第二十四章 数据的分析（小模块.微专题.大压轴）(十七大题型） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《第二十四章 数据的分析》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 算术平均数 模块10 求四分位数 模块2 加权平均数 模块11 画箱线图 模块3 中位数 模块12统计量的选择 模块4 众数 微专题1运用平均数做决策 模块5 求离差平方和 微专题2运用中位数做决策 模块6离差平方和的应用 微专题3运用众数做决策 模块7求方差 微专题4运用方差做决策 模块8 利用方差求未知数据的值 压轴1 数据的综合分析与决策 模块9根据方差判断稳定性 知识梳理 · 基础溯源 知识点一:算术平均数 定义:一般地，对于n个数x1，X2，.，Xn，则这n个数据的平均数为记作 读作“x拔” 知识点二:加权平均数 权的概念：:一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义:若n个数x1，X2，...，Xn的权分别是W1，W2,...，Wn，则叫做这n个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大;权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式:①用频数表示，即用出现的次数表示;②百分数的形式;③连比的形式. 知识点三:中位数 定义:一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 知识点四:众数 定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 知识点五：平均数、众数、中位数的联系与区别 知识点六:方差 定义:设有n个数据X1，X2，..，Xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是(x1-x)2，(x2-x)2,...,(xn-x)2, 我 们用 这些值的平均数，即用s2=[x1-x)2+(x2-x)2+-+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差的作用:方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 知识点七:数据的四分位数 定义:将一组从小到大排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为四分位数: ①下四分位数(Q1): 排在第25%位置的数，也叫第一四分位数; ②中位数(Q2): 排在第50%位置的数，即第二四分位数(就是之前学过的中位数); ③上四分位数(Q3): 排在第75%位置的数，也叫第三四分位数; 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含25%的数据。 知识点八:箱线图 定义: 箱线图是用一组数据的最小值、Q1、Q2、Q3、最大值所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 核心元素: 补充:①箱子部分:包含中间50%的数据，是数据最集中的区域. ②左右两条“须”:分别连接最小值到Q1、Q3到最大值，代表两端各25%的数据. 模块通关·举一反三 【模块一】算术平均数 【例1】若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【来源】浙江省绍兴市嵊州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查的是平均数的定义，根据平均数的定义，先求出四个数的总和，再结合已知条件求出m与n的和，最后计算m和n的平均数即可． 【详解】解：由题意，数据m、3、5、n的平均数为4， 可得：两边同时乘以4， 得：， 合并常数项，得：， 因此：， ∴数据m、n的平均数为：； 故选：B． 【变式1-1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山西省运城市闻喜县部分学校2025-2026学年上学期期末测试卷八年级数学试卷 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 【变式1-2】某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得质量（单位：）分别为16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5．若每千克苹果的售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额为（    ） A．80000元 B．82000元 C．84000元 D．86000元 【答案】C 【难度】0.85 【来源】【智】33 第2课时 用样本平均数估计总体平均数（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课外作业） 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了样本平均数的计算与用样本估计总体的统计方法，解题关键是通过样本平均数估计总体的平均水平，进而计算总量． 先计算样本中箱苹果的平均质量，再利用样本平均数估计箱苹果的总质量，最后结合单价计算销售额． 【详解】解：平均质量：． 估计 箱苹果的总质量为：． 销售额为：（元）． 故选：C． 【变式1-3】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】1 平均数与方差 第1课时 众数、算术平均数及加权平均数【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（北师大版2024） 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了平均数的变化规律，利用平均数的运算性质得： 数据变化后计算平均数将其代入计算即可 ． 【详解】解：原数据平均数为5，即 ，即， 新数据为 ， 新平均数 ； 故选D． 【模块二】加权平均数 【例2】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市郑东新区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 计算加权平均数，将各项成绩乘以其对应的权重比例后求和即可． 【详解】解：最终成绩， ∴小颖的最终成绩为分， 故选：C． 【变式2-1】央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则小文的最终成绩为（   ） A．分 B．分 C．9分 D．分 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测八年级数学试卷 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据加权平均数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 （分） ∴小文的最终成绩为分． 故选A． 【变式2-2】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2024年广东省深圳市宝安区中考二模数学试题 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查加权平均数、解一元一次方程，设成绩为8环的人数是x人，根据加权平均数公式列方程求解即可． 【详解】解：设成绩为8环的人数是x人， 根据题意，得， 解得， ∴成绩为8环的人数是5人， 故选：B． 【变式2-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【难度】0.85 【来源】山东省烟台市芝罘区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了加权平均数和一元一次不等式的应用，设小王的期末考试成绩为x，根据加权平均数的概念列出一元一次不等式求解即可．解题的关键是掌握加权平均数的求法：若n个数的权分别为，，…，，则加权平均数为，和正确找准题目中的不等关系． 【详解】设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【模块三】中位数 【例3】如图是某校体育组人的某科成绩，下列说法中正确的是（    ） A．中位数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是 【答案】D 【难度】0.94 【来源】2025年上海市初中学业水平考试数学试卷 【知识点】求中位数、求众数 【分析】分别根据中位数和众数的定义解答即可． 【详解】解：由统计图可知，分出现次数最多，故众数是． 中位数应是第个数据和第个数据的平均数，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了条形统计图、众数、中位数，能够从统计图中获取必要信息是解题关键． 【变式3-1】某学校举行元旦文艺汇演，七位评委对某班的节目给出的评分为：9.2，9.4，9.3，9.0，8.9，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（    ） A．9.0 B．9.2 C．9.3 D．9.4 【答案】C 【难度】0.94 【来源】湖南省邵阳市九年级联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的概念以及求解方法是解题的关键． 中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数． 由于数据个数为奇数，中位数是第4个数，据此求解即可． 【详解】解：将评分从小到大排序：8.9， 9.0， 9.2， 9.3， 9.4， 9.4， 9.5． ∵数据个数7为奇数， ∴中位数是第4个数据，即9.3． 故选：C． 【变式3-2】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】第三章数据的分析（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册 【知识点】求中位数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是做题的关键．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将已知数据排列为：，，，， ， ∵ 数据个数为偶数，中位数为排序后第三个和第四个数的平均值，且中位数为， ∴ 排序后第三个和第四个数之和为 数据排序取决于： 若，排序后第三个和第四个数为和，中位数为； 若，排序后第三个和第四个数均为，中位数为； ，排序后第三个和第四个数为和，中位数为． ∴． 故选：C． 【变式3-3】数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分． 【答案】80 【难度】0.65 【来源】2025年上海市静安区中考数学二模试卷 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了中位数的定义，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数成为解题的关键． 根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：由于该班有35人参加考试，35是奇数． 将35个学生的成绩按从小到大排序后，中位数是第个数． 把75分写成55分，两个数都比中位数小，那么第18个数不会改变． 因为原来的中位数是80分，即原来排序后第18个数是80分，所以修改成绩后，第18个数依然是80分，即实际这次考试成绩的中位数还是80分． 答案为：80． 【模块四】众数 【例4】已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【难度】0.85 【来源】【智】39 第2课时 中位数与众数（学海风暴26春八年级数学下册湘教版-课时检测） 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 【变式4-1】小红前3次购买的西瓜单价统计图如图所示，若第4次买的西瓜单价是a元，且这4个单价的中位数与众数相同，则a的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】 利用众数求未知数据的值、求众数、 利用中位数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题主要考查了中位数、众数．分三种情况求出中位数、众数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：2，3，5，a的中位数、众数相同， 若，众数为2，中位数为，不符合题意； 若，众数为3，中位数为，符合题意； 若，众数为5，中位数为，不符合题意； ∴． 故选C． 【变式4-2】一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【来源】黑龙江省大兴安岭地区漠河市两校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求中位数、 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数和中位数的定义． 根据众数是4和6，可知，使4和6的出现次数均为3次，然后排序数据求中位数即可． 【详解】解：∵众数是4和6， ∴4和6的出现次数相等且最多． 当前数据中，3出现1次，4出现2次，6出现3次，7出现1次， ∴x必须为4，使4出现3次， ∴数据为：3，4，6，4，4，7，6，6． 排序后：3，4，4，4，6，6，6，7． ∵数据个数为8，是偶数， ∴中位数为第4和第5个数据的平均值，即． 故选：B． 【变式4-3】某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【答案】42 【难度】0.94 【来源】广东省深圳市龙岗区沙湾中学2025-2026学年上学期八年级数学1月月考试卷 【知识点】求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．由于每件夹克利润相同，销售量最大的尺码应多进货，尺码42的销售量最大，为众数． 【详解】解：由统计表可知，尺码为38的夹克销售10件，尺码为40的夹克销售12件，尺码为42的夹克销售20件，尺码为44的夹克销售12件，尺码为46的夹克销售12件，其中尺码为42的夹克销售量最大，为20件，因此这组数据的众数是42，所以下一周应进尺码为42的夹克最多． 故答案为：． 【模块五】求离差平方和 【例5】把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.4 【来源】河南省郑州市管回中学2025-2026学年上学期第二次月考八年级数学试卷 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查离差平方和，为了使组内离差平方和最小，应将数据分成两组，使得每组内部数据尽可能接近，即方差小． 通过计算各选项的组内离差平方和，比较大小即可． 【详解】数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 【变式5-1】一组数据，则这组数据的离差平方和为（   ） A．0.5 B．0.6 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【来源】第六章 数据的分析 考点小卷1 平均数、众数、方差 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 先求出这组数据的平均数，再用离差平方和公式求解． 【详解】解：这组数据的平均数为 则这组数据的离差平方和：． 故选：D． 【变式5-2】若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【答案】B 【难度】0.65 【来源】期末综合测试卷三 【知识点】求离差平方和 【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和，当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的组内变异．根据组内离差平方和的定义即可求解． 【详解】解：由组内离差平方和的定义可知，需计算两组离差平方和的总和． 故选：B． 【变式5-3】现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【答案】A 【难度】0.65 【来源】【智】43 24.4 数据的分组（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求离差平方和 【分析】计算各选项的组内离差平方和总和，总和最小的分组最优． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． B、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． C、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． D、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． ∵选项A的总离差平方和最小， ∴最优分组为A． 故选：A． 【模块六】离差平方和的应用 【例6】学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】广东省深圳市深圳外国语学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 【变式6-1】小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【难度】0.85 【来源】【智】41 24.2 数据的离散程度（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求一组数据的平均数、离差平方和的应用 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 【变式6-2】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【答案】B 【难度】0.85 【来源】第六章 数据的分析 1平均数与方差 第3课时 离差平方和、方差、标准差 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题主要考查了离差的实际应用，解题的关键是掌握离差的意义． 根据分组的要求和离差的意义，“在总离差平方和一定的情况下，组内离差平方和越小，则组间离差平方和越大，即组间数据差异越大”，进行判断即可． 【详解】解：根据离差的意义可得，使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大， 故选：B． 【变式6-3】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测题（卷）八年级数学 【知识点】求一组数据的平均数、运用中位数做决策、离差平方和的应用 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【模块七】求方差 【例7】若一组数据的方差为5，则数据 的方差是（   ） A．1 B．2 C．5 D．15 【答案】C 【难度】0.94 【来源】2024年4月浙江省宁波市山海联盟九年级中考数学联考数学模拟预测题 （二） 【知识点】求方差 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 根据当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变即可得出答案． 【详解】解：数据的方差是5， 数据的波动幅度不变， 数据的方差为5， 故答案为：C． 【变式7-1】数据3，2，1，2，2的众数、中位数和方差分别是（   ） A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，2，0.2 【答案】B 【难度】0.85 【来源】【智】50 24.2 数据的离散程度（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求中位数、求众数、求方差 【分析】先确定众数（出现次数最多的数），再将数据排序求中位数，最后计算平均数和方差，逐一验证选项． 【详解】解：首先处理数据：将数据排序为． 众数：出现次数最多的数是； 中位数：中间的数是； 平均数：； 方差：． A、众数，中位数，方差，中位数错误，不符合题意； B、众数，中位数，方差，与计算结果一致，符合题意； C、众数，中位数，方差，均错误，不符合题意； D、众数，中位数，方差，方差错误，不符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了众数、中位数、方差的计算，解题关键是掌握各统计量的定义与计算方法，先排序再分析数据特征． 【变式7-2】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【答案】B 【难度】0.94 【来源】2025年上海市初中数学二模中考模拟练习：标新立异卷 【知识点】求方差 【分析】本题考查方差的计算公式，根据题中给的公式可得参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均分为89，据此即可得到答案． 【详解】由题可知参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95， 平均分为：89 故这次成绩低于平均分的有3人，最低分为80分． 故选：B． 【变式7-3】我国对于篮球的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些地区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩(图1)与小聪同学近五次上篮成绩(图2)(成绩满分分)． (1)此班级男生上篮成绩的中位数是 ，众数是 ． (2)求小聪近五次上篮成绩的方差． (3)该校共有名男生，请你估计该学校上篮成绩满分的男生人数． 【答案】(1)28分；30分 (2)6.4 (3)216人 【难度】0.85 【来源】2024 年广东省中考数学模拟卷 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据中位线和众数的定义即可求解； （2）根据求方差的公式计算即可； （3）用上篮成绩满分的男生人数占比乘450即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，此班级男生总人数为（人）， 将此班级男生上篮成绩从大到小顺序排列，则中位数为第13个的数据，即28分； 此班级男生上篮成绩30分出现次数最多，故众数为30分； 故答案为：28分；30分； （2）解：小聪近五次上篮成绩的平均数为（分）， ∴小聪近五次上篮成绩的方差为， 答：小聪近五次上篮成绩的方差为6.4； （3）解：（人）， 答：估计该学校上篮成绩满分的男生人数为216人． 【模块八】利用方差求未知数据的值 【例8】一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】2022年上海市中考数学同考点练习试卷 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 【变式8-1】某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 【答案】C 【难度】0.65 【来源】内蒙古自治区鄂尔多斯市东胜区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、 利用方差求未知数据的值 【分析】根据平均数计算公式和方差计算公式可得出，，再变形求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数为8， ∴ ∴； ∵这组数据的方差为， ∴． ∴， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】要是主要考查了平均数计算公式和方差计算公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【变式8-2】如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2025年浙江省中考数学押题试卷（A卷） 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 【变式8-3】数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】湖南省邵阳市第四中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 【模块九】 根据方差判断稳定性 ．【例9】近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】四川省达州市达川区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差且大于0，即可． 【详解】解：∵乙品种产量最稳定， ∴方差a最小； ∵乙的10棵果树产量不都一样， ∴； 其他品种方差：甲为，丙为2，丁为，最小方差为； ∴ ∴a的值可能是． 故选D． 【变式9-1】现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【难度】0.94 【来源】2025-2026学年沪科版数学八年级下册期末学情评估卷（二） 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差的概念，熟练掌握方差的概念是解题的关键． 根据方差越小，数据越整齐，比较方差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴乙队身高最整齐， 故选：B． 【变式9-2】在纪念“一二·九”运动的合唱比赛中，对八（1）班的演唱曲目，6位评委的打分（单位：分）如图，这组数据的方差为，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的方差为，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【难度】0.94 【来源】2025-2026学年第一学期九年级期末数学质量调研2026.2 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了数据的方差．方差越大，数据分布越分散，波动越大；方差越小，数据越集中，波动越小．去掉一个最高分和一个最低分后，数据波动会变小方差也会变小． 【详解】解：∵6位评委的打分去掉一个最高分和一个最低分，数据波动变小，故方差也会变小， ∴． 故答案为：>． 【变式9-3】某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． (2)为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． (3)两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)②③ (3)见解析 【难度】0.65 【来源】2025年河南省驻马店市遂平县遂平一中，二中三模数学试题 【知识点】求中位数、求众数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了求中位数， 众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据中位数， 众数，方差的定义，进行分析，即可求解； （2）根据题意，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解； （3）答案不唯一，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解． 【详解】（1）解：B种方案得分从小到大排列为： ∴中位数， A种方案得分中出现次数最多，则众数， A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大， ∴ 故答案为：；；． （2）①依题意，去掉一个最低分和一个最高分之前，两种方案平均分相同， 去掉一个最低分和一个最高分之后，，，则A种方案得分的平均数小于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大，A种方案得分的方差仍然小于B种方案得分的方差． 故答案为：②③ （3）答案一：应选择A种方案．         理由：A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，，平均数差别不大，且A种方案得分数据的波动程度小于B种方案，故A种方案的数据较稳定，应选择A种方案．       答案二：应选择B种方案．         理由：由（2）可知，A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，B种方案得分的中位数、众数均高于A种方案，故应选择B种方案． 【模块十】求四分位数 【例10】春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从分钟延长到分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如表． 投中球数 在投中球数的这组数据中，下四分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【来源】2 中位数与箱线图【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（北师大版2024） 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查了下四分位数，关键是熟练应用下四分位数的求法解题； 下四分位数是数据从小到大排列后，前一半数据的中位数． 【详解】解：∵ 投中球数数据为：， 将其从小到大排列：， ∵ 数据个数，下四分位数为前个数据（）的中位数， 中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴ 下四分位数为， 故选：C． 【变式10-1】2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【来源】广东省深圳市2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末模拟试卷（一） 【知识点】求四分位数 【分析】此题考查了四分位数，首先计算出上四分位数，然后找出成绩优于上四分位数的选手人数即可求解． 【详解】解：∵数据为：46，47，48，49，50，51，52，53，共8个数据． ∵个数是偶数，上四分位数为上半部分数据（50，51，52，53）的中位数， ∴上四分位数为， ∵规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”， ∴时间小于51.5的数据有：46，47，48，49，50，51，共6个． ∴晋级决赛的人数为6． 故选：D． 【变式10-2】在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年北师大版八年级上册数学期末测试卷- 【知识点】求众数、求四分位数 【分析】本题主要考查众数和上四分位数的概念，找到出现次数最多的数和上四分位数的概念是解题的关键． 首先明确众数是出现次数最多的数据，再明确上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数，再通过计算位置并查找累积频数确定即可． 【详解】∵ 视力4.7的人数为11人，是体检中的最多人数， ∴ 众数为4.7； ∵ 总人数， ∴上四分位数的位置在， ∴上四分位数是将数据从小到大排列后，位于第30个和第31个数据的平均数， ∵视力不高于4.7的人数为25人，视力不高于4.8的人数为34人， ∵ ， ∴上四分位数为， 故选：B． 【变式10-3】在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)图①中a的值为______； (2)求这组初赛成绩数据的平均数，众数； (3)这组数据的上四分位数为______． 【答案】(1)25 (2)平均数为，众数为 (3) 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市南昌初级中学2025-2026学年上学期八年级月考数学试卷（12月份） 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求一组数据的平均数、求众数、求四分位数 【分析】根据扇形统计图知识解答即可； 根据平均数，众数的定义即可解答； 展开数据，根据上四分位数的求法解答即可． 本题考查条形统计图基础知识，要会找众数，计算平均数和四分位数，熟练掌握以上知识是解题关键． 【详解】（1）解：，即a的值是25； 故答案为：； （2）解：设平均数为，由条形统计图可知，这组数据的众数是， ， 答：这组初赛数据的平均数为、众数为； （3）解：根据条形图得到这组数据如下： 1.5，1.5，1.55，1.55，1.55，1.55，1.60，1.60，1.60，1.60，1.60，1.65，1.65，1.65，1.65，1.65，1.65，1.70，1.70，1.70 由上四分位数定义可得， 故答案为：． 【模块十一】画箱线图 【例11】箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图①），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（分位数）和下四分位数（分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图②为某地区年月和月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好；值超过，说明污染严重．则下面说法错误的是（　　）． A．该地区年月有严重污染天气 B．该地区年月的值比月的值集中 C．该地区年月的值比月的值集中 D．从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025--2026学年北师大版数学八年级上册期末模拟1 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查箱线图，理解值箱线图与空气质量的关系是正确解答的关键． 从年月和月的空气质量指数（）箱线图以及值与空气质量的关系进行解答即可． 【详解】解：A．从年月的空气质量指数（）箱线图外部有点，所以该地区年月有严重污染天气，因此选项A不符合题意； B．从年月和月的空气质量指数（）箱线图可知，该地区年月的值比月的值波动较大，所以该地区年月的值比月的值集中，因此选项B符合题意； C．从年月和月的空气质量指数（）箱线图可知，该地区年月的值比月的值集中，因此选项C不符合题意； D．从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【变式11-1】已知数据3，6，8，5，12，12，16，14，21，20 (1)求这组数据的四分位数，，； (2)在图中绘制出这组数据的箱线图． 【答案】(1)；； (2)见解析 【难度】0.65 【来源】甘肃省张掖育才中学2025-2026学年八年级上学期期末教学质量检测数学试卷 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据四分位数绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：将数据3，6，8，5，12，12，16，14，21，20从小到大排列如下： 3，5，6，8，12，12，14，16，20，21， 根据题意，得， 前一半数据为：3，5，6，8，12，得， 后一半数据为：12，14，16，20，21，得． （2）解：根据题意，数据的最大值为21，最小值为3，，，，画图如下： 【变式11-2】甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是 ． 【答案】甲 【难度】0.65 【来源】3 哪个团队收益大 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】本题考查数据的稳定性分析，掌握通过观察数据的离散程度，结合四分位数和箱线图判断数据稳定性是解题的关键． 要判断从家到学校所用时间较稳定的是谁，需分析甲、乙两人数据的离散程度，可通过四分位数和箱线图的特征，即数据的波动情况来判断． 【详解】解：甲的数据排序为，数据个数， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 乙的数据排序为， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 甲的箱体长度2小于乙的箱体长度8，说明甲的数据离散程度更小，结合箱线图，甲的数据波动更小，所以从家到学校所用时间较稳定的是甲． 故答案为：甲． 【变式11-3】某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)画出七年级20名学生的成绩的箱线图； (3)你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)90，，25 (2)图见解析 (3)八年级的成绩更好，理由见解析 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年北师大版八年级上册数学期末测试卷- 【知识点】运用众数做决策、由扇形统计图求某项的百分比、画箱线图、运用中位数做决策 【分析】本题考查了扇形统计图、箱线图、中位数与众数等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据众数与中位数的定义可得的值，扇形统计图求出八年级20名学生的成绩在组中的人数所占百分比，再求出，据此即可得； （2）先求出七年级20名学生的成绩中的最大值、最小值、下四分位数、中位数、上四分位数，再据此画出箱线图即可得； （3）从平均数、中位数与众数的角度进行判断即可得． 【详解】（1）解：在七年级20名学生的成绩中，90出现的次数最多， ∴众数， 八年级20名学生的成绩在组中的人数所占百分比为， ∴， ∴， ∵，， ∴将八年级20名学生的成绩按从小到大进行排序后，第10个数为90，第11个数为91， ∴其中位数， 故答案为：90，，25． （2）解：由题意可知，七年级20名学生成绩的最大值为100，最小值为77，下四分位数为，上四分位数为，中位数为， 则画箱线图如下所示： ． （3）解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数和众数大于七年级的，所以八年级的成绩更好 【模块十二】统计量的选择 【例12】苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【答案】(1)850，750，700 (2)平均数最适合用来估计，25500元． 【难度】0.65 【来源】第六章 数据的分析 2中位数与箱线图 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、根据要求选择合适的统计量 【分析】本题考查的是平均数、众数和中位数，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、平均数定义进行解答即可； （2）可用平均一天的营业额乘以总天数即可得出答案． 【详解】（1）解：这一周营业额的平均数为元． 把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元； ∵700出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是700元； 故答案为：850，750；700． （2）解：平均数最适合用来估计． （元）． 答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元． 【变式12-1】一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.85 【来源】第20章 20.2 数据的集中趋势 【知识点】根据要求选择合适的统计量 【分析】此题主要考查平均数、中位数、众数的意义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 平均数，众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，平均数主要反映一组数据的平均水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平，众数反映这组数据的集中趋势，店主关心的肯定是哪一种尺码销量最大，即这组数据的众数，据此解答即可． 【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：A． 【变式12-2】某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数为次，众数是18，中位数是18 (2)合格标准应定为18次较为合适，见解析 【难度】0.65 【来源】第六章 综合测试 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、根据要求选择合适的统计量 【分析】本题考查数据统计知识在生活中的应用，准确掌握和理解相关概念及其意义是关键，如此题中标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． （1）根据平均数、众数、中位数的定义求解； （2）标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． 【详解】（1）解：50名女生一分钟仰卧起坐的平均数为（次）． 这组数据中一分钟仰卧起坐次数为次的人数最多，则众数是18， ，，则中位数是． （2）解：合格标准应定为18次较为合适，因为这组数据差异较大，用中位数描述数据较合适． 【变式12-3】某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图． 根据以上息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是 　　，10名工人的日均生产件数的中位数是 　； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【答案】(1)13，12； (2)11件； (3)应选中位数或平均数作为日生产件数的定额，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】广东省东莞市南城阳光实验中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、根据要求选择合适的统计量 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数＝加工零件总数÷总人数求解即可； （3）根据平均数、中位数和众数分别计算出能完成任务的工人所占百分比即可进行判断． 【详解】（1）解：∵13出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是13件； 把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，最中间的数是第5、第6个数的平均数，则中位数是＝12（件）； 故答案为：13，12； （2）解：日均生产件数的平均数为：（8×3＋10＋12×2＋13×4）÷10＝11（件）； （3）解：若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额， 理由：若选平均数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 若选中位数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 若选众数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为：， 故若要使占60%的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额． 【点睛】本题考查平均数、中位数和众数的求法，统计量的选择，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】运用平均数做决策 【例13】某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【难度】0.85 【来源】山东省泰安市岱岳区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 首先检查项目实战成绩是否达到85分，甲不符合条件；然后计算乙、丙、丁的加权平均分（笔试、面试、项目实战），比较得分高低． 【详解】解：∵项目实战成绩达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单， ∴甲的项目实战成绩是83分，，不符合； 乙、丙、丁的项目实战成绩均符合． 计算最终得分： 乙：分， 丙：分， 丁：分， ∵丁得分最高， ∴录用丁． 故选D． 【变式13-1】某单位计划招聘一名管理人员、对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试．三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，单位将笔试、面试两项测试得分按的比例确定个人成绩，成绩最高的将被录用，那么甲、乙、丙三人中被录用的候选人是 ． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 70 80 90 面试 90 80 70 【答案】甲 【难度】0.94 【来源】广东省深圳市坪山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】运用加权平均数做决策、求加权平均数 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的概念分别计算出三人的得分，从而得出答案． 【详解】解：甲的最后成绩为：(分)， 乙的最后成绩为：(分)， 丙的最后成绩为：(分)， ， 最终被录用的是甲， 故答案为：甲． 【变式13-2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【难度】0.65 【来源】福建省三明市三元区2024-2025学年下学期九年级数学质量检测（三模）数学试题 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可． 【详解】解：甲的最终得分为：； 乙的最终得分为：； 丙的最终得分为：； 丁的最终得分为：； 故甲的最终得分最高，将被录用； 故选A． 【变式13-3】为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．现得到如下信息： 信息一：20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值） 信息二：小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 a 93 b 信息三：在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67、72、68、69、74、69、71． 根据以上信息解决下列问题： (1)求小亮语言类得分a； (2)请你计算小亮的总评成绩b； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 【答案】(1)70 (2)81分 (3)小明不能入选，小亮能入选，理由见解析 【难度】0.65 【来源】2025年江西省九江市中考模拟预测数学试题 【知识点】频数分布直方图、求一组数据的平均数、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题考查了频数分布直方图，加权平均数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法． （1）根据平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可求解； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案； 【详解】（1）解：小亮语言这项测试的得分为：； （2）解：． 答：小亮的总评成绩为81分． （3）解：小明不能入选，小亮能入选． ∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人， 又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员， ∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选． 【微专题二】运用中位数做决策 【例14】某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【难度】0.94 【来源】2023年山西省大同市广灵县部分学校中考模拟数学试题 （5月） 【知识点】运用中位数做决策、利用合适的统计量做决策 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大 【变式14-1】某公司销售部有营销人员人，销售部为了制定某商品的月销售定额，统计了这人某月的销售量如表所示： 每人销售件数 人数 (1)这名营销员该月销售量的平均数为______件，中位数为______件； (2)请从“平均数”“中位数”“众数”三个统计量中考虑，选取多少件作为月销售定额最佳． 【答案】(1)；； (2)销售额定为件合适些，因为件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额． 【难度】0.85 【来源】2025年四川省攀枝花市中考数学练习卷 【知识点】求众数、运用中位数做决策、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了学生对中位数、众数、平均数等知识点，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数； （2）先求出众数，再根据平均数、中位数和众数的意义解答即可． 【详解】（1）解：平均数是： 件． 表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是，因而中位数是件． 故答案为：，． （2）解：月销售定额定为件合适些，由表格数据可知：出现了次最多，即众数是；则件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额． 【变式14-2】近期在甲、乙两所学校中进行了食堂伙食满意度调查，现从两所学校各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行分析（满意度得分用x表示，共分四个等级：）．部分信息如下： 甲学校10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙学校10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙学校抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 86.3 88 a 乙 86.3 b 89 请根据以上信息解答： (1) ， ； (2)求m的值； (3)你认为哪所学校的伙食更受学生的欢迎？请说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)88，88.5 (2)10 (3)我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎，见解析． 【难度】0.85 【来源】浙江省金华市东阳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、运用中位数做决策、求众数 【分析】本题考查了中位数，众数的概念及计算，扇形统计图的应用，熟练掌握中位数和众数的概念并由统计量得到结论是解决本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念，即众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，由此求解即可； （2）分别求出C组和D组的人数即可求解； （3）根据平均数，众数以及中位数的意义判断即可． 【详解】（1）解：甲学校满意度得分的众数， 乙学校满意度得分在A组的人数为10（人）， 所以其中位数b， 故答案为：88，88.5； （2）解：C组人数为（人）， 则D组人数为（人）， 所以，即； （3）解：我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎．理由如下： 在甲，乙学校满意度得分的平均数相同， 但在乙学校满意度得分的中位数和众数都高于在甲学校满意度得分的中位数和众数， 故我认为乙学校的伙食更受学生的欢迎． 【变式14-3】为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩： 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3    【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图； (2)填空： ， ； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)91； (3)八年级（1）班成绩更好一些；理由见解析 【难度】0.85 【来源】北京市北京实验学校（海淀）2024-2025学年八年级上学期数学期末考试C卷 【知识点】运用众数做决策、画条形统计图、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，众数，方差． （1）找出八年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可； （2）先得出八年级（1）班成绩为90分的学生人数和95分人数，然后求出其平均分和中位数即可； （3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可； 【详解】（1）解：根据八年级（3）班20名学生成绩，补全条形统计图，如图所示：    （2）解：根据题意可得：，， ∴ 从小到大排列得：， 最中间的两个为 90 和 95 ， ； （3）解：我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为： 八年级（3）班的众数为， 平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，综上所述，八年级（1）班成绩更好一些． 【微专题三】运用众数做决策 【例15】2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：65，70，72，73，78，82，83，84，85，85，89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，_______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七、八年级各有600名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】(1)84，88 (2)八年级，理由见解析 (3)估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数约为360人． 【难度】0.85 【来源】湖北省鄂州市鄂城区2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试题 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：84，88； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好； （3）解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数约为360人． 【变式15-1】“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞售价、利润均相同在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 15 28 16 10 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【难度】0.65 【来源】2025年广东省广州十六中教育集团中考数学一模试卷 【知识点】利用合适的统计量做决策、运用众数做决策 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的茶叶就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该经销商决策的统计量是众数． 故选：A． 【变式15-2】2022年6月5日，神舟十四号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 数据收集： 七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92， 八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90， 数据整理： 分数段 七年级 1 4 a 4 八年级 2 3 5 5 数据分析： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 b 85 八年级 83 88 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由写出一条理由即可 【答案】(1)6，84，88； (2)八年级的成绩较好，见解析 【难度】0.85 【来源】 广东省肇庆市封开县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 【知识点】求中位数、运用中位数做决策、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据频数之和等于样本容量可求出a的值，根据中位数、众数的定义可求出b、c的值； （2）比较平均数、中位数、众数的大小可得答案． 【详解】（1）解：依题意， 将七年级15名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是84分， 因此中位数是84分，即， 八年级15名学生成绩出现次数最多的是88分，共出现3次， 因此众数是88分，即， 故答案为：6，84，88； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 由于七、八年级成绩平均数相同，而八年级的中位数、众数均高于七年级， 因此八年级的成绩较好． 【变式15-3】《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行．某校举办了“守护青春，网络有你”的网络安全知识测试，测试结束后，数学兴趣小组从九年级甲、乙两班各随机抽取了20人，对他们的测试成绩进行了整理、分析． 【数据整理】根据甲、乙两班20名学生的测试成绩绘制了如图所示的统计图，本次测试满分为10分，并规定9分及9分以上为优秀． 【数据分析】 统计量 平均数 中位数 众数 优秀率 甲班 7 乙班 7 【解决问题】 (1)填空：______，______，_______． (2)根据以上数据，你认为哪个班级学生的测试成绩更好？请说理理由．（写出一条即可） 【答案】(1)7，6，； (2)甲班级学生的测试成绩更好，理由见详解 【难度】0.85 【来源】2025年河南省周口市太康县中考三模数学试题 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了条形统计图、中位数、众数与优秀率的求法，掌握中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数和优秀率的定义可得答案；用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可求得． （2）根据平均数、众数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意，甲班共调查20名学生的测试成绩 则中位数排在第第10个和第11个之间 观察统计图，甲班的成绩从小到大排列第10个和第11个都是7， ∴中位数为； 则乙班成绩出现次数最多是6分，有5次， ∴众数 依题意，乙班的优秀率为 故答案为：7，6，； （2）解：甲班级学生的测试成绩更好，理由如下： 依题意， 即甲班学生的测试成绩平均数和众数都高于乙班学生测试成绩， ∴甲班级学生的测试成绩更好（答案不唯一） 【微专题四】运用方差做决策 【例16】为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【难度】0.65 【来源】河南省新乡市第十中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、 利用方差求未知数据的值、运用方差做决策 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 【变式16-1】要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择 （填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是 ． 【答案】 小明 小明的成绩更稳定 【难度】0.65 【来源】2021年北京市顺义区九年级下学期中考一模数学试题 【知识点】利用合适的统计量做决策、运用方差做决策 【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择． 【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定． 故答案为：小明；小明的成绩更稳定． 【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小． 【变式16-2】情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)4；4 (2)B款情绪机器人的表现更优秀 (3) 【难度】0.65 【来源】陕西省安康市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 【知识点】求中位数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查了中位数，众数，方差等知识． （1）根据中位数、方差的定义求解即可； （2）分别从平均数和方差角度分析即可； （2）根据平均数的定义判断出，根据中位数的定义判断出比较即可． 【详解】（1）∵3，4，4，4，6，9， ∴； ． 故答案为：4；4； （2）∵平均数都是5， ∴从平均数角度两款机器人情绪价值一样． ∵， ∴从方差角度B款机器人的情绪价值比A款机器人的情绪价值更稳定， ∴B款情绪机器人的表现更优秀； （3）∵在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，分数不低于其平均分的次数共6，9两次， ∴， ∵B的中位数是5， ∴B的数据从小到大排列后至少从第4个数据大于或等于5， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式16-3】【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【难度】0.85 【来源】辽宁省沈阳市大东区2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、运用方差做决策、求四分位数 【分析】本题考查折线图及数据分析，从折线图上获得信息是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）先把A选手的成绩从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 压轴突破·素养提升 【压轴一】数据的综合分析与决策 【例17】《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材陆续修订与试用中，甲、乙两所中学对新版八年级数学教材进行了试用．为了了解试用情况，对这两所学校的八年级学生进行了问卷评分调查，将整体评分记为．现从中各随机抽取100名学生的问卷，并将整体评分数据分为5组（很满意—，满意—，比较满意—，不太满意—，不满意—），得到如下信息： 整理描述 a．被抽取的甲中学学生整体评分频数分布直方图 b．被抽取的乙中学学生整体评分扇形统计图 c．被抽取的甲、乙两所学校学生整体评分的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 83 乙 84 79 80 d．甲中学“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． (1)填空：_____，_____． 分析处理： (2)根据以上数据，你认为哪所中学的整体评分较高？请说明理由；（一条即可） (3)教材评估组指出，整体评分在80分及以上的试用教材才算合格教材．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学中认为试用教材合格的学生总人数． 【答案】(1)25，81.5 (2)甲中学的整体评分较高，见解析 (3)两所中学中认为试用教材合格的学生总人数约为1160 【难度】0.85 【来源】2025年江西省九江市修水县中考二模数学试题 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、利用合适的统计量做决策 【分析】（1）将即可求出m，将甲中学的评分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为82，81，即可求解中位数． （2）比较平均数、中位数和众数即可求解． （3）将两所中心的总体数据分别乘以样本数据中合格人数的占比，相加即可． 【详解】（1）解：（1），； 乙中学“比较满意”所占的百分比为，即． “满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80， 将甲中学的评分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为82，81， ； （2）解：甲中学的整体评分较高． 理由：甲中学整体评分的平均数、中位数和众数均比乙中学的高． （3）解：． 两所中学中认为试用教材合格的学生总人数约为1160． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数以及用样本数据估计总体，解题关键是理解它们的概念，并进行正确的计算． 【变式17-1】国务院安委会办公室关于近期全国火灾要求各企业事业单位高度重视，特别是学校要加强对学生的教育与宣传，某校先组织学生参加“勤于防火，国兴民安；疏于防火，必酿后果”的防火知识教育活动，然后从八、九年级各随机抽取20名学生进行现场测试（试卷满分100分），并将成绩整理，绘制成统计图表如下．（得分用表示，分为，，，四个等级，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为合格） 八年级20名学生在等级的分数为：94，92，93，91； 九年级20名学生在等级的分数为：94，93，94，93，94，90，94，93，94． 八、九年级抽取的学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 合格率 八年级 91 95 九年级 91 93 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______，______，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上成绩分析，你认为在这次活动中，哪个年级学生对防火知识掌握较好？请说明理由；（写出一条即可） (3)若该校八年级有1000名学生，九年级有1200名学生，请你估计该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数． 【答案】(1)92.5，，94，见解析； (2)九年级学生对防火知识掌握较好，理由见解析； (3)该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数约为1380． 【难度】0.65 【来源】2024年安徽省安庆市望江县望江县部分多校联考三模数学试题 【知识点】利用合适的统计量做决策、求中位数、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值；根据条统计图计算出、等级合格的人数，通过合格的人数除以总人数可得的值；用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和合格率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【详解】（1）八年级共抽取20名学生的测试成绩，在D，C，B等级的学生人数为， 中位数在等级内，将八年级抽取的学生的测试成绩在等级的分数从低到高排列后，处在20个数据第10个、第11个数据的平均数为（分）， ； 八年级抽取的学生的测试成绩的合格率为： ； 九年级抽取的学生的测试成绩等级中94分有5个， 、等级人数：，等级人数：， 94分出现的次数最多， ； 八年级抽取的学生的测试成绩在组的人数为． 补全条形统计图如下： （2）九年级学生对防火知识掌握较好， 理由：因为九年缓学生测试成绩的中位数和合格率都高于八年级，所以九年级学生对防火知识掌握较好；（说法合理即可） （3）（名）， 答：该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数约为1380． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式17-2】为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：    a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【答案】(1)20，162，频数分布直方图见解析 (2)见解析 (3)570人 【难度】0.65 【来源】安徽省淮南市凤台县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求中位数、利用合适的统计量做决策 【分析】（1）利用扇形统计图可得的值；利用频数分布直方图，结合条件可得的值；利用总人数可补全频数分布直方图； （2）利用相关统计数据可作出决策； （3）利用样本估计总体可求解． 【详解】（1）解：， 故， ， 故补全的频数分布直方图如下：    结合条件可知，男生的中位数为：； （2）解：男生跳绳成绩更好 理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好； （3）解：（人）． 答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人． 【点睛】本题考查频数分布直方图和扇形统计图关联．掌握各类统计数据的意义，并能根据相应的统计数据作出决策是解题关键． 【变式17-3】在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； (3)年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 【答案】(1)，， (2)乙制造厂的芯片质量更高，理由见解析 (3)两厂合格芯片总数约为万件 【难度】0.65 【来源】2025年河南省濮阳市中招第一次模拟考试数学试卷 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、求中位数、利用合适的统计量做决策 【分析】（1）根据扇形统计图求出D组数据对应的圆心角，结合众数、中位数的概念即可求解； （2）根据平均数和方差进行分析即可求解； （3）用甲厂生产的合格芯片数量加上乙厂生产的合格芯片数量，即可求解． 【详解】（1）解：扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为； 乙制造厂被抽取的批次芯片中：A组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次， 其中乙制造厂组的良品率中，良品率为的有个批次，故乙制造厂的批次芯片良品率的众数是； 结合频数分布直方图和甲制造厂组的良品率可得，甲制造厂的批次芯片良品率的中位数是； 故答案为：，，． （2）解：乙制造厂的芯片质量更高， 理由：乙制造厂的平均数比甲制造厂高，乙制造厂的方差比甲制造厂小． 故乙制造厂的芯片质量更高． （3）解：（万件） 故两厂合格芯片总数约为99.5万件． 【点睛】本题考查了求扇形统计图中的圆心角，求中位数，求众数，用平均数和方差做决策，样本估计总体等．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《第二十四章 数据的分析》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 算术平均数 模块10 求四分位数 模块2 加权平均数 模块11 画箱线图 模块3 中位数 模块12统计量的选择 模块4 众数 微专题1运用平均数做决策 模块5 求离差平方和 微专题2运用中位数做决策 模块6离差平方和的应用 微专题3运用众数做决策 模块7求方差 微专题4运用方差做决策 模块8 利用方差求未知数据的值 压轴1 数据的综合分析与决策 模块9根据方差判断稳定性 知识梳理 · 基础溯源 知识点一:算术平均数 定义:一般地，对于n个数x1，X2，.，Xn，则这n个数据的平均数为记作 读作“x拔” 知识点二:加权平均数 权的概念：:一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义:若n个数x1，X2，...，Xn的权分别是W1，W2,...，Wn，则叫做这n个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大;权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式:①用频数表示，即用出现的次数表示;②百分数的形式;③连比的形式. 知识点三:中位数 定义:一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 知识点四:众数 定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 知识点五：平均数、众数、中位数的联系与区别 知识点六:方差 定义:设有n个数据X1，X2，..，Xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是(x1-x)2，(x2-x)2,...,(xn-x)2, 我 们用 这些值的平均数，即用s2=[x1-x)2+(x2-x)2+-+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差的作用:方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 知识点七:数据的四分位数 定义:将一组从小到大排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为四分位数: ①下四分位数(Q1): 排在第25%位置的数，也叫第一四分位数; ②中位数(Q2): 排在第50%位置的数，即第二四分位数(就是之前学过的中位数); ③上四分位数(Q3): 排在第75%位置的数，也叫第三四分位数; 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含25%的数据。 知识点八:箱线图 定义: 箱线图是用一组数据的最小值、Q1、Q2、Q3、最大值所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 核心元素: 补充:①箱子部分:包含中间50%的数据，是数据最集中的区域. ②左右两条“须”:分别连接最小值到Q1、Q3到最大值，代表两端各25%的数据. 模块通关·举一反三 【模块一】算术平均数 【例1】若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【变式1-2】某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得质量（单位：）分别为16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5．若每千克苹果的售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额为（    ） A．80000元 B．82000元 C．84000元 D．86000元 【变式1-3】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【模块二】加权平均数 【例2】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【变式2-1】央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则小文的最终成绩为（   ） A．分 B．分 C．9分 D．分 【变式2-2】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【变式2-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【模块三】中位数 【例3】如图是某校体育组人的某科成绩，下列说法中正确的是（    ） A．中位数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是 【变式3-1】某学校举行元旦文艺汇演，七位评委对某班的节目给出的评分为：9.2，9.4，9.3，9.0，8.9，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（    ） A．9.0 B．9.2 C．9.3 D．9.4 【变式3-2】现有一组数据：，，，，，，若该组数据的中位数是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一位同学的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分． 【模块四】众数 【例4】已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【变式4-1】小红前3次购买的西瓜单价统计图如图所示，若第4次买的西瓜单价是a元，且这4个单价的中位数与众数相同，则a的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4-2】一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【模块五】求离差平方和 【例5】把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】一组数据，则这组数据的离差平方和为（   ） A．0.5 B．0.6 C．1 D．2 【变式5-2】若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【变式5-3】现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【模块六】离差平方和的应用 【例6】学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【变式6-2】在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【变式6-3】下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【模块七】求方差 【例7】若一组数据的方差为5，则数据 的方差是（   ） A．1 B．2 C．5 D．15 【变式7-1】数据3，2，1，2，2的众数、中位数和方差分别是（   ） A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，2，0.2 【变式7-2】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【变式7-3】我国对于篮球的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些地区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩(图1)与小聪同学近五次上篮成绩(图2)(成绩满分分)． (1)此班级男生上篮成绩的中位数是 ，众数是 ． (2)求小聪近五次上篮成绩的方差． (3)该校共有名男生，请你估计该学校上篮成绩满分的男生人数． 【模块八】利用方差求未知数据的值 【例8】一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 【变式8-2】如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【变式8-3】数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则 ． 【模块九】 根据方差判断稳定性 ．【例9】近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式9-1】现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高最整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式9-2】在纪念“一二·九”运动的合唱比赛中，对八（1）班的演唱曲目，6位评委的打分（单位：分）如图，这组数据的方差为，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的方差为，则 （填“>”“<”或“=”）． 【变式9-3】某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． (2)为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． (3)两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 【模块十】求四分位数 【例10】春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从分钟延长到分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如表． 投中球数 在投中球数的这组数据中，下四分位数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式10-2】在学校组织的初三学生体检中，某班40名同学视力检查数据如表所示： 视力 人数 1 3 4 6 11 9 3 3 这40名同学视力检查数据的众数、上四分位数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-3】在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： (1)图①中a的值为______； (2)求这组初赛成绩数据的平均数，众数； (3)这组数据的上四分位数为______． 【模块十一】画箱线图 【例11】箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图①），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（分位数）和下四分位数（分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图②为某地区年月和月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好；值超过，说明污染严重．则下面说法错误的是（　　）． A．该地区年月有严重污染天气 B．该地区年月的值比月的值集中 C．该地区年月的值比月的值集中 D．从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 【变式11-1】已知数据3，6，8，5，12，12，16，14，21，20 (1)求这组数据的四分位数，，； (2)在图中绘制出这组数据的箱线图． 【变式11-2】甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是 ． 【变式11-3】某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组：，B组：，C组：，D组：）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)画出七年级20名学生的成绩的箱线图； (3)你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【模块十二】统计量的选择 【例12】苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【变式12-1】一家服装专卖店销售某品牌棒球服，店长统计了一周内不同尺码的棒球服销售量如下表，如果每件棒球服的利润相同，你认为该店主最应该关注的销售数据是下列统计量中的（　　） 尺码 S M X 销售量/件 28 30 45 27 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．以上都不对 【变式12-2】某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【变式12-3】某工厂车间共有10名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据制成如下统计图． 根据以上息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是 　　，10名工人的日均生产件数的中位数是 　； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占60%的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】运用平均数做决策 【例13】某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式13-1】某单位计划招聘一名管理人员、对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试．三人的测试成绩如表所示；根据录用程序，单位将笔试、面试两项测试得分按的比例确定个人成绩，成绩最高的将被录用，那么甲、乙、丙三人中被录用的候选人是 ． 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 70 80 90 面试 90 80 70 【变式13-2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式13-3】为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．现得到如下信息： 信息一：20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值） 信息二：小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 a 93 b 信息三：在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67、72、68、69、74、69、71． 根据以上信息解决下列问题： (1)求小亮语言类得分a； (2)请你计算小亮的总评成绩b； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 【微专题二】运用中位数做决策 【例14】某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大 【变式14-1】某公司销售部有营销人员人，销售部为了制定某商品的月销售定额，统计了这人某月的销售量如表所示： 每人销售件数 人数 (1)这名营销员该月销售量的平均数为______件，中位数为______件； (2)请从“平均数”“中位数”“众数”三个统计量中考虑，选取多少件作为月销售定额最佳． 【变式14-2】近期在甲、乙两所学校中进行了食堂伙食满意度调查，现从两所学校各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行分析（满意度得分用x表示，共分四个等级：）．部分信息如下： 甲学校10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙学校10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙学校抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 86.3 88 a 乙 86.3 b 89 请根据以上信息解答： (1) ， ； (2)求m的值； (3)你认为哪所学校的伙食更受学生的欢迎？请说明理由．（写出一条即可） 【变式14-3】为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩： 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩： 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3    【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 m n 95 41.5 八年级（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图； (2)填空： ， ； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； 【微专题三】运用众数做决策 【例15】2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：65，70，72，73，78，82，83，84，85，85，89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，_______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七、八年级各有600名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【变式15-1】“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞售价、利润均相同在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 15 28 16 10 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【变式15-2】2022年6月5日，神舟十四号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 数据收集： 七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92， 八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90， 数据整理： 分数段 七年级 1 4 a 4 八年级 2 3 5 5 数据分析： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 b 85 八年级 83 88 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由写出一条理由即可 【变式15-3】《网络数据安全管理条例》自2025年1月1日起施行．某校举办了“守护青春，网络有你”的网络安全知识测试，测试结束后，数学兴趣小组从九年级甲、乙两班各随机抽取了20人，对他们的测试成绩进行了整理、分析． 【数据整理】根据甲、乙两班20名学生的测试成绩绘制了如图所示的统计图，本次测试满分为10分，并规定9分及9分以上为优秀． 【数据分析】 统计量 平均数 中位数 众数 优秀率 甲班 7 乙班 7 【解决问题】 (1)填空：______，______，_______． (2)根据以上数据，你认为哪个班级学生的测试成绩更好？请说理理由．（写出一条即可） 【微专题四】运用方差做决策 【例16】为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式16-1】要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择 （填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是 ． 【变式16-2】情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 【变式16-3】【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 压轴突破·素养提升 【压轴一】数据的综合分析与决策 【例17】《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布后，数学新版教材陆续修订与试用中，甲、乙两所中学对新版八年级数学教材进行了试用．为了了解试用情况，对这两所学校的八年级学生进行了问卷评分调查，将整体评分记为．现从中各随机抽取100名学生的问卷，并将整体评分数据分为5组（很满意—，满意—，比较满意—，不太满意—，不满意—），得到如下信息： 整理描述 a．被抽取的甲中学学生整体评分频数分布直方图 b．被抽取的乙中学学生整体评分扇形统计图 c．被抽取的甲、乙两所学校学生整体评分的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 85 83 乙 84 79 80 d．甲中学“满意”的分数从高到低排列，排在最后的10个数是83，83，83，83，82，81，81，81，80，80． (1)填空：_____，_____． 分析处理： (2)根据以上数据，你认为哪所中学的整体评分较高？请说明理由；（一条即可） (3)教材评估组指出，整体评分在80分及以上的试用教材才算合格教材．已知甲中学有1200名学生参加了问卷调查，乙中学有1000名学生参加了问卷调查，请你估计两所中学中认为试用教材合格的学生总人数． 【变式17-1】国务院安委会办公室关于近期全国火灾要求各企业事业单位高度重视，特别是学校要加强对学生的教育与宣传，某校先组织学生参加“勤于防火，国兴民安；疏于防火，必酿后果”的防火知识教育活动，然后从八、九年级各随机抽取20名学生进行现场测试（试卷满分100分），并将成绩整理，绘制成统计图表如下．（得分用表示，分为，，，四个等级，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为合格） 八年级20名学生在等级的分数为：94，92，93，91； 九年级20名学生在等级的分数为：94，93，94，93，94，90，94，93，94． 八、九年级抽取的学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 合格率 八年级 91 95 九年级 91 93 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______，______，______，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上成绩分析，你认为在这次活动中，哪个年级学生对防火知识掌握较好？请说明理由；（写出一条即可） (3)若该校八年级有1000名学生，九年级有1200名学生，请你估计该校这两个年级对防火知识掌握合格的总人数． 【变式17-2】为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：    a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160． b．男生测试成绩频数分布直方图如图1． c．女生测试成绩扇形统计图如图2． d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 162.6 n 166 女生 162.6 159 164 请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= ，n= ，并补全频数分布直方图； (2)根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数． 【变式17-3】在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； (3)年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $