=e-,xER,令F(x)=f(x,则F(x=e+ 4·数学参考答案和评分标准第3页（共7页） 令F'(x)=0,解得x=n(-m),而en-=一m,放f(合n(-m)）=0 下面验证（之ln(-m),0)为函数y=f(x)的对称中心. 因为fn(-m)+x)十f(-x)-e+。”十e+=-me-是+是+me=0, 所以函数y=f(x)的对称中心的坐标为（侵ln(一m),0): 四、解答题 x+0.005+0.01+y+0.019+0.02+0.027=0.1, 15.【解析】(1)依题意， …(2分) y-x=0.011, 1x=0.004, 解得 …(4分) y=0.015. (2)依题意，X~B(4,号)， 则PX-o)-(台》-器PX-1)-c×(侍}×号鬻 P(X=2)=( ×()}×(信)-器Px=3)=cGx×(传)-器 PX=4=(传）广=25 (10分) 分布列如下表所示. X 0 1 2 3 4 256 256 96 16 1 (11分) 625 625 625 625 625 故E(X)=4X号-告 ……………… (13分) 16.【解析】(I)由正弦定理得，4 sin Acos B十4 cos Asin B+3 sin Ctan C=0,…(1分) 4sin(A++B)+3sin Ctan C=4sin C-+3sin Ctan C=0........................................ (2分) 因为sinC≠0，所以4+3tanC-0,则tanC=-号 39 …(3分) 故sinC-4 ,cosC=-3 , …(4分) 所以c=V+6-2 bsC=√5+5-2X5×(-号)=4， …(6分)》 Sa=7 absin C=-×5X5×号=2. 。。。。。。。。。。。。。。。 …(8分) (2)如图，∠BCM=∠ACB-至， 故n∠BCM=n(☑AcB)-号×受+号×竖- 210 .…(10分) AM CM 在△ACM中，由正弦定理得，sAC7nA… (11分) BM CM 在△BCM中，由正弦定理得，sin∠BCM sin B' .....。..。e (12分) 4·数学参考答案和评分标准第4页（共7页） 故n2 ACM sinCM所以-号. BM (13分) 因为CM=aCA+C3,所以入=BM=? 'μAM5: (15分) 17.【解析】(1)如图，连接AD1,因为AM∥D1C1,所以A,M,C1,D1四点共面.…(1分) 因为CM∥平面ADD1A1,平面ADD1A1∩平面AMCD1=AD,CMC平面AMC1D1, 故AD1∥CM,故四边形AMCD1是平行四边形，…(3分) 所以AM=D,G=DC= 易知∠A1AM=60°，因为AA1=1, 所以AM=√AA+Af-2AA·AM·cos60= 2, …(5分） √3 所以9 4 (6分) (2)如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BA所在的直 线为y轴建立空间直角坐标系，则C(1,00),A,(0,多，号）， M0,号o）B(o,） 由8ò-2BC,得C(侵2号），放Ci-(-1,-号)， (8分) 6 B0-(1,000Ad=(1,-,-）, …(9分) n·BC=x=0, 设n=(x,y,z)为平面A1CB的法向量，则 n…At-xy9-0, 令之=√3，则y=-1,故n=(0,-1,3),…(13分)》 故直线CM与平面A1CB所成角的正弦值sin0= CM.nl_52 CM 8 (15分) 18.【解析】1)当直线1的倾斜角为120且M,N,F三点共线时直线1：y=一5(x一号)， (y=2px, 联立 =(e-),则3x-5px+3梁-0， (2分) 设My),N(),故MN=十+p=号p=9,则p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x.… (4分) (x=my+4, (2)设直线L:x=my十4，联立 则y2-4my-16=0, y2=4x, 则y1十y2=4m,y1y2=一16. …(5分) 受-m…尝-4=0 2 设P(xoy),则 解得x=8 -8m m2+13%= m2+1 …(6分) .1=-1, om 4·数学参考答案和评分标准第5页（共7页） 则，64m2。=32 (m2+1)27m2千1，解得m2=1, …(8分） 则y-y2=√(y十y2)2-4yy2=4W5, (9分) 则Sa=Sa=号·1OD1·1y-%=8V5. (10分) (3)直线1的斜率为二y=当一当=4 x-x12_y十为' 44 直线1的方程为y一y-y2十y x),代入飞二并整理得4x-(十2y十=0， 令=-1得，y=44,则Q(-1,) ………… y1+y2 (13分) y1+y2 焦点F的坐标为(1,0)，直线MF的方程为(x1一1)y=y1(x一1)， (14分) 整理得yx一(x1一1)y一y,=0,则点Q到直线MF的距离 -为-y4)z-1）-9 (y1y2- y1+y2 2y1十 y1十y2 4y+4y1y2+yiy2+16 d √(x1-1)2+y √(x1-1)2+y7 4√/(x1+1)2|y1+y2 =4(+4)十2(y+4)1_|(y+4)(2十4)川_1十4 (4x1+4)(y1+y2) |(y+4)(y1+y2) 1y+2T, 同理点Q到直线NF的瓶离4=产， 由d1=d2及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线QF是∠MFN的外角平分线.…(17分) 19.【解析】(1)将)=0和x=0绕坐标原点0顺时针旋转号后，分别得到y=一3x,y- 3x. 当x=0时，ya(e-1D=0,故间题转化为曲线)=a(e-1D(x≥0)与直线y号x有且仅有(0,0)一 个交点.…(2分) 令a(e一1D二x,则W3a(e-1)=z. (3分) 当a心0时，由切线不等式e-1≥x可知，当且仅当x=0时，等号成立，故当a>3时W3a(e-1D≥ (4分) 当a≤0时，因为x≥0，故√3a(e2一1)≤0≤x,当且仅当x=0时，等号成立.…(5分) 综上所述，实数a的取值范固是（一∞，0U[停+ ，…(6分) (2)(1)设点(m,n)在曲线C上，则m-n= 1+mn m2+mn+n' …(7分) 所以-n十m= 1+mn n2十mn+m2 因为点(m,n)关于直线x十y=0对称的点为（一n,一m),…(9分） 所以曲线C关于直线x十y=0对称. (10分) 1十xy (i)x-y=2+zy+ 2台(x-y)(x2+xy+y2)=1+xy台x3-y3=1+xy台→x3-y3-xy=1. 将曲线C绕坐标原点O顺时针旋转无后得到曲线C,由旋转公式可得 4·数学参考答案和评分标准第6页（共7页） x=-y), 则 2 代入曲线得（竖y)广-（竖竖）（竖+竖y)-(竖+竖）八=1， 整理得(1十3√2y)x2=-√2y3+y2-2,显然1十3√2y≠0， 故曲线C的方程为x2=-√②y+y-2 (12分) 1+32y (W2y3-y2+2)(1+3√2y)≤0， 因为x≥0，所以 1+3√2y≠0. 令f(y)=√2y3-y2+2, 则f(y)=3√2y2-2y=y(3√2y-2). 令f0=0得0%号。 因为当)(-，0和（号，十）时，f(>0,当y∈(，号)时，)<0， 所以)在（一©，0）和（号，十∞）上单调递增，在(0，)上单调递减 又f0)=2>0,(号）=器>0，当y+时，fg)+o,当-时，00-0， 所以f(y)存在唯一零点y. 因为f誓）一器0，所以不等式2)-y+21+32)≤0的解集为[%，号)，…(15分) 所以曲线C恒在直线y=一 号的下方. (16分) 将直线y=怎绕原点0递时针旋转子，可得=1，此时点0以0,0)到直线y一x十6的师离为号。 所以会-号得6=专所以位子 综上所述，k=1,b>-子 (17分) 4·数学参考答案和评分标准第7页（共7页）比前数真出，点两以，M下 数学 .为儿点/1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小顾给出的四个选项中，只有一项层符合顺日要求的。 1.已知数列(a,)的前n项和为S,若a,3”-100,且S,为5。的最小值，州k A.2 B.3 C.4 D,5 22的虚部为 A-号 B 3.已知全集U={x∈N(x+2)(x一6)<0)，集合A=(1,2,5),则CA的真子集个数为 A.3 B.7 C.15 D.31 4.已知一组数据1,2,4,6,8,10，m的上四分位数为m,则m的值可能是 A.3 B.5 C.7 D.9 6若双曲线E:专1(@>0,6>0)的实轴长，虚轴长焦距成等差数列，侧双曲线E的渐近线方程为 A)=土是x有音By=士号x1Cy=士号x Dy=± 6.已知实数xy满足√x-·√2y-I>0,则“logo.2x十log25(2y-1)<0”是“22>(2)y”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知平面向量a=(sina十3cosa,1),b=(-1,3cosB-sin),若a⊥b,且a,β的终边不关于x轴对称，则 tan(a-β)= A-号 B- c D是 &已知体积为3严的圆维50的姆线与底面的夹角为60，若体积为4停的带蓝色颜料的小球在该圆维内 3 滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝色区域的面积为 A2π B.4π C.5π D.6π 4·数学试题第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，已知四棱锥S-ABCD,其中底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD,M为线 段SC的中点，AC与BD交于点O,AB=2,SA=2√2，则 发 A.SA∥平面BDM B.AC⊥平面BDM C二面角MBD-S的余弦值为写 0 D.直线BM与CD所成的角为60° 10.已知函数f(x)=2x+ar+b,若f(x)>0的解集为{z-是<x<1或x>1,则 0 A.a=-3 B.f(x)在(2，+o∞)上单调递增 兴中土业站合西路，辛始1平 C.f(x)的图象的对称中心的纵坐标为1 .学场守什好 D.不等式4f(x)>2x+1的解为(-，2)U(侵，+∞) 1.已知椭圆C:苦+y-1的左右焦点分别为R,F,左右顶点分别为A1,A,P,Q是椭圆C上不同的两 点，0为坐标原点，则 APE·PF,∈[-2,1] 1.4+日，，0.w试保2说门，.1，中9》 :西阳处25 B.以PF2为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切 A热4动试 C.若点P,Q能够关于直线y=3x+m对称，则m∈ 121312√13 13 13 D.若OP⊥OQ,则△OPQ的面积的取值范围为[号，1] (3D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11时，中，：我 12.将编号为1,2、3、4、5的5个小球放人编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2 个小球的编号与盒子的编号一致的概率为」 .人C1西评M)日，日资4适 13.已知数列{an}和{b.}分别是公差为d的等差数列和公比为g的等比数列，且a1=b,=d=q,若数列 {an}的前5项和与数列(bn}的前4项和相等，则a6十b。= 14.若函数f(x)=e+,其中m<0,则曲线y=∫(x)的对称中心的坐标为 有雨好作 登t如D心， 4·数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。共碳命，二 15.(13分) 研究机构对某省内所有“985工程”院校A专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计 如图所示，已知y-x=0.011. 频率 得之 组距 0.027 年1， 008 及常之闭丽 0.01 法南家的首( 0.005 V.0 1020304050607080 年薪万元 (1)求x,y的值； (2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在[30,40]万元的人数为X,求 X的分布列以及数学期望， )如源，，.A达价动，点，，城公识 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4 acos B+4 bcos A+3 ctan C=0,a=b=√5. (1)求c的值以及△ABC的面积； 1 (2)已知点M在线段AB上，若CM=AC才+uC店，且∠ACM=至，求的值 门5， 这理用廊9《，奥，×y)客 17.(15分) 如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D,中，四边形ABCD为梯形，∠ABC,CD =∠BCD=2∠BAD=90°，AA1=A1B1=BB1=BC=CD=1,AB=2,点 A B M在线段AB上，且C,M∥平面ADD,A1 D )求公的值：通 (2)若平面ABCD与平面A,B,CD,间的距离为号，求直线CM与 平面A1CB所成角的正弦值. 4·数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于M,N两点，当直线l的倾斜角为 120且M,N,F三点共线时，MN=9。 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l过点D(4,0),点P在抛物线C上，且O,P关于直线l对称，求SAw: (3)已知直线l与抛物线的准线交于点Q,且直线l不过点F,探究：QF是否为∠MFN的外角平分线， 并说明理由。 19.(17分) 已知对任意平面向量OP=(x,y),把O驴绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向量O=(x0os0-ysin0, xsin0+ycos),叫作把点P绕点O逆时针方向旋转0角得到点P, (1)将曲线y=ae-a(x≥0)绕坐标原点0逆时针旋转于后，所得曲线是某个函数的图象，求实数a的 取值范围 (2)已知曲线C:x一y= 1十xy x2+xy十y 款.生，头时时心0,01= (i)求证：曲线C关于直线x+y=0对称. (i)已知直线l:y=kx十b,探究：是否存在k,b,使得直线l在曲线C的上方，若存在，分别写出k,b满 足的条件；若不存在，请说明理由. 论公不迎 是文 丹图不山管个题.国 冷六. ,后千关不类的，n月，n搭，《-无o9,-)=【的8。：口秘5 4新码对益粮小轻0业带的女丹格比雅m画相的02前 理问东并（面含公面湖，大代股 20 4·数学试题第4页（共4页）