精品解析：山东省潍坊市寿光市田马镇第一中学2024-2025学年九年级下学期数学6月份综合检测题

九年级数学综合6月份试题一 一、单选题（1-6 题每题只有一个答案，每小题 4 分，共 24 分） 1. 如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（　　）（单位：米） A. B. C. D. 10 2. 平移函数的图象，得到新的图象的表达式为，则平移的方式是（ ） A. 向左平移1单位，向下平移5单位 B. 向右平移1单位，向上平移5单位 C. 向左平移1单位，向上平移5单位 D. 向右平移1单位，向下平移5单位 3. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（ 全选对得 5 分，选对但不全得 3分，选错得 0 分，共16 分） 7. 如图，直线分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于点A，B，且，则下列结论错误的是（　　） A. 与相似 B. C. D. 8. 如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．下列结论正确的是（　　） A. 平分； B. ； C. 若，扇形的面积为； D. 若，则． 9. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 D. 关于x的方程的所有实数根的和为4 10. 如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为．下列结论正确的是(　　) A. B. 方程有两个相等的实数根 C. D. 三、填空题（本题共 4小题，每小题 4分，满分16分） 11. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 12. 设，是方程的两个实数根，则_______． 13. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 14. 如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么_____秒钟后与直线相切． 四、解答题（本题共 8 小题，共 90 分） 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）若是方程的两个不相等的实数根，且 求m的值． 16. 某商场为掌握国庆节期间顾客购买商品时刻的分布情况，统计了10月1日7:00-23:00这一时间段内5000名顾客的购买时刻．顾客购买商品时刻的频数分布直方图和扇形统计图如图所示，将7:00-23:00这一时间段划分为四个小的时间段：A段为，B段为，C段为，D段为，其中t为顾客购买商品的时刻，扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1∶3∶4∶2． 请根据上述信息解答下列问题： （1）通过计算将频数直方图补充完整，并直接写出顾客购买商品时刻的中位数落在哪个时间段？ （2）求10月1日这天顾客购买商品时刻的平均值（同一时间段内顾客购买商品时刻的平均值用该时段的中点值代表例如，A段的中点值为：）； （3）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到A，B，C，D四个时间段中． ①请直接写出特等奖出现在A时间段的概率； ②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率． 17. 如图，将函数图象向上平移b个单位后，恰好与有唯一公共点B，并交于点A，交x轴于点C． （1）求b的值． （2）若，求k的值． 18. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）． 19. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作点E，交延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙； （3）求出石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 22. 如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值； （3）将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学综合6月份试题一 一、单选题（1-6 题每题只有一个答案，每小题 4 分，共 24 分） 1. 如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（　　）（单位：米） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，明确坡度的概念是解题的关键．利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度h的值即可． 【详解】解：如图，设，过点作于点， 由，得， ， 在中， ， ， 解得， 滑块上升的高度为：． 故选：A． 2. 平移函数的图象，得到新的图象的表达式为，则平移的方式是（ ） A. 向左平移1单位，向下平移5单位 B. 向右平移1单位，向上平移5单位 C. 向左平移1单位，向上平移5单位 D. 向右平移1单位，向下平移5单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：． 故选：B． 3. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识．根据菱形的性质得出和是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出，得出四边形的面积等于的面积，进而求出即可． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 、都是等边三角形， ， ， 的高为， 扇形的半径为2，圆心角为， ， ， 设、相交于，设、相交于点， 在和中， ， ， 四边形的面积等于的面积， 图中阴影部分的面积是：， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 为整数， 的最大值为4， 故选：A． 5. 如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点． 设，根据点D在反比例函数图象上表示出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答． 【详解】解：设， ∵点D在上， ， ， ， ， ∴点， ∵点B是的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数图象上， ， ， ， 解得，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以，直线的解析式为． 故答案为：C． 6. 如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换，由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为即可求出的值，掌握抛物线解析式的求法，以及抛物线与x轴交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：∵一段抛物线：， ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得， ∴， ∴抛物线：，且抛物线一个周期长为， ∵， ∴， 故选：． 二、多项选择题（ 全选对得 5 分，选对但不全得 3分，选错得 0 分，共16 分） 7. 如图，直线分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于点A，B，且，则下列结论错误的是（　　） A. 与相似 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定，平行坐标轴上的两点间的距离，如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E，利用等腰直角三角形的性质，反比例函数性质等计算即可，熟练掌握性质和判定是解题的关键 【详解】如图，过B作轴于点F，过A作轴于点E. 在一次函数中，令， 则； 令，则， ， ， ，和都是等腰直角三角形， . ， . 又， ，同理可得， ， 故选项A正确； 和都是等腰直角三角形， ， ，， 故选项B正确； ， ，即， 故选项C正确； 设，则，， ，即， 故选项D错误. 故选D. 8. 如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．下列结论正确的是（　　） A. 平分； B. ； C. 若，扇形的面积为； D. 若，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算、等边三角形的性质“等边三角形三边相等，三个角都是”和判定，菱形的性质和判定，解题的关键是掌握切线的性质．连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，从而得到，则可对A进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对B进行判断；当时，利用圆周角定理得到，然后扇形的面积公式可对C进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对D进行判断． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，所以A正确； 故B正确； 当时， ∴扇形的面积，所以C错误； 当时， ∴， ∵平分， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，所以D正确． 故选：ABD． 9. 我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当直线与该图象恰有三个公共点时，则 D. 关于x的方程的所有实数根的和为4 【答案】D 【解析】 【分析】由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A、B错误； 如图，当直线与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线， 故C错误； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为， 故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 10. 如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为．下列结论正确的是(　　) A. B. 方程有两个相等的实数根 C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，二次函数与方程以及不等式的关系．由抛物线的开口方向以及对称轴的位置可判断①，由抛物线顶点坐标为可判断④，由当时，及抛物线的对称轴可得当时，，从而判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， ∵，A正确， ∵方程可以看作是函数与的交点， 又抛物线的顶点坐标为， ∴函数与有一个交点， 即方程有两个相等的实数根，B正确， 由图象可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，C正确， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， ∴，D正确， 故选：ABCD． 三、填空题（本题共 4小题，每小题 4分，满分16分） 11. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 12. 设，是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解，根与系数的关系可得到，，，代入中，得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， 故答案为：． 13. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，m，m，水嘴高m，则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离是______m． 【答案】5 【解析】 【分析】以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键． 14. 如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么_____秒钟后与直线相切． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接，则，，由得到，求得向右移动了，即可求出时间．当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接，同理即可求解． 【详解】解：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间为； 当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接， ∴， ∵ ∴， ∴， 则向右移动了，所用时间． 故答案为：3或7． 四、解答题（本题共 8 小题，共 90 分） 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）若是方程的两个不相等的实数根，且 求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系求出答案即可； （2）根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将转化为关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， 化简得， 解得； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， 即， 化简得， 解得， ， ． 16. 某商场为掌握国庆节期间顾客购买商品时刻的分布情况，统计了10月1日7:00-23:00这一时间段内5000名顾客的购买时刻．顾客购买商品时刻的频数分布直方图和扇形统计图如图所示，将7:00-23:00这一时间段划分为四个小的时间段：A段为，B段为，C段为，D段为，其中t为顾客购买商品的时刻，扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1∶3∶4∶2． 请根据上述信息解答下列问题： （1）通过计算将频数直方图补充完整，并直接写出顾客购买商品时刻的中位数落在哪个时间段？ （2）求10月1日这天顾客购买商品时刻的平均值（同一时间段内顾客购买商品时刻的平均值用该时段的中点值代表例如，A段的中点值为：）； （3）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到A，B，C，D四个时间段中． ①请直接写出特等奖出现在A时间段的概率； ②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率． 【答案】（1） 补图： （2）15.8 （3）①； ② 【解析】 【分析】（1）根据圆心角的比算出各部分的数量，补全频数分布直方图即可；按照时间段从早到晚进行排序，根据各部分的人数推断出排在中间第2500和2501名所在的时间段即可得出中位数所处的时间段； （2）按照加权平均数的计算公式计算即可； （3）①直接根据概率公式进行计算即可； ②先画树状图，然后再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： B段：，C段：． 中位数落在C段：． 【小问2详解】 ， 所以，该天顾客购买商品时刻的平均值为15.8． 【小问3详解】 ①特等奖出现在A时间段的概率为； ② （或列表法） ∵共有16种等可能的结果，两个一等奖出现在不同时间段的情况有12种， ∴两个一等奖出现在不同时间段的概率是． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图的结合，列表或画树状图求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． 17. 如图，将函数图象向上平移b个单位后，恰好与有唯一公共点B，并交于点A，交x轴于点C． （1）求b的值． （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据有唯一公共点B，得出根的判别式为0，进而求出b的值； （2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、D，利用相似三角形的判定和性质求得点A的坐标，根据待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：直线向上平移b个单位后，可得直线， 由题意可得，， 整理得，， ∵， ∴，即(负值已舍)； 【小问2详解】 解：由（1）得直线的解析式为， ∵， 解得， 点B的坐标为，点C的坐标为， 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、D， 则，，，，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为， ∴． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求解函数的表达式，巧用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 18. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解； （2）如图所示，延长交于点，可得是等边三角形，再计算出的长度，在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∴灯管支架底部距地面高度的长为． 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在中，， ， ∴灯管支架的长度约为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰俯角求直角三角形，特殊三角函数值求边长是解题的关键． 19. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围； （3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 代入（4，10000），（5，9500）可得：， 解得：， 即y与x的函数关系式为； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w， 根据题意可得：， 解得：， ∵， ∴当x=12时，w有最大值，w=54000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元． （3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w， 当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时， 由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大， 可得：，解得：m≥3， ∵ ∴ 故m的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作点E，交延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得出，则OD∥AC，由可得出结论； （2）先证明，设，则，，，，根据，得出，进而，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线分线段成比例，角的正切，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． （1）求抛物线的解析式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙； （3）求出石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 【答案】（1） （2）石块不能飞越防御墙，理由： 把代入，得， ，． ， ， 石块不能飞越防御墙． （3）石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入中表达式，求得的值，与作比较即可； （3）用待定系数法求得的解析式，设抛物线上一点，过点作轴，交于点，则 ，用含的式子表示出关于的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 抛物线的顶点坐标是，， 设石块运行的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线的解析式为． ，， 把代入，得， ． 故直线的解析式为． 设直线上方的抛物线上的一点的坐标为． 过点作轴，交于点，则． ， 当时，取最大值，最大值为． 石块与斜坡在竖直方向上的最大距离是米． 22. 如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值； （3）将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为，点P的坐标为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将，的坐标代入抛物线的解析式，得到二元一次方程组并求解，得到b，c的值，即得答案； （2）根据待定系数法，设直线的表达式为，将，的坐标代入，得到方程组，并求解得直线的表达式为，然后证明，根据相似三角形的周长比等于相似比，求得的周长，再设，，由轴，可求得，进一步求得，根据二次函数的性质可求得的最大值，从而求得的周长最大值及点P的坐标； （3）先求得顶点为P的抛物线的解析式为，然后设，，以点A，B，M，N为顶点的平行四边形有三种情况：平行四边形，平行四边形和平行四边形．根据平行四边形的对角线互相平分，分别列方程求解，即得答案． 【小问1详解】 解：将，的坐标代入抛物线的解析式， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入得，， 解得， 所以直线的表达式为， 令，得， ∴； 在中，， 的周长为， 轴， ， ，， ， ， 则的周长， 设，， 轴， ， 解得， ， ，， 当时，有最大值为， 的周长最大值为， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：顶点为P的抛物线的解析式为， 设，， 当四边形是平行四边形时，如图1， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，如图2， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，如图3， 根据平行四边形的对角线互相平分，得， 解得， ， 点M的坐标为； 符合条件的点M的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的图象与性质，抛物线上动点问题的最值，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $