第1章 专题特训2 巧作平行线解决“断木问题”-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（浙教版）

又因为BC,BD分别平分∠ABP和 ∠PBN, 所以∠CBD-∠ABP,∠PBD- ∠PBN. 1 所以∠CBD=∠CBP+∠PBD= 合ABP+∠PRN)=合∠AN 1 60° (2)不变 因为AMBN, 所以∠APB=∠PBN,∠ADB= ∠DBN 因为BD平分∠PBN, 所以∠DBN= ∠PBN, 1 所以∠ADB=2∠APB,即∠APB: ∠ADB=2. (3)因为AM∥BN, 所以∠ACB=∠CBN. 又因为∠ACB=∠ABD, 所以∠ABD=∠CBN. 所以∠ABD-∠CBD=∠CBN ∠CBD,即∠ABC=∠DBN. 因为BC,BD分别平分∠ABP和 ∠PBN, 所以∠ABC=∠CBP,∠PBD= ∠DBN 所以∠ABC=∠CBP=∠PBD= ∠DBN. 所以∠ABC=子∠ABN=30 专题特训一平行线的判定 和性质的综合应用 1.A2.B 3.40°解析：因为∠1=∠2，所以 AB∥CD.所以∠3=∠4，∠AEF= ∠2.因为EG是∠AEF的平分线，所 以∠AEF=∠2=2∠4.因为∠2+ ∠4=120°，所以∠4=40°.所以 ∠3=40° 4.34°解析：因为FG∥AE,所以 ∠1=∠A.又因为∠1=∠2，所以 ∠A=∠2.所以AB∥CD.所以 ∠ABC=∠C,∠D+∠ABD=180°. 因为∠D=112°，所以∠ABD= 180°-112°=68°.因为BC平分 ∠ABD,所以∠ABC=7∠ABD= 34°.所以∠C=∠ABC=34. 5.因为∠AFC=∠AED, 所以BCDE 所以∠CED=∠C=60. 因为DE⊥AE, 所以∠AED=90° 所以∠CEF=∠AED一∠CED= 90°-60°=30° 因为ABCE 所以∠A=∠CEF=30°. 6.(1)因为BC∥DF, 所以∠D+∠BCD=180°. 因为∠B=∠D 所以∠B+∠BCD=180°. 所以AB/CD 所以∠A=∠ACD (2)因为∠A+∠B=108°， 所以∠ACB=72°. 因为FG∥AC, 所以∠BGF=∠ACB=72. 因为BCDF, 所以∠EFG=∠BGF=72 7.B解析：因为AB∥DE,所以 ∠1=∠AED.因为∠1=∠2，所以 ∠AED=∠2.所以AEDC. 8.BF⊥AC. 理由：因为∠AGF=∠ABC, 所以GFBC. 所以∠1=∠3. 因为∠1与∠2互补， 所以∠1+∠2=180° 所以∠3+∠2=180° 所以BF∥DE. 所以∠BFC=∠DEC=90°. 所以BF⊥AC. 9.(1)DEBC. > 因为∠1+∠2=180°，∠1+ ∠ADG=180°， 所以∠ADG=∠2. 所以ABEF, 所以∠B=∠EFC. 因为∠B=∠3， 所以∠3=∠EFC. 所以DE∥BC. (2)因为DEBC,∠C=76°， 所以∠AED=∠C=76°，∠C+ ∠DEC=180°. 所以∠DEC=180°-∠C=104. 因为∠AED=2∠3， 所以∠3=38 所以∠CEF=∠DEC-∠3=66. 10.(1)ES∥TH 理由：由题意，知∠AST=∠BSE, ∠DTH=∠CTS. 易知ABCD, 所以∠AST=∠CTS. 所以∠AST=∠BSE=∠DTH= ∠CTS. 所以∠TSE=180°-∠AST一 ∠BSE=180°-∠DTH-∠CTS= ∠STH. 所以ES∥TH. (2)EM∥NP. 理由：由题意，知∠AMN=∠BME, ∠ANM=∠DNP,∠A=90. 所以∠AMN+∠ANM=90°， ∠NME=180°-2∠AMN, ∠MNP=180°-2∠ANM. 所以∠NME+∠MNP=360°一 2(∠AMN+∠ANM)=360° 180°=180°. 所以EMNP. 专题特训二巧作平行线 解决“断木问题” 1.B解析：如图，过点C作CG∥ AB.因为DF∥AB,所以DF∥AB∥ CG.所以∠1+∠CAB=180°，∠2= ∠CED.因为∠BAC=120°， ∠ACE=100°，所以∠1=60°，∠2= ∠ACE-∠1=40°.所以∠CED= ∠2=40° -B ---G D E F (第1题) 一方法归纳 添加平行线解决求角问题 当已知角和所求角与两条已 知平行线没有直接关系时，可通过 添加平行线，借助平行线的性质解 决问题」 2.C解析：如图，过点A作AM∥ DE.因为FG∥DE,所以AM∥FG∥ DE.因为AM∥DE,所以∠MAD+ ∠ADE=180°.因为∠ADE=x,所 以∠MAD=180°-∠ADE=180° x.因为AM∥FG,∠G=y°，所以 ∠GAM=∠G=y°.因为∠FAG= 40°，所以∠BAC=∠FAG=40°.因为 AC平分∠BAD,所以∠BAD= 2∠BAC=80°.所以∠GAD=180°- ∠BAD=180°-80°=100°.因为 ∠GAD=∠GAM+∠MAD,所以 y+(180-x)=100,即x-y=80. G C (第2题) 3.C解析：因为∠F十∠FEA= 180°，所以AB∥FG,即条件①不能说 明AB∥CD.故选项A错误.因为 ∠F+∠FGC=180°，所以CD∥FE, 即条件②不能说明AB∥CD.故选项 B错误.如图，过点F作FHCD,则 ∠HFG=∠FGD.因为∠EFG+ ∠FGD=90°，所以∠EFH+ ∠HFG+∠FGD=90°.所以 ∠EFH+∠FGD+∠FGD=90°.所 以∠EFH=90°-2∠FGD.因为 ∠FEB+2∠FGD=90°，所以 ∠FEB=90°-2∠FGD.所以 ∠EFH=∠FEB.所以AB∥FH.所 以AB∥CD,即条件③能说明AB∥ CD.故选项C正确.因为∠FGC ∠F=90°，∠F+∠FGD=90°， 所以∠FGC一∠F+∠F+∠FGD= 90°+90°.所以∠FGC+∠FGD= 180°.这与∠CGD为平角一致，即条 件④不能说明AB∥CD.故选项D 错误 AE CG D (第3题) 4.115°解析：如图，过点D作DI∥ EF,则∠FDI=180°-∠EFD= 180°-150°=30°.因为∠HDF= ∠CDB=35°，所以∠HDI=30°+ 35°=65.因为GH∥AB,EF∥AB 所以GHEF.又因为DI∥EF,所以 GH∥DI.所以∠GHD=180°- ∠HDI=180°-65°=115. E D C A B (第4题) 5.30°解析：如图，过点C作CF∥ DE,所以∠DCF=180°一∠CDE= 180°-140°=40°.因为AB∥DE,所以 AB∥CF.所以∠BCF=∠ABC= 7O°.所以∠BCD=∠BCF ∠DCF=70°-40°=30°， A B 70 140 C (第5题) 6.(1)如图①，过点E作EF∥AB. 因为ABCD, 所以ABCD∥EF 所以∠B=∠BEF,∠D=∠DEF 8 因为∠DEF=∠BEF+∠BED, 所以∠B+∠BED=∠D (2)如图②，过点F作FHBE. 因为DGBE, 所以BE//FH/DG. 所以∠E=∠EFH=30°，∠GDF+ ∠HFD=180°. 因为∠EFD=140°， 所以∠HFD=∠EFD-∠EFH=11O° 所以∠GDF=180°-∠HFD=70°. 因为DG平分∠CDF, 所以∠CDG=∠GDF=70. 因为ABCD, 所以∠BGD=∠CDG=70°， 因为BE∥DG, 所以∠B=∠BGD=70° 1 D ② (第6题) 7.B解析：如图，分别过点E,F作 EG∥AB,FH∥CD,则易得AB∥ EG∥FH∥CD.因为AB∥EG, 所以∠ABE=∠BEG.又因为EG∥ HF,所以∠EFH=∠GEF. 所以∠ABE十∠EFH=∠BEG+ ∠GEF=∠BEF=6O.因为HF∥ CD,所以∠HFC+∠FCD=180. 所以∠ABE+∠EFC+∠FCD= ∠ABE+∠EFH+∠HFC+ ∠FCD=60°+180°=240°」 A B H--- D (第7题) 8.B解析：如图，分别过点B,C作 BE∥MN,CF∥PQ.设∠MAB=m°， ∠PDC=n°.因为AB平分∠MAC, DC平分∠PDB,所以∠MAC= 2∠MAB=2m°，∠PDB=2∠PDC= 2°.因为MN∥PQ,BE∥N,所以 MN∥BE∥PQ.所以∠ABE=∠MAB, ∠DBE=∠PDB.所以∠ABE+ ∠DBE=∠MAB+∠PDB,即 ∠ABD=m°十2°.同理，可得 ∠ACD=∠PDC+∠MAC=n°+ 2m°.因为2∠ACD-∠ABD=60°， 所以2(n°+2m°)-(m°+2n)=60°. 所以2n°+4m°一m°一2n°=60°，解得 m=20.所以∠MAC=2m°=2X 20°=40°. -------E C4- (第8题) 9.30°解析：如图，分别过点B,C作 BGL1,CH∥l2.因为直线1∥L2,所 以易得BG∥I1∥CH∥l2. 所以∠EBG=∠1=40°，∠HCD= ∠4，∠GBC=∠HCB.所以∠2= 40°+∠GBC,∠3=∠HCB+ ∠HCD=∠GBC+∠4.因为∠2比 ∠3大10°，所以40°+∠GBC- (∠GBC+∠4)=10°.所以40° ∠4=10°，解得∠4=30. A B2---G H----3D>C 4 D (第9题) 10.AB∥EF. 理由：如图，过点C作CG∥AB,过 点D作DHAB,则CG∥DH. 因为CGAB,∠B=25°， 所以∠BCG=∠B=25. 因为∠BCD=45, 所以∠GCD=∠BCD-∠BCG= 45°-25°=20° 因为CGDH, 所以∠CDH=∠GCD=20°. 因为∠CDE=30°， 所以∠HDE=∠CDE-∠CDH=10°. 因为∠E=10°， 所以∠HDE=∠E. 所以DHEF. 所以AB∥EF A B C<---G H E F (第10题) 11.∠BEF+∠DGF=∠B十 ∠EFG+∠D. 如图，过点E,F,G分别作EM∥AB, FN∥AB,GH∥AB. 因为ABCD, 所以AB∥EM∥FN/GH/CD. 所以∠1=∠B,∠2=∠3，∠4=∠5， ∠6=∠D. 所以∠BEF+∠DGF=∠1+∠2+ ∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D= ∠B+∠EFG+∠D. A E--M N- G6-H D (第11题) 12.(1)如图①，过点E作EF∥AB, 交AC于点F. 因为ABCD, 所以AB∥EFCD. 所以∠AEF=∠BAE,∠CEF=∠DCE, ∠BAP+∠DCP=180° 因为AE,CE分别平分∠BAP, ∠DCP, 1 所以∠BAE=Z∠BAP,∠DCE= 2∠Dcp. 1 所以∠BAE+∠DCE=2(∠BAP+ ∠DCP)=90° 所以∠AEF十∠CEF=90°，即 9 ∠AEC=90°. (2∠ABC=∠ANPC 理由：如图②，过，点E作EM∥AB,过 点P作PN∥AB. 因为ABCD, 所以AB//EM//CD//PN. 所以∠BAE=∠AEM,∠CD=∠MIEC, ∠APN=∠BAP,∠NPC=∠DCP. 因为AE,CE分别平分∠BAP, ∠DCP, .1 所以∠BAE=Z∠BAP,∠ECD= 2∠Dcp. 所以∠AEC=∠AEM+∠MEC= ∠BAE+∠BCD=(∠BAP+ ∠DCP),∠APC=∠APN+ ∠NPC=∠BAP+∠DCP. 所以∠ABC=号∠APC (3)不成立 ∠AE℃=180° 1 ∠APC B ① ② (第12题) 1.6图形的平移 1.C2.B3.351 4.(1)如图，三角形DEF即为所求 (2)如图，线段AD,CF即为所求 AD-CF,AD//CF (第4题) 5.C 6.D解析：因为把三角形ABC沿着 直线BC向右平移2.5cm后得到三拔尖特训·数学（浙教版）七年级下 拍照批改 专题特训二 巧作平行线解决“断木问题” “答案与解析”见P7 类型一过一个拐点作平行线 5.(2025·宁波慈溪段考)如图，AB∥DE, 1.★(2025·凉山)如图，DF∥AB,∠BAC ∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度 120°，∠ACE=100°，则∠CED等于( 数为 A.30°B.40°C.60°D.80 70 -B 140 D E (第5题) D E B 6.如图，ABCD (第1题) (第2题) 2.(2025·温州期中)如图，小盟利用几何图形 (1)如图①，试说明：∠B十∠E=∠D. 画出螳螂简笔画，CF,BG交于点A,FG∥ (2)如图②，F为AB,CD之间的一答案讲解 DEBC,∠FAG=40°，AC平分∠BAD.若 点，∠E=30°，∠EFD=140°，DG平分 设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的 ∠CDF,交AB于点G.若DG∥BE,求∠B 关系是 () 的度数 A.x+2y=180 B.x-2y=60 C.x-y=80 D.x+y=150 3.如图，∠F+∠FGD=90°（其中∠F> ∠FGD),添加以下一个条件：①∠F十 ② ∠FEA=180°；②∠F+∠FGC=180°； (第6题)》 ③∠FEB+2∠FGD=90°；④∠FGC ∠F=90°.其中，能说明AB/CD的是( A.①B.② C.③D.④ C- A E 、D C D (第3题) (第4题) 4.新情境·现实生活如图，放置在水平操场上的 类型二过多个拐点作平行线 篮球架的横梁EF始终平行于AB(即GH∥ 7.如图，若AB∥CD,∠BEF=60°，则∠ABE+ AB),EF与上拉杆CF形成的∠EFD= ∠EFC+∠FCD的度数为 150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和 A.215 A 后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.当 B.240° ∠CDB=35°时，点H,D,B在同一条直线 C.320° D C 上，则∠GHD的度数为 D.无法确定 (第7题) 20 第1章相交线与平行线 8.如图，MN∥PQ,AB平分∠MAC,DC平分12.已知射线AB∥CD,P为一动点， ∠PDB.若2∠C-∠B=60°，则∠MAC的 连结PA,PC,∠BAP的平分线 度数为 () AE与∠DCP的平分线CE交于答案讲解 A.30° B.40°C.50°D.60° 点E M N - (1)如图①，当点P在线段AC上运动时 B 2 C4 (不与点A,C重合)，求∠AEC的度数， 3 P 4 (2)当点P运动到图②的位置时，猜想 (第8题) (第9题) ∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明 9.如图，直线l1儿2.若∠1=40°，∠2比∠3大 理由. 10°，则∠4的度数为 (3)当点P运动到图③的位置时，(2)中的 10.如图，∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE= 结论还成立吗？若不成立，试猜想∠AEC与 30°，∠E=10°，则AB与EF平行吗？请说 ∠APC之间的数量关系（不要求说明理由）. 明理由， A C ① ② ③ (第10题) (第12题) 11.如图，ABCD,则∠BEF+∠DGF与∠B+ ∠EFG+∠D之间有何数量关系？为 什么？ A E G C (第11题) 2