精品解析：吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元一次方程的解为 ，则a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形纸片 按下面四种方式折叠，则 是 的中线的是（ ） A. B. C. D. 6. 为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 、 、 、在同一条直线上，，若 ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了 件，裙子做了 件，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 列不等式： 的4倍不大于3_____． 10. 若一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角的度数是___________ ． 11. 若 ， 满足方程组，则的值为______． 12. 如图，在 中，， ， 是 上一点，将 沿 折叠，使点 落在 边上处，则等于_____ ． 13. 若关于 的不等式组只有3个整数解，则 的取值范围是_____． 14. 如图，在 中， ， 是 的高， 是 的中线， 平分交 于点 ，交 于点 ，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解方程组：． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 18. 某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 19. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知 的三个顶点均在格点上． 按要求画图： （1）画出 的边 上的高 ； （2）在网格中只画一条线段 （点E在 上），使 的面积是 面积的3倍； （3）直接写出 的面积______． 20. 如图，在 中， 是 边上的高线， 是的平分线，若，，求的度数． 21. 关于的方程组． （1）若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求 的值； （2）若原方程组的解满足时，求 的取值范围． 22. 认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点 在数轴上分别表示有理数，那么 之间的距离可表示为．例如：数轴上 与3对应的点之间的距离为 ． （1）点 在数轴上分别表示有理数 ，那么点 到点 的距离为_____，点 到点 的距离与点 到点 的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当 满足_____时，有最小值，最小值为_____． （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式 的解集是 或； 由图2可得出：绝对值不等式 的解集是 ；则，不等式 的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式 的解集是_____． 23. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，哪种方案占地面积最小． 24. 如图，已知数轴上点 表示原点，点 表示的数为12．动点 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点 停止运动；动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点 后立即以原速返回 ，点 和点 同时出发，同时停止．设运动的时间为 秒． （1）如图1，当 时，点 表示的数为_____，点 表示的数为_____．（用含 的代数式表示）； （2）如图1，当 时，若 、 两点的距离为3个单位长度，求 的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点 、 、 、，且线段，在数轴上方作正方形 与正方形 ，两个正方形随点 和点 运动，若两个正方形同时出发，直接写出 为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 2. 已知关于x的一元一次方程的解为 ，则a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把 代入，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 3. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】A．根据等式性质 进行判断即可； B．根据等式性质 进行判断即可； C．根据等式性质 进行判断即可； D．根据等式性质 进行判断即可． 【详解】解：A．根据等式性质 ，等式两边都加上 ，得到，故本选项错误； B．根据等式性质 ，等式两边都乘以 ，得到，故本选项正确； C．成立的条件，故本选项错误； D．成立的条件，故本选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解不等式，然后在数轴表示判断即可． 【详解】解：解不等式得， 数轴表示如下： ． 5. 如图，将三角形纸片 按下面四种方式折叠，则 是 的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，因此需判断哪个选项能推出 是 的中点，即 ． 【详解】解：A、由折叠可知 ，无法推出 ，故 不一定是 的中线； B、由折叠可知 ，无法推出 ，故 不一定是 的中线； C、由折叠可知 ，即点 是 的中点，故 是 的中线； D、由折叠可知 ，无法推出 ，故 不一定是 的中线． 6. 为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 、 、 、在同一条直线上，，若 ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出 ，由三角板的性质得出 ，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：  这是一副三角板， ， ， ，  点  、 、 、在同一条直线上，  ，  是   的外角， ， ． 7. 《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了 件，裙子做了 件，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设衣服做了 件，裙子做了 件，根据件数和布的数量列出方程即可． 【详解】解：设衣服做了 件，裙子做了 件， 根据题意得， 故选：A． 8. 若关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴ ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 列不等式： 的4倍不大于3_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，抓住关键词“不大于”对应的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：根据题意， 的 倍为 ，“不大于”表示小于等于，因此可得不等式. 10. 若一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角的度数是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解决问题，涉及互余定义、互补定义，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 设这个角为 ，根据余角和补角的定义，列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个角为 ，则这个角的余角为，这个角的补角为， 这个角的余角等于这个角的补角的， ， 解得， 故答案为： ． 11. 若 ， 满足方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为 ． 12. 如图，在 中，， ， 是 上一点，将 沿 折叠，使点 落在 边上处，则等于_____ ． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得 ，再由折叠性质得，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在 中，， ， ∴， 由折叠性质得， ∵ ， ∴． 13. 若关于 的不等式组只有3个整数解，则 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定 的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组，得， 该不等式组只有 个整数解 不等式组的整数解为1，2，3， ∴． 14. 如图，在 中， ， 是 的高， 是 的中线， 平分交 于点 ，交 于点 ，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】作于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：如图，作于点M， 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①错误； ， 在中，，故②正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； 是 的中线， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：，得， 解得 ， 将 代入 ，得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，找出它们的公共部分即为不等式组的解集，进而可得所有整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有整数解为． 18. 某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【答案】 天 【解析】 【分析】设还需要x天才能加工完这批零件，根据题意列出一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设还需要x天才能加工完这批零件， 根据题意，得 解得 答：还需要5天才能加工完这批零件． 19. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知 的三个顶点均在格点上． 按要求画图： （1）画出 的边 上的高 ； （2）在网格中只画一条线段 （点E在 上），使 的面积是 面积的3倍； （3）直接写出 的面积______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握三角形的高，共高三角形面积比等于底之比，属于中考常考题型． （1）根据三角形的高的定义画出图形； （2）由共高三角形面积比等于底之比即可确定点E的位置； （3）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，线段 即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，线段 即为所求： ∵，高 如上图， ∴， ∴线段 即为所求． 【小问3详解】 解：， 故答案为：10． 20. 如图，在 中， 是 边上的高线， 是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵ 是的平分线， ∴． ∵ 是 边上的高线， ∴ ． ∴． 21. 关于的方程组． （1）若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求 的值； （2）若原方程组的解满足时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法，可得，，代入即可求解； （2）得，结合，求解不等式组即可． 【小问1详解】 解：由得， 即， 由得， 即， ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点 在数轴上分别表示有理数，那么 之间的距离可表示为．例如：数轴上 与3对应的点之间的距离为 ． （1）点 在数轴上分别表示有理数 ，那么点 到点 的距离为_____，点 到点 的距离与点 到点 的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当 满足_____时，有最小值，最小值为_____． （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式 的解集是 或； 由图2可得出：绝对值不等式 的解集是 ；则，不等式 的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式 的解集是_____． 【答案】（1）3， （2） ，最小值为1 （3）① 或 ；② 或 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【小问1详解】 解：点B到点C的距离为 ； 点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为； 【小问2详解】 解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和， 故当 时，取最小值，且最小值为 ； 【小问3详解】 解：① 的解集为 或 ； ②当 时， ， ∴ ； 当 时， ， ∴x无解； 当 时， ， ∴ ； 综上所述： 或 ． 23. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元； 问题二：共有4种建造方案， 方案1：建造40个地下充电桩，20个地上充电桩； 方案2：建造41个地下充电桩，19个地上充电桩； 方案3：建造42个地下充电桩，18个地上充电桩； 方案4：建造43个地下充电桩，17个地上充电桩； 问题三：方案4占地面积最小． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（问题一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（问题二）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（问题三）根据各数量之间的关系，求出各方案的占地面积． 问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题二：设建造m个地下充电桩，则建造（60-m）个地上充电桩，根据“该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； 问题三：利用占地面积=每个地下充电桩的占地面积×建造地下充电桩的数量+每个地上充电桩的占地面积×建造地上充电桩的数量，可求出各方案的占地面积，比较后即可得出结论． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元； 问题二：设建造m个地下充电桩，则建造个地上充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42，43， ∴共有4种建造方案， 方案1：建造40个地下充电桩，20个地上充电桩； 方案2：建造41个地下充电桩，19个地上充电桩； 方案3：建造42个地下充电桩，18个地上充电桩； 方案4：建造43个地下充电桩，17个地上充电桩； 问题三：方案1的占地面积为（平方米）； 方案2的占地面积为（平方米）； 方案3的占地面积为（平方米）； 方案4的占地面积为（平方米）． ∵， ∴在问题二的条件下，方案4占地面积最小． 24. 如图，已知数轴上点 表示原点，点 表示的数为12．动点 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点 停止运动；动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点 后立即以原速返回 ，点 和点 同时出发，同时停止．设运动的时间为 秒． （1）如图1，当 时，点 表示的数为_____，点 表示的数为_____．（用含 的代数式表示）； （2）如图1，当 时，若 、 两点的距离为3个单位长度，求 的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点 、 、 、，且线段，在数轴上方作正方形 与正方形 ，两个正方形随点 和点 运动，若两个正方形同时出发，直接写出 为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 【答案】（1） ； （2）3或5 （3）当 为秒或 秒或 秒时重叠部分面积为3 【解析】 【分析】（1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据 、 两点的距离为3单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即可，根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式及等量关系是解答的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，动点 从原点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴当 时， 表示的数为： ； ∵动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴先运动到点 后立即以原速返回 ， ∴当 时， 表示的数为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，当 时， 表示的数为： ， 表示的数为：， ∴ 、 两点的距离为3单位长度时，， ∴ 或， 即满足条件的t值为3或5． 【小问3详解】 解：∵动点 从原点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点 停止运动； ∴点 表示的数为： ， ∵动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴先运动到点 后立即以原速返回 ， ∴点 在数轴上表示的数为：， 由题意，，， 当点 还没有折返时，存在两种情况： 如图①，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图②，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点 折返后，存在两种情况： 如图③，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图④，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当 为秒或 秒或 秒时重叠部分面积为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $