第二十二章 函数（小模块.微专题.大压轴）（十七大题型）2025-2026学年数学人教版八年级下册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”三级架构系统覆盖函数核心知识，从概念识别到综合应用，层层递进培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模块（1-12）|每模块1例+3变式|生活情境题为主，如加油量、购物小票|从常量变量识别→函数定义→三种表示方法→图像应用，形成概念生成-表示-应用链条| |微专题（1-3）|每专题1例+3变式|实际问题、行程与几何综合题|整合基础模块知识，聚焦中考高频应用场景，培养模型意识| |压轴突破（1-2）|每压轴1例+3变式|动点图像、新定义探究题|综合几何与函数，提升推理能力与创新意识，对接中考压轴考法|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 - ---【小模块·微专题·大压轴】《第二十二章 函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 常量与变量的识别 模块10 从函数图象获取信息 模块2 函数的定义理解 模块11 判断图象是否表示函数 模块3 自变量与函数的判断 模块12根据实际情境选图象 模块4 求函数自变量的取值范围 微专题1实际问题中的取值范围 模块5 自变量的值或函数值的计算 微专题2函数与行程问题的应用 模块6列表法表示函数关系 微专题3函数与几何图形面积的应用 模块7解析法表示函数关系 压轴1 动点问题的函数图象 模块8 图像法表示函数关系 压轴2 新定义下的函数性质探究 模块9函数图象的绘制 模块通关·举一反三 【模块一】常量与变量的识别 【例1】如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【答案】D 【难度】0.94 【来源】山东省济宁市实验初中2024-2025学年七年级下学期期末模拟数学试题 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 【变式1-1】假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【难度】0.94 【来源】2025年云南省初中学业水平考试数学模拟卷 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 【变式1-2】如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 单价 数量，金额 【难度】0.94 【来源】第四章 一次函数 1 函数 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【详解】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 【变式1-3】乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【难度】0.85 【来源】【智】50 1 现实中的变量（学海风暴2026春七年级数学下册北师大版-课时检测） 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 【详解】解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 【模块二】函数的定义理解 【例2】下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 故选：D． 【变式2-2】有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【来源】广东省梅州市梅江区芹洋学校2025-2026学年学年八年级上学期数学期中考试 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 【变式2-3】下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山东省德州市德城区第五中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个图象逐一分析，再作判定． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合； 用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合； 故选：C． 【模块三】自变量与函数的判断 【例3】一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【答案】 时间和路程 路程 时间 时间 【难度】0.94 【来源】第5章 一次函数 课时1 变量与函数（1） 【知识点】函数的概念 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中，变量有时间和路程，我们可以把路程看成是时间的函数，时间叫做自变量． 故答案为：时间和路程，路程，时间，时间． 【变式3-1】下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【答案】 【难度】0.94 【来源】第5章 一次函数 课时1 变量与函数（1） 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；因此此题可根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：可以把Q看成是h的函数； 故答案为Q，h． 【变式3-2】秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 【答案】 y 【难度】0.85 【来源】安徽省安庆市望江县部分学校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】函数的概念、函数解析式 【分析】本题考查了函数的概念及列函数解析式，理解每升高米降低是解题的关键．根据每升高降低，则上升的高度，下降，据此即可求得函数解析式，再根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由题意，山脚温度为，每升高降低，上升高度为，温度为， 则y与x的函数解析式为，其中x是自变量，y是x的函数． 故答案为：，x，y，x． 【变式3-3】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 (1)在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【答案】(1)自变量是时间，自变量的函数是月产量 (2)6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低 【难度】0.94 【来源】河北省邢台市2022—2023学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数的概念 【分析】（1）根据函数的定义，可得答案； （2）根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】（1）解：自变量是时间，自变量的函数是月产量． （2）解：由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低． 【点睛】本题主要考查变量与常量，熟练掌握自变量与函数的定义是解决本题的关键． 【模块四】求函数自变量的取值范围 【例4】函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】2013届广西柳州市九年级初中毕业升学模拟考试数学试卷 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量取值范围． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于0，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-1】在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2025--2026学年人教版八年级数学下册期末学情评估卷 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 【变式4-2】函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【难度】0.85 【来源】四川省眉山市仁寿县城北实验初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得且，即， 解得； 故选B． 【变式4-3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【难度】0.4 【来源】安徽省六安市2025-2026学年上学期八年级数学期中仿真卷 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 【模块五】自变量的值或函数值的计算 【例5】乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【难度】0.94 【来源】河北省保定市高碑店市 2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了一次函数的应用，把代入一次函数解析式解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴应付总金额为元， 故选：． 【变式5-1】某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山东省菏泽市曹县2025-2026学年七年级上学期11月期中考试数学试题 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 【变式5-2】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】安徽省利辛县部分学校2025-2026学年上学期9月月考八年级数学试卷 【知识点】程序流程图与代数式求值、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查程序框图，解题的关键是根据题意得到的值． 根据条件可先求得，再根据的值分情况讨论即可． 【详解】当输入， ， ，解得， 当输出的值为时，有两种情况， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 故选：A． 【变式5-3】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】安徽省六安市霍邱县第三中学2025--2026学年八年级上学期数学定时训练试卷（一） 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【模块六】列表法表示函数关系 【例6】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】安徽省合肥市第四十五中学2024-—2025学年八年级上学期数学期中测试卷 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 【变式6-1】课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【答案】C 【难度】0.85 【来源】陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山东省济南市历下区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 【变式6-3】．心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y (2)56.3 (3)13分钟 (4)见解析 【难度】0.65 【来源】1 现实中的变量 2 用表格表示变量之间的关系 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键． （1）利用表格中数据得出答案； （2）利用表格中数据得出答案； （3）利用表格中数据得出答案； （4）先根据表格可知：当时，y的值最大是59.9，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，从而得出答案． 【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受能力y． 故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y （2）解：观察表格可知，当时，， ∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3． （3）解：∵当时，y的值最大是59.9， ∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （4）解：当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大； 当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小． 【模块七】解析法表示函数关系 【例7】如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【难度】0.94 【来源】山东省青岛市北区2025-2026学年上学期八年级上期中数学试卷 【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数关系式的应用，根据已知条件列出关系式是解题的关键． （1）一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米，根据整个楼梯的宽度等于每个台阶的宽度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （2）根据整个楼梯的高度等于每个台阶的高度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （3）由（1）和（2）中的关系式，消去，得到a与b之间的关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米， 则这个楼梯侧面宽度为， 答：b与m之间的关系式为：； （2）解；根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶高12厘米， 则这个楼梯竖直高度为， 答：a与m之间的关系式为：； （3）解：由（1）和（2）可知，、， 则，即， 答：a与b之间的关系式为． 【变式7-1】某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】2024年北京市海淀区中考二模数学试题 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律、函数的三种表示方法 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 【变式7-2】某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】安徽省六安市舒城县仁峰学校2023-2024学年八年级上学期第四次月考数学试题 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 【变式7-3】一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】由函数的定义可判断A，由表格信息可判断B，根据题意可得蓄水量Q=50-2t，可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故A不符合题意； 蓄水池每分钟放水2m3，故B不符合题意； 放水25分钟时，Q=50-2×25=0，水池里的水全部放完，故C不符合题意； 水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q=50-2t，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的实际应用，列函数关系式，通过分析题意列出正确的函数解析式是解决本题的关键． 【模块八】图像法表示函数关系 【例8】游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【难度】0.65 【来源】四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版） 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 【变式8-1】小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少． 【变式8-2】．在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】分别求出和解析式即可解答． 【详解】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃； 当x=11时，y=20-11×6=-46℃， ∴y=-6x+20（） 当时，y=-46 根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 【变式8-3】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【难度】0.85 【来源】广东省佛山市顺德区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、从函数的图象获取信息、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【模块九】函数图象的绘制 【例9】如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2025年江苏省常州九年级二模数学统考卷 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 【变式9-1】小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【答案】(1)；4 (2)见解析 (3) 【难度】0.85 【来源】福建省龙岩市二中东山校区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求一次函数的函数值或自变量值，画一次函数图象，熟知相关知识点是解题的关键． （1）代入函数解析式即可解答； （2）描点画图即可； （3）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：；4； （2）解：函数的图象如图所示， ， （3）解：当时，可得， 解得， 故答案为：． 【变式9-2】画出函数的图象并研究其性质： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)用列表法画出该函数的图象： (3)小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 【答案】(1)x为任意实数 (2)见解析 (3)①②③ 【难度】0.85 【来源】福建省厦门市莲花中学2024--2025学年4月份八年级数学期中考试卷 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的取值范围 【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）列表，然后根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】（1）在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； （2）列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … 画出函数的图象如下： （3）由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①②③． 【变式9-3】电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【难度】0.85 【来源】北京市北京实验学校（海淀）2024-2025学年八年级上学期数学期末考试C卷 【知识点】用描点法画函数图象、用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 【模块十】从函数图象获取信息 【例10】如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【答案】B 【难度】0.65 【来源】八年级期末数学试卷02-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版） 【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 【变式10-1】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．甲步行的速度为80米/分钟 B．乙步行的速度为100米/分钟 C．起点到终点的距离为6600米 D．甲走完全程用了79分钟 【答案】D 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市高新逸翠园初级中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次大练习 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分钟），故A正确，不符合题意； 由图象知，乙用（分钟）时到达终点， 设乙步行的速度为x米/分， 根据题意得：， 解得， ∴乙步行的速度为米/分，故B正确，不符合题意； 起点到终点的距离为（米），故C正确，不符合题意； 甲走完全程所用时间为：（分钟），故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式10-2】下图是生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24h内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间变化的曲线．观察曲线，回答下列问题： (1)曲线Ⅰ、Ⅱ中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ (3)曲线Ⅰ、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【答案】(1)曲线Ⅰ中的自变量是时间，因变量是植物的光合作用强度；曲线Ⅱ中的自变量是时间，因变量是植物的呼吸作用强度． (2)0时—12时逐渐增强，在12时—24时逐渐减弱．植物的光合作用发生在4时—20时． (3)此时光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度相同. 【难度】0.65 【来源】【智】53 第 1 课时 曲线型图象（学海风暴2026春七年级数学下册北师大版-课时检测） 【知识点】用图象表示变量间的关系、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图像，熟练掌握函数图像是解题的关键． （1）根据函数图像以及自变量和因变量的定义得到答案； （2）根据函数图像的起伏即可得到答案； （3）根据图像交点的意义回答. 【详解】（1） 解：曲线Ⅰ中的自变量是时间，因变量是植物的光合作用强度；曲线Ⅱ中的自变量是时间，因变量是植物的呼吸作用强度． （2）解：0时—12时呼吸作用逐渐增强，在12时—24时呼吸作用逐渐减弱．植物的光合作用发生在4时—20时． （3）解：表示此时光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度相同. 【变式10-3】小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； (2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 【答案】(1)图见解析 (2)①；② 【难度】0.65 【来源】北京市第八十中学2025-2026学年上学期12月份月考九年级数学试题 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题，解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与P、与P对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象； （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值； ②小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的P值，相加即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ； ②观察的数据，当时，， 观察的数据，当时，， 当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 【模块十一】 判断图象是否表示函数 【例11】下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山西省长治市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式11-1】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】云南省昆明市2023-2024学年八年级下学期7月期末考试数学试题 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 【变式11-2】下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【答案】图（1）（2）（3）中y是x的函数 【难度】0.85 【来源】【人教版课时练习】八年级下册数学第19章一次函数19.1.2 函数的图象 【知识点】函数图象识别 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数； 故图（1）（2）（3）中y是x的函数 【点睛】本题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【变式11-3】下列能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】第四章小结 八年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数的定义，解题的关键是掌握函数的定义． 根据函数的定义，对于每一个的值，都有唯一的一个和它对应，一一判断即可． 【详解】A选项：对于每一个的值，有时有两个和它对应，不符合题意； B选项：对于每一个的值，有时有多个和它对应，不符合题意； C选项：对于每一个的值，有时有两个和它对应，不符合题意； D选项：对于每一个的值，都有唯一的一个和它对应，符合题意； 故答案为：D． 【模块十二】根据实际情境选图象 【例12】小明的父亲饭后去散步，从家中出发经过分钟后到达一个离家米的公园，逛了分钟，然后花分钟返回到家中，下列图象中，表示小明父亲散步的时间（分）与离家的距离（米）之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】浙江省宁波市2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据的值随的变化情况即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】由题意可知，分钟，的值随着的增大而增大；分钟，的值保持不变，等于；分钟，的值随着的增大而减小， 故选：． 【变式12-1】小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】上海市第一中学2025-2026学年上学期八年级数学期周测二 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象，根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程是解答本题的关键．由题意得，父亲离家的距离在这个过程中分为 3 段，从家到车站，距离变远，即随的增大而增大；在车站等待的时候，距离不变，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小．父亲先到车站，那么离家的距离将不再变化，说明父亲行走的函数图象肯定先与轴平行．儿子离家的距离也分为 3 段，从学校到车站，距离变近，即随的增大而减小；在车站与父亲“细端详”，停留了一小段时间，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家；儿子离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家． 故选：A． 【变式12-2】如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】四川省成都市锦江区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 【变式12-3】如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】甘肃省武威第九中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷 【知识点】函数图象识别、动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】实际问题中的取值范围 【例13】我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 超过400千瓦时的部分 (1)设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式： 当时，_____；当时，_____； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 【答案】(1)； (2)146元 (3)300千瓦时 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市高新一中2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）把代入中，求出y的值即可得到答案； （3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，； （2）解：在中，当时，， 答：该户这个月的电费为146元； （3）解：∵，且， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 【变式13-1】游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)放水时间和游泳池的存水； (2)624，468，390； (3)，取值范围为． 【难度】0.65 【来源】第四章 一次函数 考点小卷1 变量与函数 【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识． （1）根据题意即可解答； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水量； （2）解：补充表格如下： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 546 （3）解：根据题意，得， 令，解得， 所以与的函数关系式为的取值范围为． 【变式13-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． (4)当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【难度】0.65 【来源】吉林省通化市实验中学2025-2026学年 上学期八年级数学期中试题 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查等腰三角形性质和判定，两变量之间的关系式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）根据写出关系式，当点在边上运动时，用时秒，据此写出的取值范围； （4）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）解：当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即， 解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）解：当点在边上运动时，用时秒， ； （4）解：①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， 秒； 综上所述：为秒或秒． 故答案为：或． 【变式13-3】如图所示，，，且a、b满足，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D． (1)求点C，点D坐标； (2)点P从点D出发，以4个单位每秒的速度沿射线向左运动，设的面积为，点P运动的时间为秒，求S与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交y轴于点N，点M在线段上，且满足，在点P运动过程中的面积与S有怎么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【难度】0.4 【来源】黑龙江省哈尔滨市第一六三中学校2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试卷 【知识点】用关系式表示变量间的关系、由平移方式确定点的坐标、几何问题(一元一次方程的应用)、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，平移的性质，坐标与平面，变量间的关系式，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据非负性得到，解方程组得到点A坐标，再由平移的性质求解点C坐标，即可求解点D坐标； （2）分两种情况讨论，由三角形面积公式得到S与t之间的关系式； （3）分两种情况讨论，连接，当时，由题意得，由建立方程求解，则，则，则，那么可得，即可得到；当时，同理可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵将点A向右平移6个单位长度至点C， ∴， ∵过点C作y轴的平行线交x轴于点D ∴； （2）解：当时，如图： ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 当时，如图： ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 综上：S与t之间的关系式为：； （3）解：，理由如下： 连接，当时， 由题意得， ∵， ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即； 当时，如图： 同理可得：， ∴，即， 综上所述：． 【微专题二】函数与行程问题的应用 【例14】周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②##②① 【分析】根据函数图象可知，小明4分钟所走的路程为1600米，分钟休息，分钟骑车米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可． 【详解】解：①、根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：6﹣4＝2分钟，故正确； ②、根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小明休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），故正确； ③、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为2800米，故错误； ④、小明休息后的骑车的平均速度为：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小明休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟）， 400＞300，所以小明休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故错误； 综上所述，正确的有①②． 故答案为①②． 【点睛】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进而解决问题． 【变式14-1】小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 　米． （2）本次上学途中，小明一共行驶了　 　米．一共用了　 　分钟． （3）在整个上学的途中最快的速度是　 　米/分． （4）小明当出发　 　分钟离家1200米． 【答案】（1）1500；（2）2700，14；（3）450；（4）6或 【分析】（1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据函数图象可以解答本题； （3）由函数图象可以得到哪段的速度最快，进而求得相应的速度； （4）设t分钟时，小明离家1200米，据此列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）由图象可得， 小明家到学校的路程是1500米， 故答案为：1500； （2）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200-600）×2=2700（米），一共用了14（分钟）， 故答案为：2700，14； （3）由图象可知， 在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500-600）÷（14-12）=450米/分钟， 故答案为：450； （4）设t分钟时，小明离家1200米， 则t=6或t-12=（1200-600）÷450，得t=， 即小明出发6分钟或分钟离家1200米． 故6或． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式14-2】如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小明和小林在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象可知，在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，再根据“路程，速度与时间”的关系逐一判断即可． 【详解】解：①正确． 在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，故小林的总路程比小明的总路程更短； ②正确． 小明游泳的速度是：； ③错误， 小林游泳的速度是：； 两人第一次相遇时间为：， 两人第一次与第三次相遇的时间间隔是：， 小明游75米时小林游了50米； ④正确． 小林远离地超过20米的总时长为：； 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式14-3】暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下： 文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头” 接待点A：西溪湿地 景点B：法镜寺（游山寺） 景点C：猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后乘坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A． 旅游路线：    设从接待点A出发后时间为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍． 行程函数图象：    （1）方案梳理 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C； （2）回程规划 求b的值； （3）行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长． 【答案】（1）A→B段路程为，大巴车行驶段的路程B→C；；（2）；（3）3小时 【难度】0.65 【来源】2025年浙江省中考数学考前押题卷 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用，注意数形结合思想与函数思想的运用； （1）本题只要抓住时间和总路程即可．从图象中可以梳理出来的已知条件有，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长；加上已知“大巴车速度是自行车速度的8倍”，可设自行车速度为，大巴车，解二元一次方程组即可． （2）b表示返程回到接待点的时间，只要求出返程用了多少时间即可，在已知大巴车速度的情况下，可求． （3）本题只要用关于a的代数式列式，直接可求解，即总时长 【详解】解：（1）由函数图象可知，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长． 设自行车的速度为，大巴车的速度为， 则有：． 解得：， 所以自行车的速度为，大巴车的速度为， 自行车骑行段的路程A→B为，大巴车行驶段的路程B→C；． （2）； 所以b的值为． （3）总时长 ， 所以游客在两个景点游玩的总时长为． 【微专题三】函数与几何图形面积的应用 【例15】如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD），即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a， ①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4， ②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1， ③当x＝7时，如下图所示： 此时，PC＝1，PD＝7−4＝3， 当x＝7时，y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD）＝4×4− （4×1＋1×3＋4×3）＝， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 【变式15-1】如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南省开封市兰考县第一高级中学附属初中2024—2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 【变式15-2】动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【答案】(1)H的运动时间，的面积 (2)4，14，10 (3)或 【难度】0.65 【来源】广东省佛山市南海实验中学2022-2023学年七年级下学期数学期中试题 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案； （2）由题意可知，点在上运动时的面积不变，在结合图象即可求得答案； （3）分两种情况，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量为：H的运动时间，因变量为：的面积， 故答案为：H的运动时间，的面积； （2）∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点在上运动时的面积不变， ∴，，则， ∴，， 故答案为：4，14，10； （3）当在上时，的面积为：， 当的面积为时，可分两种情况： 当在上时，，则， ∴， 当在上时，，则， ∴， 综上，当的面积为时，求点F的运动时间为或． 【点睛】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算． 【变式15-3】已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.4 【来源】四川省达州市达川区三里初级中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有①③⑤，共计3个，故B正确． 故选：B． 压轴突破·素养提升 【压轴一】动点问题的函数图象 【例16】已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm， （1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变； （2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______； （3）求出图2中的a与b的值； （4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积． 【答案】（1）CD和EF；（2）8cm、4cm、6cm、2cm；（3）a=24，b=17；（4）42cm2． 【分析】（1）结合图甲可直接解答； （2）根据函数图象即可确定BC、CD、DE、EF的长度； （3）根据三角形的面积计算公式进行计算即可； （4）根据题意可得，当点P移动到点E时面积达到最大值，然后确定三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变 故答案是：CD和EF； （2）当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变， 由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm， 在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm 在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm， 由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm 故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm； （3）由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S△ABP=×6×8=24 b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s ∴a=24，b=17； （4）∵点P移动到点E时面积达到最大值a, ∴S=AB（BC+DE）=×66×（8+6）=42cm2． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象和从函数图像上获取有用的信息，从函数图象获取有用的信息解决实际问题是成为解答本题的关键． 【变式16-1】小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 【答案】(1)100，50，8 (2)①50；②12 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】（1）由t在2分钟到a分钟变化时，S不变可知，半径为100米，速度为50米/分，走完线段和半圆弧所用时间之和即为a的值； （2）①由（1）根据图象，第11分时，小明继续行走，则小明之前行走9分，可求出已经行走路程，用全程路程减去已走路程即可； ②可求全程时间为500米，用时10分钟，再加上停留2分钟即可． 【详解】（1）解：由图象可知，花园半径为100米，小明速度为100÷2＝50米/分，半圆弧长为100π＝300米，则a＝28（分）， 故答案为：100，50，8． （2）①由已知，第11分时小明继续前进，则行进时间为9分钟，路程为450米 全程长100+300+100＝500米，则小明离出发点距离为50米； 故答案为：50 ②小明返回起点O的时间为（分）． 故答案为：12 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了通过函数图象探究图象代表的实际意义，运用数形结合的数学思想是关键． 【变式16-2】如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【难度】0.85 【来源】广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期中小学期末考试七年级数学试卷 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 【变式16-3】如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】宁夏回族自治区 吴忠市第四中学2024-2025学年下学期九年级数学四模测试卷 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。 【详解】解：由图象可知，， 四边形是平行四边形， ， 当点P在上运动时，， 设边上的高为h， ，即， 点P从A到D运动时间为， ，即， ， ， ． 如图， 过A作于E，则， 在中，， ， ． 故选：C． 【压轴二】新定义下的函数性质探究 【例17】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小丽结合已有的经验探究的图象及性质． (1)绘制函数图象； ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m__________，n__________； ②描点：根据表中的数值描点，并描出了一部分点，请补充描出点； x … 0 1 2 3 4 5 6 … … n 2 m 2 1 … ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； (2)探究函数性质；请写出函数的一条性质：________________________， (3)根据函数图象，写出不等式解集是________． 【答案】(1)①4，1；②描点见解析；③函数图象见解析 (2)当时，函数有最大值，最大值为4 (3) 【难度】0.85 【来源】河南省南阳市桐柏县方树泉中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，从函数图象获取信息， （1）①分别把，分别代入，进行计算即可得；②按照点的坐标描点即可；③连线画出图象即可得； （2）根据函数图象即可得； （3）根据函数图像得当时，函数值为1，当时，函数值为1，即可得； 掌握一次函数的性是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，， 故答案为：4，1； ②描点如下图；③函数图像如下图： （2）解：根据函数图象得，当时，函数有最大值，最大值为4， 故答案为：当时，函数有最大值，最大值为4； （3）解：根据函数图象得，当时，函数值为1，当时，函数值为1， 即不等式解集是， 故答案为：． 【变式17-1】请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … (1)表格中：_________，_________． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 【答案】(1)， (2)作图见详解 (3)①；②关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一） 【难度】0.94 【来源】河南省郑州市金水区农业大学附属中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】判断一次函数的增减性、用描点法画函数图象 【分析】（1）观察表格可知，当，，时，函数值的变化规律，由此即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图像； （3）①从（2）中图像可求解；②根据图像，对称性，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴函数关系的图像关于对称， ∴的函数值与的函数值相等，的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：，． （2）（2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图像，如图所示， ∴图示即为所求函数的图像． （3）解：根据函数图像可得，函数的最小值是； 故答案为：； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图像是解题的关键． 【变式17-2】【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)C (3)， (4) 【难度】0.65 【来源】2023年广东省深圳市龙华区中考一模数学试卷 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用、求自变量的取值范围、函数图象识别 【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围； （2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题； （3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整； （4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数， ∴当时，，当时，， 故选：C． （3）解：∵，∴． ∵，∴． 故答案为：，； （4）解：∵， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键． 【变式17-3】回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． (1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 (2)观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； (3)深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 【答案】(1)图见详解 (2)①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； (3)④；⑤轴下方，轴 【难度】0.85 【来源】上海市风华初级中学教育集团2024—2025学年上学期第一次阶段练习九年级数学试卷 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了函数的应用，掌握函数的研究方法是解题关键． （1）描点连线即可完成作图； （2）根据图像即可确定函数的性质； （3）作出直线，通过上下平移即可确定函数的图像与直线有4个交点的情况，即可求解；结合的图像即可确定一般规律； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图象可知： ①该函数图像关于直线对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是或； ③当或时，该函数有最小值，且最小值为； 故答案为：①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； （3）解：由图象可知： ④由表格数据可知：当时，； 若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是：； ⑤函数的图像可通过将函数在轴下方的图像沿着轴 翻折得到， 故答案为：④；⑤轴下方，轴 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 - ---【小模块·微专题·大压轴】《第二十二章 函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 常量与变量的识别 模块10 从函数图象获取信息 模块2 函数的定义理解 模块11 判断图象是否表示函数 模块3 自变量与函数的判断 模块12根据实际情境选图象 模块4 求函数自变量的取值范围 微专题1实际问题中的取值范围 模块5 自变量的值或函数值的计算 微专题2函数与行程问题的应用 模块6列表法表示函数关系 微专题3函数与几何图形面积的应用 模块7解析法表示函数关系 压轴1 动点问题的函数图象 模块8 图像法表示函数关系 压轴2 新定义下的函数性质探究 模块9函数图象的绘制 模块通关·举一反三 【模块一】常量与变量的识别 【例1】如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【变式1-1】假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【变式1-2】如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是 ，变量是 ． 【变式1-3】乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【模块二】函数的定义理解 【例2】下列解析式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【变式2-2】有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【模块三】自变量与函数的判断 【例3】一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【变式3-1】下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【变式3-2】秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 【变式3-3】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如表： 时间/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 (1)在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【模块四】求函数自变量的取值范围 【例4】函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【变式4-3】函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【模块五】自变量的值或函数值的计算 【例5】乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式5-1】某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输入的值是2，输出的值是3，若输出的值是，则输入的值是（   ）． A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【模块六】列表法表示函数关系 【例6】某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 【变式6-2】．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【变式6-3】．心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 【模块七】解析法表示函数关系 【例7】如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 【变式7-1】某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 【模块八】图像法表示函数关系 【例8】游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【变式8-1】小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【变式8-2】．在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【模块九】函数图象的绘制 【例9】如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【变式9-2】画出函数的图象并研究其性质： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)用列表法画出该函数的图象： (3)小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 【变式9-3】电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【模块十】从函数图象获取信息 【例10】如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【变式10-1】某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发6分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．甲步行的速度为80米/分钟 B．乙步行的速度为100米/分钟 C．起点到终点的距离为6600米 D．甲走完全程用了79分钟 【变式10-2】下图是生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24h内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间变化的曲线．观察曲线，回答下列问题： (1)曲线Ⅰ、Ⅱ中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ (3)曲线Ⅰ、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【变式10-3】小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： P 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； (2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶________（结果精确到）； ②若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为________（精确到）． 【模块十一】 判断图象是否表示函数 【例11】下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式11-1】下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式11-2】下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【变式11-3】下列能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【模块十二】根据实际情境选图象 【例12】小明的父亲饭后去散步，从家中出发经过分钟后到达一个离家米的公园，逛了分钟，然后花分钟返回到家中，下列图象中，表示小明父亲散步的时间（分）与离家的距离（米）之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 【变式12-2】如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【变式12-3】如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A．B．C．D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】实际问题中的取值范围 【例13】我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 超过400千瓦时的部分 (1)设该市一户居民某月用电量千瓦时，当月的电费元，写出与的关系式： 当时，_____；当时，_____； (2)某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； (3)某户居民八月份缴电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时？ 【变式13-1】游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时的速度放水．当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如表： 放水时间 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水 858 780 702 ____ 546 ___ ___ (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为，游泳池的存水量为，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【变式13-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． (4)当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【变式13-3】如图所示，，，且a、b满足，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D． (1)求点C，点D坐标； (2)点P从点D出发，以4个单位每秒的速度沿射线向左运动，设的面积为，点P运动的时间为秒，求S与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交y轴于点N，点M在线段上，且满足，在点P运动过程中的面积与S有怎么数量关系，并说明理由． 【微专题二】函数与行程问题的应用 【例14】周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ． 【变式14-1】小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 　米． （2）本次上学途中，小明一共行驶了　 　米．一共用了　 　分钟． （3）在整个上学的途中最快的速度是　 　米/分． （4）小明当出发　 　分钟离家1200米． 【变式14-2】如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t（s），其中0≤t≤180，到AB边距离为y（m），图2中的实线和虚线分别表示小明和小林在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-3】暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下： 文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头” 接待点A：西溪湿地 景点B：法镜寺（游山寺） 景点C：猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后乘坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A． 旅游路线：    设从接待点A出发后时间为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍． 行程函数图象：    （1）方案梳理 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C； （2）回程规划 求b的值； （3）行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长． 【微专题三】函数与几何图形面积的应用 【例15】如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　） A．7 B．6 C． D． 【变式15-1】如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【变式15-2】动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．    (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； (2)______，______，______； (3)当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【变式15-3】已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 压轴突破·素养提升 【压轴一】动点问题的函数图象 【例16】已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm， （1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变； （2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______； （3）求出图2中的a与b的值； （4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积． 【变式16-1】小明在一个半圆形的花园的周边散步，如图1，小明从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：（1）线段；（2）半圆弧；（3）线段，回到出发点．小明离出发点的距离S（小明所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，请回答下列问题（圆周率π的值取3）： (1)请直接写出：花园的半径是______米，小明的速度是______米／分，_______； (2)若沿途只有一处小明遇到了一位同学停下来交谈了2分钟，并且小明在遇到同学的前后，始终保持速度不变，请你求出： ①小明遇到同学的地方离出发点的距离为_________米 ②小明返回起点O的时间为_________分钟． 【变式16-2】如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【变式16-3】如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【压轴二】新定义下的函数性质探究 【例17】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小丽结合已有的经验探究的图象及性质． (1)绘制函数图象； ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m__________，n__________； ②描点：根据表中的数值描点，并描出了一部分点，请补充描出点； x … 0 1 2 3 4 5 6 … … n 2 m 2 1 … ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； (2)探究函数性质；请写出函数的一条性质：________________________， (3)根据函数图象，写出不等式解集是________． 【变式17-1】请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … (1)表格中：_________，_________． (2)在直角坐标系中画出该函数图像． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 【变式17-2】【探究函数的图象与性质】 (1)函数的自变量x的取值范围是　 　； (2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是　 　； (3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整． 解：∵，∴______． ∵，∴____． 【拓展说明】 (4)若函数，求y的取值范围． 【变式17-3】回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． (1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 (2)观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； (3)深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $