7.2.2复数的乘、除运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算 温州科技高级中学 张明 1、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 则x=_______ y=___ 4i 同学们，此题可能难倒三分之二的同学，所以我们今天再分析讲解练习一次。高考题此题档次是起码的。我们看看与理科重点班的区别，我们是文科普通班。 此题说明高考容易题通过训练我们都会做。 知识回顾 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 3 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) Z(a+c,b+d) z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合向量加法的平行四边形法则. 1.复数加法运算的几何意义? 4 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 复数z2－z1 向量Z1Z2 符合向量减法的三角形法则. 2.复数减法运算的几何意义? 复数的加法几何意义同构于向量加法几何意义。复数减法的几何意义同构于向量减法的几何意义。注意“同构”一词。 5 1.复数的乘法法则： 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把 换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 6 2、复数乘法满足交换律、结合律的证明 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. （同学们课后证明） (1)因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i, z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i, 所以 z1 z2=z2 z1 容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3 因为复数知识繁难性，所以高考考证明复数的乘法满足交换率、结合律很难考到。 复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。——数学家华罗庚 这里的退就是退到复数乘法的定义中去。 7 例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. 8 例2：计算 思考：在复数集C内，你能将 分解因式吗？ 9 4.共轭复数 记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作 = a-bi 定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数 口答：说出下列复数的共轭复数 ⑴z=2+3i ⑶z= 3 ⑵z= -6i ( =2-3i ) ( =6i ) ( =3 ) 注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为 共轭虚数 ⑵实数的共轭复数是它本身 反思：这些概念不用死记硬背，只需顾名思义即可。 5.思考： 解：⑴作图 得出结论：在复平面内共轭复数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称。 若z1,z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎的位置关系？ ⑵z1·z2是一个怎样的数？ ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. y x (a,b) (a,-b) z1=a+bi o y x (a,o) z1=a o x y z1=bi (0,b) (0,-b) o 3.复数的除法法则 先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即 分母实数化 13 例3.计算 解: 先写成分式形式 化简成代数形式就得结果. 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 14 （2）已知 求 -4 8+6i 注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等. 15 ①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.） (6)一些常用的计算结果 同学们，看到这些结论应当感受到数学上的奇异美，如果有感觉到那数学会学下去，如果没有这种感觉那数学很难学下去。同学们的反应是没有这种感觉。 ② 16 例6在复数范围内解下列方程： （1）x²+2=0； （2）ax²+bx十c=0，其中a，b，c∈R，且.a0，△=b²一4ac<0 分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根，对于（2），当△=b²一4ac<0时,一元二次方程a十bx十c=0无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”一配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根. 解：（1）因为‘==一2，所以方程x²+2=0的根为x=土i （2）将方程a十bx+c=0的二次项系数化为1，得 x+=0 配方，得 即 由0，知= 类似（1)，可得 所以原方程的根为x= 反思：不管根号内都是所以当，要添个负号，即 答：复数的一般形式是经过加、减、乘、除，结果还是。所以实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集C。 在复数范围内，实系数一元二次方程a十bx十c=0（a0）的求根公式为： （1）当△≥0时，x=; （2）当△<0时，x= 思考 根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集C吗？ 解:原式= = = = 练习.计算 (1) (2) -1 $