精品解析：吉林长春市第五十二中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试题

2025-2026学年长春市第五十二中学七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数均为1． 【详解】解：对于选项A：，项的次数为，不符合定义； 对于选项B：整理得，，符合二元一次方程的定义； 对于选项C：，是分式方程，不符合定义； 对于选项D：，的次数为，不符合定义． 2. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 3. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于A选项，∵不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故A变形错误； 对于B选项，∵不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B变形正确； 对于C选项，当或时，不成立，故C变形错误； 对于D选项，举反例：若，，满足，但，故D变形错误． 4. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可知不等式的解集为，可得，据此即可求解． 【详解】解：由数轴知：不等式的解集为，则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由数轴判定不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 5. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义即可进行解答． 【详解】解：的边上的高是线段， 故选：C． 【点睛】从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高． 6. 由方程组可得出x与y的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， 方程组两式相加即可得出关系式，熟练掌握解方程组是关键． 【详解】解：方程组， ，得， 整理得：， 故选：D． 7. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 8. 明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 设共有x人，y两银，根据“每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两”列方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y两银， 根据题意得：， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，是的外角，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是的外角， ∴． 11. 将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 12. 已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 13. 如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______． 【答案】75 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【详解】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键. 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故②正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： 【答案】x=5 【解析】 【分析】将方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解. 【详解】解： -2x=-10 x=5 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①变形，得， 将代入②，得， ， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 17. 解不等式组，请结合题意填空． 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 该不等式组的解集为 ， 【答案】， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握其运算法则是解题的关键．分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，取其公共解即为不等式组的解集，根据不等式解集在数轴上的表示方法画出数轴． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段交点称作格点． （1）的面积是______； （2）画出的高； （3）在线段上找一点（点在格点上），连接线段，使得线段将图中分成面积相等的两部分． 【答案】（1） （2） 高如图所示： （3） 点如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据网格计算三角形的面积即可； （2）取点向下6个单位，向左9个单位的格点，连接，与的交点即为点； （3）取的中点，即为所求点，连接即可． 【小问1详解】 解：由网格可知，； 【小问2详解】 解：由网格可知，， ∴是的高线； 【小问3详解】 解：由网格可知，线段是的中线， ∴线段将分成面积相等的两部分． 19. 从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． （1）若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； （2）选择（1）中的一种设元方式解答问题． 【答案】（1），，，； （2） 解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是， 由题意得：， 解得：， 甲乙两地之间的高速公路的路程为：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为； 解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 如果设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是，可列方程为：；如果设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为，可列方程为：； 根据的设元方式，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是， 根据题意可得：； 设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 根据题意可得：； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数； （2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （ ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 【答案】（1）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；（2）；； 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，垂直的定义，等量代换，等式的性质. （1）根据三角形外角的性质，垂直的定义，等量代换补全过程即可； （2）根据等量代换，等式的性质补全过程即可. 【详解】解：（1）（已知）， ． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知）， （等量代换）． 故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；； （2）， （等式的性质）． （已知）， （等量代换）． 故答案为：；； 21. 阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求，这个二元一次方程的正整数解． 解：由 ，得：，根据、为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： （1）若为非负整数，则满足条件的整数的值有______个． （2）直接写出满足方程的正整数解 ． （3）若要把一根长为米的绳子截成长为米和米两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】（1） （2） （3）共有种截法，①截成段米的绳子和段米的绳子；②截成段米的绳子和段米的绳子 【解析】 【分析】（1）由题意可知，是的正因数，进而求得，，，，一共4个； （2）将原方程变形为，根据题意，或，验证对应的是否符合题意，即可得到结果； （3）设截成段米的绳子和段米的绳子，根据题意，．将原方程变形为，容易判断是的倍数，则或，计算出对应的的值，并写出方案即可． 【小问1详解】 解：∵是非负整数， 又∵是整数， ∴是的正因数，即，，，， ∴，，，，一共4个； 【小问2详解】 解：， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴原方程的正整数解为； 【小问3详解】 解：设截成段米的绳子和段米的绳子， 根据题意可得：， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数， ∴或， 当时，； 当时，； 答：共有种截法，①截成段米的绳子和段米的绳子；②截成段米的绳子和段米的绳子． 22. 吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． （1）求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ （2）佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 【答案】（1）A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元 （2）最多能买5个B型杏花钥匙扣 【解析】 【分析】（1）设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个，根据题意列出不等式，并求解即可． 【小问1详解】 解：设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元； 【小问2详解】 解：设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个， ∴， 解得， ∴最大为． 答：最多能买5个B型杏花钥匙扣． 23. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． （1）请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； （2）求的取值范围； （3）化简：． 【答案】（1）解：， 解得， ∵是非负数， ∴， 解得； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，再根据题意得到关于的一元一次不等式，求解即可； （2）先求出方程组的解，根据题意得到关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）由（2）可知，，从而判断出和的符号，结合绝对值的意义进行化简即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得， ∵为非正数、为非负数， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴，， ∴． 24. 如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点在上运动时，______． （2）当点在上运动时，时，求线段的长． （3）当时，求出的值． （4）当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，，则； （2）计算得，此时点与点重合，因此； （3）分类讨论，点在边上时，，，根据题意可列方程，解得或；当点在边上时，同样的方法计算出的值，并删去不符合题意的值即可； （4）先利用三角形面积计算出，再分类讨论，当点在点上方时，，可列方程，解得；当点在点下方时，，列方程，解得，舍去不符合题意的情况即可． 【小问1详解】 解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时，， ∴点的运动路程为，（秒）， ∵同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∴； 【小问3详解】 解：∵长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴点走完需要的时间为：（秒）；点走完需要的时间为： （秒）， ①当时，点在边上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ②当时，点在边上， ∴， 同理可得，，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：∵点在上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点在点上方时，如图， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当点在点下方时，如图， ∴， 同理，， 解得， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年长春市第五十二中学七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6. 由方程组可得出x与y的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 10. 如图，是的外角，则的度数为______． 11. 将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 12. 已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 13. 如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______． 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： 16. 解方程组：． 17. 解不等式组，请结合题意填空． 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 该不等式组的解集为 ， 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段交点称作格点． （1）的面积是______； （2）画出的高； （3）在线段上找一点（点在格点上），连接线段，使得线段将图中分成面积相等的两部分． 19. 从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． （1）若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； （2）选择（1）中的一种设元方式解答问题． 20. 如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数； （2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （ ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 21. 阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求，这个二元一次方程的正整数解． 解：由 ，得：，根据、为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： （1）若为非负整数，则满足条件的整数的值有______个． （2）直接写出满足方程的正整数解 ． （3）若要把一根长为米的绳子截成长为米和米两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 22. 吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． （1）求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ （2）佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 23. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． （1）请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； （2）求的取值范围； （3）化简：． 24. 如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点在上运动时，______． （2）当点在上运动时，时，求线段的长． （3）当时，求出的值． （4）当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $