精品解析：山东潍坊市寿光市2026年初中学业水平考试模拟监测（一）九年级数学试题

2026年初中学业水平考试复习自测（一） 数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列新能源汽车车标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相反数意义、0次幂、负整数指数幂、乘方等知识点． 根据相反数意义，0次幂、负整数指数幂、乘方法则计算，并判定即可． 【详解】解：A、，是正数，故此选项不符合题意； B、，是正数，故此选项不符合题意； C、，是负数，故此选项符合题意； D、，是正数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3060万斤大米，这些大米可供9万人吃一年．数据3060万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵3060万 = 30600000， 将30600000转化为科学记数法时，，满足，小数点向左移动了7位， ∴，即． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，故A计算错误； 选项B：，故B计算正确； 选项C：，故C计算错误； 选项D：，故D计算错误． 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，确定原点的位置，根据数轴，有理数的运算法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴原点在a，b的中间， 如图， 由图可得：，，，， ∴， 故D错误，符合题意． 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小亮看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点F，由平行线的性质得，再利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， ，， ， ， ． 7. 如图，现对三个小正方形组成的图形“”进行涂色，每个小正方形随机涂成红色或绿色，恰好是两个红色小正方形和一个绿色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，根据概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中恰好是两个红色小正方形和一个绿色小正方形的有种结果， 恰好是两个红色小正方形和一个绿色小正方形的概率为． 8. 用，两种智能机器人搬运建筑材料，型机器人比型机器人每天多搬6吨，型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设型机器人每天搬运吨建筑材料，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到B型机器人每天搬运吨建筑材料，再根据型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等即可列出方程． 【详解】解：设A型机器人每天搬运吨建筑材料，则B型机器人每天搬运吨建筑材料， 由题意得，． 9. 如图，工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形．已知的半径为，，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接， 利用圆周角定理得到为直径，从而可得BC的长，证明是等腰直角三角形， 可得的长，最后根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， 是的直径． 的半径为， ． ，， 是等腰直角三角形， ， 此扇形的面积为 ． 10. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格信息先画函数图象，再结合图象信息与表格信息求解即可. 【详解】解：如图， ∴，，， ∴，顶点坐标为，故B不符合题意； ∴，故A不符合题意； 当时，，故C符合题意； ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 请写出抛物线的一条性质______． 【答案】顶点为（对称轴为直线或开口向上）（答案不唯一，写出一条即可） 【解析】 【分析】根据给定的顶点式可直接得到抛物线的相关性质，任意写出一条正确性质即可． 【详解】解：由抛物线，可得该抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，函数最小值为，以上任意一条性质均符合要求． 12. 在实数范围内，存在两个不同的的值，使代数式与的值相等，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式大于零即可求解． 【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的实数根， 整理得， ∴， 化简得， 解得． 13. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】两方程相加得出，由得到关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：， 将方程组中两个方程相加得， 两边都除以3，得：， ∵， ∴， 解得：. 14. 如图，是的弦，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，外部交于点，作直线交于，连接，点是劣弧上一点，连接，．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与的另一交点为，根据垂径定理可得 ，根据等弧所对的圆周角相等可得 ，根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，设与的另一交点为， 由作图步骤可证，垂直平分， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 15. 如图，正方形的顶点在反比例函数的图象上，点为的中点，且点在轴上，则过点的反比例函数的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作交延长线于，设，根据中点坐标公式可得的长，证明，得到，，即可表示出点的坐标，的值，设过点的反比例函数的关系式为，将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作交延长线于， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设， 点为的中点，点在轴上，即点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设过点的反比例函数的关系式为， ， 过点的反比例函数的关系式为． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，锐角三角函数，再计算乘法，最后进行加减计算； （2）先通分，分母因式分解，再计算乘法，约分，然后将已知的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如下统计图： 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 80 42 八年级 82 83 33.75 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：__________，__________． （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由． （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）83，80； （2）八年级成绩比较好，理由见解析 （3）估计这两个年级获奖的总人数是214人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解； （3）用七年级的人数和八年级的人数分别乘以80分以上人数所占比例，再相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：将八年级8名学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列：73，75，79，83，83，83，90，90，位于第4位和第5位的数据均为83， ， 七年级8名学生竞赛成绩出现次数最多的是80，出现了3次， ； 【小问2详解】 解：八年级成绩比较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数、众数高于七年级，代表八年级竞赛成绩的中间水平较高，多数学生的竞赛成绩较高，并且八年级的方差小于七年级方差，成绩较稳定，所以八年级成绩比较好；（言之有理皆可） 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计这两个年级获奖的总人数是214人． 18. 某图书馆准备同时购进甲、乙两种型号的机器人服务读者，已知甲种型号机器人的单价为15万元/套，乙种型号机器人的单价为12万元/套，两种机器人共购进10套． （1）设购进甲种型号机器人套，总费用为万元，求关于的一次函数表达式； （2）图书馆现准备用不超过138万元的资金实施采购，且甲种型号机器人的数量不少于乙种型号机器人的数量，求总费用的最小值及对应的购买方案． 【答案】（1） （2）总费用的最少值为万元，此时购进甲种型号机器人套，乙种型号机器人套 【解析】 【分析】（1）先表示乙种型号机器人购进数量，再根据总费用甲种型号机器人的费用乙种型号机器人的费用，即可表示出与的关系式； （2）根据不超过138万元的资金实施采购，且甲种型号机器人的数量不少于乙种型号机器人的数量，列出不等式组，求得的取值范围，再利用一次函数的性质，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：购进甲种型号机器人套，两种机器人共购进套， 乙种型号机器人购进套， 由题意得： ； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得， 为整数， 或， ，，随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为 万元， 即总费用的最小值为万元，此时购进甲种型号机器人套，乙种型号机器人套． 19. 如图1，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）如图2，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点．若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余以及三角形的外角的性质求解即可. （2）连接，求解，证明，求解，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 平分， ， . 【小问2详解】 解：连接 ， ， 由作图痕迹可知，直线是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， . 20. 如图，点，，是上的三点，，且．弦交于点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）如图，若的度数为，连接，求弦，和围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由等边对等角得，又，则，所以，所以，故，然后通过切线的判定方法即可求解； （）连接，，由的度数为，则，然后证明，所以，再通过即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 21. 如图，某校九年级数学兴趣小组开展测量电视塔高度的实践活动，该小组利用无人机、测角仪、电子测量器等测量工具进行测量． 【数据采集】如图，是电视塔最高点，表示电视塔的总高度（即点到地面的距离）．①当无人机在电视塔上方点时，测得电视塔顶部的俯角，底部的俯角；②当无人机沿水平方向由点飞行168米到达点时，此时测得点的俯角． （1）请根据以上数据求电视塔的高度；（结果精确到1米） （已知图中各点均在同一平面内；参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）小亮发现：“无人机直接显示了飞机到地面的距离（即与的距离），不需要计算此距离，因此可以在方案的基础上减少相关数据”，那么原方案采集的四个数据（，，，米）中，最多可以删掉的数据个数有__________个，分别是__________． 【答案】（1）电视塔的高度为300米 （2）2；168米和 【解析】 【分析】（1）延长交于点，则，利用锐角三角函数求解； （2）结合（1）的解题步骤，确定数据． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，则， 在中，，得， 设米，则米， 在中，， 则， 即， 解得， ∴米，米， 在中，， 则， 解得米， 则米， ∴电视塔的高度为300米； 【小问2详解】 解：结合（1）可知，利用数据，求得的长度即可， ∴原数据中最多可以删掉的数据个数有2个，为数据168米和． 22. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数是直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 （1）若二次函数是直线的开心函数，求的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求证：；②若当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）先求出的顶点，再代入即可求解； （2）①先求出顶点坐标为：，将代入得，则得到，再配方证明即可；②分两种情况讨论，根据二次根式的图象与性质求解． 【小问1详解】 解： ∴顶点坐标为， 将代入得：， 则； 【小问2详解】 解：①， ∴顶点坐标为：， 将代入得， 则， ； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， ， ， ， 当时，则抛物线在时，取得最小值， 即，解得（舍去）或， 当时，时，函数取得最小值， 即，解得， 综上或． 23. 【探索发现】 （1）如图，正方形的边长为，点、分别是边，上的动点，且，连接，，，与相交于点． 请判断线段与的关系，并说明理由； 求的最小值； 【类比延伸】 （2）如图，矩形的边，，点、分别是边，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）且，证明见解析；； （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，则，故有，即； 由得，所以，作点关于的对称点，连接，则，则，当三点共线时，的最小值，为的长，然后通过勾股定理即可求解； （）连接，由四边形是矩形，得，，所以，又，所以，则，故有，作点关于的对称点，连接，则，所以，当三点共线时，的最小值，为的长，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：且，理由： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由得， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， 当三点共线时， 的最小值，为的长，如图， 此时 最小，最小值为； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则，如上图， ∴， 当三点共线时，的最小值，为的长，如图， 此时最小，最小为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试复习自测（一） 数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列新能源汽车车标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3060万斤大米，这些大米可供9万人吃一年．数据3060万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小亮看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，现对三个小正方形组成的图形“”进行涂色，每个小正方形随机涂成红色或绿色，恰好是两个红色小正方形和一个绿色小正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 用，两种智能机器人搬运建筑材料，型机器人比型机器人每天多搬6吨，型机器人搬运60吨所用的时间与型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设型机器人每天搬运吨建筑材料，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，工人师傅要从一块圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形．已知的半径为，，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当时，的取值范围是 D. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 请写出抛物线的一条性质______． 12. 在实数范围内，存在两个不同的的值，使代数式与的值相等，则的取值范围是______． 13. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 14. 如图，是的弦，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，外部交于点，作直线交于，连接，点是劣弧上一点，连接，．若 ，则的度数是__________． 15. 如图，正方形的顶点在反比例函数的图象上，点为的中点，且点在轴上，则过点的反比例函数的关系式为__________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 17. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如下统计图： 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 80 42 八年级 82 83 33.75 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：__________，__________． （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由． （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 18. 某图书馆准备同时购进甲、乙两种型号的机器人服务读者，已知甲种型号机器人的单价为15万元/套，乙种型号机器人的单价为12万元/套，两种机器人共购进10套． （1）设购进甲种型号机器人套，总费用为万元，求关于的一次函数表达式； （2）图书馆现准备用不超过138万元的资金实施采购，且甲种型号机器人的数量不少于乙种型号机器人的数量，求总费用的最小值及对应的购买方案． 19. 如图1，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）如图2，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点．若，求的长． 20. 如图，点，，是上的三点，，且．弦交于点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）如图，若的度数为，连接，求弦，和围成的阴影部分的面积． 21. 如图，某校九年级数学兴趣小组开展测量电视塔高度的实践活动，该小组利用无人机、测角仪、电子测量器等测量工具进行测量． 【数据采集】如图，是电视塔最高点，表示电视塔的总高度（即点到地面的距离）．①当无人机在电视塔上方点时，测得电视塔顶部的俯角，底部的俯角；②当无人机沿水平方向由点飞行168米到达点时，此时测得点的俯角． （1）请根据以上数据求电视塔的高度；（结果精确到1米） （已知图中各点均在同一平面内；参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）小亮发现：“无人机直接显示了飞机到地面的距离（即与的距离），不需要计算此距离，因此可以在方案的基础上减少相关数据”，那么原方案采集的四个数据（，，，米）中，最多可以删掉的数据个数有__________个，分别是__________． 22. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数是直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 （1）若二次函数是直线的开心函数，求的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求证：；②若当时，的最小值为，求的值． 23. 【探索发现】 （1）如图，正方形的边长为，点、分别是边，上的动点，且，连接，，，与相交于点． 请判断线段与的关系，并说明理由； 求的最小值； 【类比延伸】 （2）如图，矩形的边，，点、分别是边，上的动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $