第1章 相交线与平行线 锯齿模型专项练习 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第1章 相交线与平行线 锯齿模型专项练习 —2025-2026学年浙教版数学七年级下册 一、选择题 1．（2021七下·平湖期末）如图，已知，则之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( ) A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2 C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180° 3．如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（　　） A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 4．（2024七下·赤坎期中）如图，，，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024七下·湖北期中）如图，，设，那么、和的关系是（　　） A． B． C． D． 6．（2023七下·南部期中）如图，，，则，，的关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝　 　． 8．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝　 　． 9． 如图，AM∥EF，点B，C，D 在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E 的度数为　 　. 10．（2023七下·名山期末）如图，，，则，和的数量关系是　 　． 三、解答题 11．（2022七下·北仑期中） （1）如图1，l1∥l2，若∠P＝65°，计算并直接写出∠A+∠B的大小． （2）如图2，在图1的基础上，将直线PB变成折线PQB，请证明：∠A+∠B+∠Q＝∠P+180°． （3）如图3，在图2的基础上，继续将直线BQ变成折线BMQ．请你写出一条关于∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系．（无需证明直接写出） 12． （1）如图1，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3的关系是什么？并说明理由； （2）如图2，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图3，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是什么？请直接写出结论. 13．（2024七下·东西湖期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且. （1）如图1，①若，求的度数； ②若，请你直接写出 ； （2）如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值. （3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值. 四、实践探究题 14．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K． 问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 15．（2024七下·廊坊期中） 如图1，E是直线，内部一点，，连接，． （1）探究猜想： ①若，，则等于 度； ②若，，则等于 度； ③猜想图1中，，的关系并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，射线与矩形的边交于点E，与边交于点F，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系并选择其中一个证明． 五、阅读理解题 16．（2024七下·高州期末）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点作， 因为， 所以， 所以， ， 所以， 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图，已知直线，是一个平面镜，光线从直线上的点射出，在平面镜上经点反射后，到达直线上的点我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即． （1）由图写出、、之间的数量关系，并说明理由． （2）如图，再放置块平面镜，其中两块平面镜在直线和上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为直接写出和的数量关系． （3）【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题： 在图中，，，，，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：过点E、F作EG∥AB，FH∥AB， ∵， ∴AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC， ∴∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°，即∠EFC-∠C+∠AEF-∠A=180°， 故答案为：A. 【分析】过点E、F作EG∥AB，FH∥AB，然后得到AB∥EG∥FH∥CD，即可得到∠A=∠AEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠C=∠HFC，进而可得∠EFC-∠CFH+∠AEF-∠AEG=180°即可解题. 2．【答案】D 【解析】【解答】解： 过点E作EG∥AB， 过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1=∠AEG， ∴∠GEF=∠2-∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH=180°-∠GEF=180° - (∠2-∠1) =180°-∠2+∠1， ∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-=∠3+∠2-∠2-180°， ∵FH∥CD， ∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°， 故选：D. 【分析】先过点E作EG∥AB， 过点 F作 FH∥CD， 利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH， 最后根据∠CFH=∠3-∠EFH， 求得∠4即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A．如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B．如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C．如图， 由平分，平分， 没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行， ∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意； D．如图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意． 故答案为：C 【分析】先根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定即可判断A；先根据平行线的性质得到，等量代换得到，进而根据平行线的判定即可判断B；根据角平分线的定义结合题意得到没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，故此辅助线的作法不能说明与平行，从而判断C；根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定结合题意即可判断D. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，分别过C、D作的平行线和， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行⇔同位角相等⇔内错角相等⇔同旁内角互补，分别过C、D作的平行线和，根据平行线的性质，得到，可求得答案． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，如图： ∵AB∥EF， ∴∠BGC=∠EHD. ∵∠BCD=90°，∠CDE=y，∠BCD是△BCG的外角，∠CDE是△DEH的外角， ∴∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z. ∴90°－x=y－z. ∴x+y－z=90°. 故答案为：B. 【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由二直线平行，内错角相等，得∠BGC=∠EHD，利用三角形外角的性质得∠BGC=90°－x，∠EHD=y－z，代入即可得到结论. 6．【答案】A 【解析】【解答】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 【分析】本题考查了平行线的性质，分别过点C、D作的平行线，得到，由平行线的性质，得到，根据，取得，结合，得到，即可得到答案. 7．【答案】32° 【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD， ∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH=84°，∠HFD=20°， ∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG， ∴，， ∴， ∵∠KHF=∠HFD=20°， ∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°， ∵MP∥AB，AB∥KH， ∴MP∥KH， ∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°. 故答案为：32°. 【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°. 8．【答案】 【解析】【解答】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：32°. 【分析】过点G， M， H作 ，利用锯齿模型可得 然后利用角平分线的定义推理可得 ，最后利用猪脚模型解题即可． 9．【答案】180° 【解析】【解答】解：如图所示，分别延长CB交AM于点G、延长CD交EF于点H. 【分析】先分别延长CB和CD交AM、EF于点G、H，构造“拐角”模型，从而可推导出 ∠A+∠C+∠E等于 ∠B+∠D，再利用已知条件整体代入即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解：如图，分别过点C，D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，分别过点C和D作，得到，根据平行线的性质，得到，求得，，两式相减，得到，结合， 即可求解. 11．【答案】（1）解：过P作PE∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2∥l1， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝65°， 即∠A+∠B＝65° （2）证明：过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1， ∵l1∥l2， ∴PE∥l1∥QF∥l2， ∴∠A=∠1，∠B=180°-∠4，∠Q=∠3+∠4=∠2+∠4 ∴∠A+∠B+∠Q＝∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）＝∠1+∠2+180°=∠APQ+180°， ∴∠A+∠B+∠Q＝∠P+180° （3）解：∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5 【解析】【解答】解：（3）如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1， ∵l1∥l2， ∴PC∥QD∥ME∥l1∥l2， ∴∠1＝∠APC，∠QPC＝∠PQD，∠DQM＝∠EMQ，∠EMB＝∠5， ∴∠2＝∠1+∠PQD，∠4＝∠5+∠DQM， ∴∠2+∠4＝∠1+∠PQD+∠5+∠DQM＝∠1+∠3+∠5， ∴∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5． 【分析】（1）可作辅助线PE与l1、l2平行，根据“两直线平行，内错角相等”，则求∠A+∠B的问题将转化为求∠1+∠2的问题，而∠1+∠2+∠P=360°且∠P已知，即可求出∠A+∠B； （2）参照（1）的思维方式、过程，过点P作PE∥l1，过点Q作QF∥l1，则求 ∠A+∠B+∠Q 的问题将转化为求∠1+（180°-∠4）+（∠2+∠4）的问题，整理即可； （3）参照（1）、（2）的思维方式，可得到类似模型的结论. 12．【答案】（1）解：∠2与∠1＋∠3的关系是∠2＝∠1＋∠3. 理由：过点E作EF∥AB，如图所示.∵AB∥EF，AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠BEF，∠3＝∠CEF，∴∠2＝∠1＋∠3. （2）解：由(1)可得，∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5的关系是∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5. （3）解：由(1)可得，∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的关系是∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7. 【解析】【分析】(1)根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质即可得到 与 的关系； (2)由(1)中的结论可以直接写出 与 的关系； (3)由(1)中的结论可以直接写出 6与 的关系. 13．【答案】（1）解：①证明：过点О作OG∥AB，如图所示又∵AB∥CD.∴OG∥CD.又∵∠OFC=20°∴∠GOF=∠OFC=20°∴∠EOF=80°∴∠EOG=∠EOF-∠GOF=80°-20°=60°∵AB∥OG∴∠AEO=∠EOG=60°； ②80° （2）解：过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示： ∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO. ∴∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y 则∠AEO=180°-2x ∴∠OFC+∠AEO=180°-2x+2y=80° ∴x - y=50° ∴MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD ∴AB∥MK∥NH∥CD. ∴∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM， ∴∠EMN -∠FNM=∠EMK+∠KMN - (∠HNM+∠HNF)=x+∠KMN -∠HNM - y=x- y=50°. 故∠EMN-∠FNM的值为50°； （3）解：m=4 【解析】【解答】解：（1）②过点О作OG∥AB，如图所示 ∵OG∥AB，AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∴∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF， ∴∠AEO+∠CFO=∠EOG+∠GOF=∠EOF=80°； 故答案为：80°； （3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H， ∵AB∥CD， ∴∠AHF=∠HFD， ∵∠AHF=∠EKH+∠HEK=∠EKH+∠AEG， ∴∠HFD=∠EKH+∠AEG， ∵∠EKH=∠NMF-∠ENM=80°， ∴∠KFD=80°+∠AEG，即∠KFD-∠AEG=80°， ∵∠AEG=m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH， ∴∠CFO=180°-∠DFH-∠OFH=180°-∠HFD-∠HFD，∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+∠AEG， ∵∠BEO+∠DFO=280°， ∴∠AEO+∠CFO=80°， ∴∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°， ∴(1+)×80°=100°， ∴m=4. 【分析】（1）①过点О作OG∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得OG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠GOF=∠OFC=20°，由角的构成可算出∠EOG=60°，进而再根据二直线平行，内错角相等，得∠AEO=∠EOG=60°； ②过点О作OG∥AB，如图所示，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥OG∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEO=∠EOG，∠CFO=∠GOF，然后根据角的和差及等量代换可得答案； （2）过点M作 MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线定义设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN= ∠OFN=y，则∠AEO=180°-2x，结合（1）中②的结论可求出x - y=50°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥NH∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠EMK=∠BEM=x， ∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，然后根据角的和差及等量代换可推出∠EMN -∠FNM=x- y，从而即可得出答案； （3）设直线FH与EG交于点K，FH与AB相交于点H，由二直线平行，内错角相等，得∠AHF=∠HFD，由三角形外角性质、并结合已知、对顶角相等及等量代换可推出∠HFD=∠EKH+∠AEG，∠KFD-∠AEG=80°，结合已知及（1）中②的结论可得∠AEG+∠AEG+180°-∠HFD-∠KFD=80°，即(1+)(∠KFD-∠AEG)=100°，从而即可得出关于字母m的方程，求解即可. 14．【答案】解：（1） （2）， 理由：如图，过点作． 由（1）可得，. ，的平分线相交于点， ，. ∴ ，， ∴， ∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°， ∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°， 又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°， ∴. ； （3）由（2），可知． 同理，可得， ， …… ． 故当时， ． 【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵，分别是，的平分线，并且相交于点K， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）利用平行线的性质得，，继而结合角平分线的定义推出，从而三角形的内角和定理可得； （2）过点作，由（1）得，，由角平分线的概念得，，于是可求得的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=360°，由周角概念得∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，即可求得∠AK1C的度数，从而可得 ∠AK1C与之间的等量关系 ； （3）由（2）得，同理得，，继而总结规律可得，从而得解． 15．【答案】（1）解：①70； ②80； ③猜想：． 理由：过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． （2）解：根据题意得：点在区域①时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：， ∵，， ∴； 点在区域②时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：； 点在区域④时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ； 点在区域③时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【解析】【解答】解：（1）①如图，过点作， ∵， ∴， 又∵，， ，， ， 故答案为：70； ②过点作， ∵， ∴， 又∵，， ，， ， 故答案为：80； 【分析】（1）①过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案； ②过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2可算出答案； ③过点E作EF∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠1=∠A，∠2=∠D，然后根据∠AED=∠1+∠2及等量代换可算出答案； （2）按照四个区域，分别分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求出结果即可． 16．【答案】（1）解：，理由如下， 如图，过点作，则， 所以，， 因为， 所以． （2）解：； （3）解：如图，过点作，过点作，则， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【解析】【解答】（2）解：；理由如下： 由（1）得，， 同理可得，， 因为入射角等于反射角， 所以，， 所以． 【分析】（1）过点P作PE∥OA，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥BQ，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等”及各角之间的关系即可得到答案； （2）根据（1）的结论得∠AOP+∠BQP=∠OPQ，∠DOR+∠CQR=∠ORQ，然后根据镜面反射性质“ 入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角 ”得∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR，从而即可得出结论； （3）过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥PM∥QN∥CD，利用平行线的性质“二直线平行，内错角相等及二直线平行，同旁内角互补”找出各角之间的关系求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $