第1章 相交线与平行线 猪蹄模型专项练习 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

培优专题 相交线与平行线猪蹄模型—浙教版数学七（下）核心素养评估作业 一、选择题 1．小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的(　　) A．南偏东60°方向 B．北偏西 60°方向 C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向 2．如图，将一块含60°角的三角板放置在两条平行线上.若∠1=40°，则∠2的度数为(　　) A．60° B．40° C．30° D．20° 3．（2025七下·杭州月考）如图，已知AB//CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB=α，∠PHD=β，（α>β，且a，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论： ①∠P=a-β：②2∠E+α=180°+β：③若∠CHP-∠AGP=∠E，则∠E=60°； 其中正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．刚上七年级的小红在“抖空竹”时有一个发现：可以把它抽象成自己正在学习的几何问题。如图，已知AB∥CD，∠A =20°，∠E=60°，则∠C 的度数为 (　　) A．20° B．40° C．60° D．70° 5．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图， 的直角顶点 在直线 上． 若 ， 则 等于（　　） A． B． C． D． 7．如图， 为 之间的一点， 已知 ， 则 的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为(　　) A． B． C． D． 9．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 10．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（　　） A．65° B．55° C．50° D．45° 二、填空题 11．（2024七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为　 　． 12．如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为点E，现进行如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为点E1； 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为点E2； 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为点E3； …… 第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为点En. 若则∠BEC等于　 　°. 13．（2024七下·西湖期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°， ∠DAC=22°，则∠EBC的度数为　 　. 14．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝　 　． 15．（2024七下·宁波期中） 如图，已知，和分别平分和，若，则　 　． 16． 如图， 已知 ， 记 ， 则 　 　 三、解答题 17．（2025七下·上城期末） 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． （1）求证：． （2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． （3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 18． 如图，已知 AB∥CD，点 P 在 AB，CD 之间，连结AP，CP. （1）如图①，A平分∠PAB，C 平分∠PCD，试探究∠APC与∠AC的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在(1)的条件下，A平分∠AB，C平分∠CD，则∠APC 与∠AC的数量关系为　 　； （3）按照以上规律进行下去，∠APC 与 的数量关系为　 　. 19．（2024七下·杭州期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点. 请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 20．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． （1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题： （2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． （3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 作CD∥AB， 则 ∴CD∥EF， ∴科技馆位于小亮家的南偏东方向. 故答案为：A. 【分析】作 ，根据平行线的性质得 再根据 可得 根据方向角的定义即可得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：如图：延长FG交CD于点E， 是 的一个外角， ∵AB∥CD， 故答案为： D. 【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答. 3．【答案】D 【解析】【解答】解： ①如图，作PM平行CD，由平行线的传递性知，AB∥CD∥PM， ∴∠BGP=∠MPG=α，∠PHD=∠MPH=β， ∴∠HPG=∠MPG-∠MPH=α-β； ②过F作FN∥CD，同理可得AB∥CD∥FN， ∵HF平分∠PHD， ∴∠NFE=0.5β， ∵GF，GE分别平分∠PGB和∠AGP， ∴∠AGE=（180°-∠PGB）÷2=90°-0.5α， 由猪蹄模型的结论可知，∠E=∠AGE+∠EFN， ∴∠E=90°-0.5α+0.5β， 2∠E=180°-α+β， ∴2∠E+α=180°+β； ③由②可知2∠E+α=180°+β，化简得α-β=180°-2∠E， ∠CHP=180°-β，∠AGP=180°-α， 若 ∠CHP-∠AGP=∠E ， 即180°-β-（180°-α）=∠E ∴∠E =α-β， 又∵α-β=180°-2∠E， ∴180°-2∠E=∠E， ∴∠E=60°； 故①②③均正确 故答案为：D. 【分析】①作PM平行CD，通过平行线的传递性和两直线平行内错角相等的性质，进而表示∠E；②过F作FN∥CD，同理，分别表示出∠AGE+和∠EFN，进而根据猪蹄模型，直接代入得关于∠E的表达式；根据平角和角平分线，分别表示∠CHP和∠AGP，再结合②的结论，即可求得∠E大小. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，如图， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：B． 【分析】过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，进而得到：进而求出∠FEC的度数，最后根据平行线的性质即可求解． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥OE∥CD 故答案为：A. 【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到然后根据角的和差解题即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：过B作BD∥a， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD， ∵∠ACB=90°，∠A=43°， ∴∠ABC=90°-∠A=47°， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22° ∴∠1=22°． 故答案为：B. 【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°， ∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°． 故答案为：B. 【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：过点作， ． 故答案为：C． 【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图； ∵AB∥CD∥EF ∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误； ∵AB∥CD∥EF ∴∠E=∠A+∠C，②正确； ∵AB∥CD∥EF ∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确； ∵AB∥CD ∴∠A=∠C+∠P，④正确； ∴②③④正确，正确的个数为3个 故答案为：C. 【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作， ， ，， ， ， 平分， ， ， 分别平分， ， ， ， ， . 故答案为：A. 【分析】利用平行线的性质求得的度数，再通过三角形外角定理计算出的度数，接着有角平分线的定义得到的度数，进而求得的度数，作，易得，利用平行线的性质求得的度数. 11．【答案】54° 【解析】【解答】解： ∵AE平分∠DAF， ∴设∠EAF=∠DAE=x， 又∵AD⊥PQ，，， ∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x， ∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=+(45°-x)=， 又∵AB∥PQ， ∴∠MBC=∠BCQ=， 又∵BC平分∠ABM， ∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°， ∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x， 如图，过点A作AG∥MN， ∵MN∥PQ， ∴AG∥PQ， ∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x， 又∵AB⊥AF， ∴∠BAF=∠ABN+∠AFD=(90°-3x)+(90°-2x)=90°，解得x=18°， ∴∠AFD=90°-2x=90°-36°=54°， 故填：54°. 【分析】由已知条件的角度关系，根据角度较小且含多个角度直接关联，可直接设∠EAF=∠DAE=x，利用已知条件信息及平行线的性质逐一表示各个角度，为求出目标角的度数，在表示的基础上进一步利用“猪蹄模型”得出等量关系解之即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图①，过作， ， ， ，， ， ； 如图②， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． ∵ ∴等于． 故答案为： 【分析】如图①，过作，根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，，等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，，，以此类推即可得到，从而即可求解。 13．【答案】23° 【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP， ∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥PC， ∵AD∥PC， ∴∠ACP=∠DAC， 同理可得：∠BCP=∠EBC， ∵∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°， ∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°. 【分析】过C作直线AD的平行线CP，根据平行公理可得AD∥BE∥PC，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠BCP=∠EBC，∠ACP=∠DAC，然后根据角的和差解题. 14．【答案】32° 【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD， ∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH=84°，∠HFD=20°， ∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG， ∴，， ∴， ∵∠KHF=∠HFD=20°， ∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°， ∵MP∥AB，AB∥KH， ∴MP∥KH， ∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°. 故答案为：32°. 【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°. 15．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示： ∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD. ∵和分别平分和， ∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF. ∵AB∥CD， ∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF. ∵ ∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF) ∴∠CDE=∠MDE=34°. 故答案为： 【分析】根据三角形外角性质可得∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.根据平行线的性质可得∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.根据角平分线的性质得∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.最后代入 ，并进行等量代换，即可得到关于∠MDE的方程，求解即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图： ∵AB∥CD，EH∥AB ∴AB∥EH∥CD ∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF ∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD 同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ； ∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF ∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF =（∠BAF+∠FCD）=∠AFC ∵∠AEC=m∠AFC ∴m= 故答案为：. 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值. 17．【答案】（1）证明：如图， 过点F作MN∥AB， ∴∠EFM=∠BEF ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠MFH=∠FHD， ∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF； （2）解：设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， ∴∠MEF=2∠BEF =2α， 由 (1) 得： ∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， ∵ME∥HF， ∴∠MEF+∠EFH =180°， ∴2α+α+42=180， 解得： α= 46°， ∴∠MEF = 92°； （3）解：设∠PHD=β， 而∠MHD=n∠PHD ∴∠MHD = nβ， 如图， 记AB，MH的交点为Q， 由 (1) 得： ， . 【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； (2) 设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， 可得∠MEF =2∠BEF=2α，(1) 得∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， 由∠MEF+∠EFH=180°， 再建立方程求解即可； (3) 设∠PHD =β， 而∠MHD=n∠PHD，∠ 可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示 ∠MEQ， 结合平行线的性质可得∠MQE=∠MHD=nβ， 求解∠M =180°-∠MQE-∠ME 证明∠PEF =∠M ，进一步求解即可. 18．【答案】（1）∠APC=2∠AP1C. 理由：过点 P 作 PE∥AB(点 E 在点P 左边). ∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD. ∴∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD. ∴∠APC=∠PAB+∠PCD. 同理，∠AP1C=∠P1AB+∠P1CD. ∵AP1 平分∠PAB，CP1 平分∠PCD， . ∴∠PAB+∠PCD=2(∠P1AB+∠P1CD).∴∠APC=2∠AP1C. （2）∠APC=4∠AP2C （3）∠APC= 【解析】【解答】解：(2)在 (1) 的条件下， 平分 平分 CD， 故答案为： (3)按照以上规律进行下去， 与 的数 量关系为： 故答案为： 【分析】(1)作 (E在点P左侧)，利用平行线性质可得. ，再利用角平分线定义得到 继而可得结论； (2)按照(1)的推理方法可得结论即可； (3)按照(1)的推理方法可得规律 即可. 19．【答案】解：（1）小刚的证明过程如下： 如图2， 过点作， ∵， ∴PQ∥CD， ∴∠CPQ=∠PCD， ∵， ∴∠BAP=∠APQ， ∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ ∴∠ACP=∠BAP+∠PCD 小红的证明过程如下： 如图3， 延长交于点， ∵， ∴∠BAP=∠AMC， ∵∠APC=∠AMC+∠PCD， ∴∠APC=∠BAP+∠PCD； （2）证明： ∵∠AGE=∠GEP+∠APE， 又∵， ∴∠APE=∠PAC， ∴AC∥EF； 【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示， 平分， ∴，， ∵AC∥EF， ∴∠PAC=∠GPF=50°， ∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG， ∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG， ∴∠PEG=20°， ∴∠PGE=110°， 设∠PFC=2n， 平分， ， ， ，∠AEG=∠EGF， ∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°， ∴∠EGF=2n-20°， ∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n， ∵∠AHF=∠AEG， ∴∠AHF=2n-20°， ∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°， ∴50°+n=2n+5°， ∴n=45°， ∴∠PFC=90°. 【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论； 深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论； 拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案. 20．【答案】（1）证明：如图，过作直线， 而， ， ，， ， 即； 如图，过作直线， 而， ， ，， ； （2）解：如图，延长，交于点，过作， 而， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， 由的结论可得：，， 和分别平分和， ，， ， ， ， . 【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为； 由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和； （2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求； （3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可. 学科网（北京）股份有限公司 $