复数的几何意义课件-2027届高三数学一轮复习

复数及其几何意义 课 前 预 习 知识点一 复平面的定义与复数的几何意义 1.复平面 如图所示,点的横坐标为,纵坐标为 ,复数 点 .建立了直角坐标系来表 示复数的平面也称为________.在复平面内, 轴 复平面 实轴 虚轴 上的点对应的都是实数,因此轴称为______； 轴上的点除了原点外, 对应的都是纯虚数,为了方便起见，称 轴为______. 课 前 预 习 2 2.复数的几何意义 （1）复数 复平 面内的点_______； （2）复数 平面 向量______(以原点为始点、 为 终点的向量). 课 前 预 习 3 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对 应.( ) √ （2）如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终 点也一定在第一象限.( ) × [解析] 如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终 点不一定在第一象限. 课 前 预 习 4 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （3）相等的向量对应着相等的复数.( ) √ [解析] 相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等． 2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是( ) A. B. C. D. [解析] 复平面内的点对应的复数是 ,是纯虚数. √ 课 前 预 习 5 知识点二 共轭复数与复数的模 1.共轭复数 （1）共轭复数的概念：一般地,如果两个复数的实部______,而虚部 互为________,则称这两个复数互为__________. （2）共轭复数的表示：复数的共轭复数用 表示,因此，当 时,有 _______. 相等 相反数 共轭复数 （3）互为共轭复数的几何意义：在复平面内,表示两个共轭复数的点 关于__________；反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴 对称,则这两个复数互为__________. 实轴对称 共轭复数 课 前 预 习 6 2.复数的模 一般地，向量的______称为复数 的模 （或绝对值）,复数的模用表示，因此 _________.一般地,两 个共轭复数的模相等,即 . 长度 课 前 预 习 7 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）复数的模总是非负数.( ) √ [解析] 设复数， ． （2）若，则 .( ) × [解析] 设，则,，不满足 . （3）已知复数，则的共轭复数为 .( ) √ [解析] 的共轭复数为 . 课 前 预 习 8 2.若复数，则 有怎样的几何含义？ 解：表示复数在复平面内对应的点 到原点的距离，是实数. 3.复数中两虚数不能比较大小，它们的模呢？ 解：两虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小，因为模是实 数且大于等于零. 课 前 预 习 9 探究点一 复数与复平面内的点的关系 ［探索］ 1.在复平面内,如何确定复数 对应的点 所在的位置? 解：根据复数的实部和虚部确定复数 在复平面 内对应的点 ，进而可确定其所在的位置. 2.在复平面内,若复数 对应的点在第一象限,则实 数, 应满足什么条件?我们可以得到什么启示? 解：且 .在复平面内复数所对应的点所在的位置,决定了复 数实部、虚部的取值特征. 课 中 探 究 10 例1 复数 在复平面内对应的 点为 . （1）当点位于第四象限时，求实数 的取值范围； 解：由题得. 当点 位于第四象限时，解得 ， 故实数的取值范围为 . 课 中 探 究 11 例1 复数 在复平面内对应的 点为 . （2）当点位于左半平面内（不包括虚轴）时，求实数 的取值范围； 解：当点位于左半平面内（不包括虚轴）时, ,解 得 ，故实数的取值范围为 . 课 中 探 究 12 例1 复数 在复平面内对应的 点为 . （3）当点位于直线上时，求实数 的值. 解：当点位于直线上时, ，解 得 . 课 中 探 究 13 变式 （多选题）[2024·安徽铜陵高一期末]已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 下列结论正确的是( ) A.若，则 为纯虚数 B.若，则 为实数 C.若，则点在直线 上 D.若，则点 在第三象限 √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 对于A，当时，，则 为实数，故A错误； 对于B，当时，，则为实数，故B正确； 对于C，当 时，，则，则点在 直线 上，故C正确； 对于D，由，得，由 ， 得，则不存在点在第三象限，故D错误．故选 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标， 在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的 取值特征. （2）由复平面内满足某种条件的点的集合求参数的取值（或取值范 围）时,通常是根据对应关系,列出方程（组）或不等式（组）求解. 课 中 探 究 16 探究点二 复数与复平面内向量的关系 例2 在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复 数分别是,，，求点 对应的复数． 解：记为坐标原点,由题意得， ， ． 设，则， ， 由题意知， ， 则解得 故点对应的复数为 . 课 中 探 究 17 变式（1）在复平面内，为坐标原点，向量， 对应的复数分 别为，，那么向量 对应的复数是( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得，， ，则 ，所以向量 对应的复 数是 .故选B. √ 课 中 探 究 18 （2）在复平面内，为坐标原点，向量对应的复数是 ，将 绕点按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为( ) A. B. C. D. [解析] 如图，由题知，与 轴的正方 向的夹角为，绕点按逆时针方向旋转后点 到达 轴上的点处， 因为，所以点 的坐标为， 所以对应的复数为 .故选A. √ 课 中 探 究 19 ［素养小结］ （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点 时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点 确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内 的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 课 中 探 究 20 拓展 在复平面内，为坐标原点，向量对应的复数是 ，向 量对应的复数是，若，则 ____. [解析] 因为向量对应的复数是，向量 对应的复数是 ，所以， ， 因为，所以，解得 . 课 中 探 究 21 探究点三 共轭复数 例3（1）在复平面内，复数，则 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为，所以，所以 在复平面内对应的 点为 ，位于第三象限.故选C. √ 课 中 探 究 22 （2）[2024·陕西汉中高一期末]已知复数 ，，且，则 ( ) A.或3 B.或 C.3 D. [解析] 因为，所以，所以 ，解得 或 ．故选B. √ 课 中 探 究 23 变式 （多选题）已知复数（,, 为虚数单位）,且 ,则下列说法正确的是( ) A.不可能为纯虚数 B.若,则 是实数 C.若,则是实数 D.可以等于 [解析] 当,时,为纯虚数,故A错误; 若 ,则,所以,所以 是实数,故B正确; 易知C正确; 由，得,又,所以 ,因为 ,所以该方程无实数解,所以 不可能 等于,故D错误.故选 . √ √ 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别 地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 课 中 探 究 25 探究点四 复数的模 例4 已知复数， . （1）求及 ； 解：由题意可得 ， . 课 中 探 究 26 例4 已知复数， . （2）设，则满足条件的复数对应的点 组成的 集合是什么图形？ 解：由及（1）知 . 因为的几何意义就是复数在复平面内对应的点到原点 的距离， 所以表示以 为圆心，1为半径的圆及其外部所有点组成的集 合，表示以 为圆心，2为半径的圆及其内部所有点组成的集合， 课 中 探 究 27 故符合题设条件的点的集合是以 为圆心，分别以1和2为半径的两圆 之间的圆环（包含边界），如图中阴影部分所示. 课 中 探 究 28 变式（1）已知复数满足关系式，则复数 在复 平面内对应的点的轨迹是( ) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 [解析] 由，解得或. 当 时，复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心， 半径为 的圆； 当时，复数 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心， 半径为3的圆.故选C. √ 课 中 探 究 29 （2）已知为实数，复数,, ，若 复数在复平面内对应的点位于第一象限，则 的值为___. 1 [解析] 由复数,且 ，可得 ，即，解得 ， 又在复平面内对应的点位于第一象限，所以，故 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 解决复数模的几何意义的问题，应根据复数模的定义<m></m> （<m></m>为坐标原点），依据<m></m>满足的条件，判断点<m></m>的集合表示的图形， 把复数模的问题转化为几何问题来解决. 课 中 探 究 31 1.若复数 在复平面内对应的点 在虚轴上，则( ) A.或 B.且 C. D.或 [解析] 复数在复平面内对应的点在虚轴上， 复数 是纯虚数或 0，，解得或 .故选D. √ 课 堂 评 价 32 2.若，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为，所以 ， 所以 ．故选D. √ 课 堂 评 价 33 3.[2024·广东江门一中高一月考]已知，，若与 互 为共轭复数，则( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 因为与互为共轭复数，所以， ， 故选B. √ 课 堂 评 价 34 4.（多选题）下面是关于复数（ 为虚数单位）的四个命题， 其中是真命题的是( ) A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C.的虚部为 D.的共轭复数为 [解析] 复数，，故A是真命题； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故B是真命题； 的虚部为1，故C是假命题； 的共轭复数为，故D是假命题.故选 . √ √ 课 堂 评 价 35 5.复数在复平面内对应的向量与共线，复数 在复平面 内对应的点在第三象限，且，则 ________. [解析] 设复数，，，因为复数 在复平面内对应的 向量与共线，所以①， 又 ，所以， 由①②可得，或， ， 因为复数在复平面内对应的点在第三象限，所以 ，所以 ． 课 堂 评 价 36 1.相等的向量表示同一复数. 2.任何一个复数都可以由一个有序实数对 唯 一确定,特殊地,实轴上的点都表示实数,除原点外虚轴上的点都表示纯 虚数,即任意一个实数与轴上的点 一一对应,任意一个纯虚数 与轴上的点 一一对应.复数与复平面内点的对应就是 复数的实部和虚部与点的横坐标和纵坐标的对应.判断复数复平面内 对应的点所在的象限时，关键是判断复数的实部和虚部的符号. 新 知 拓 延 37 3.复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向 量的模三者是等价的. 4.复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足 条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表 示圆的内部， 表示圆的外部. 5.求复数在复平面内的对应点的轨迹时，常用的方法有两种：①根据 复数的模的几何意义直接判断图形的形状；②设复数 ，则其在复平面内对应点的坐标为 ，根据 已知条件找出， 满足的方程，最后由方程判断图形的形状，这种 方法被称为“虚化实”法.解题时，注意题中参数的限定条件. 新 知 拓 延 38 1.复数的几何意义 （1）复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 而不是 . （2）复数对应的向量是以原点 为起点的， 否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与 相等的向量有无数个. 备 课 素 材 39 例1（1）已知复数与复数 在复平面内对应的点分别为 ，，若为坐标原点，则 _ __. [解析] 依题意，，， ，则 ， ， ， 在 中，由余弦定理得， 又 ，所以 . 备 课 素 材 40 （2）已知复数与在复平面内对应的向量分别为与 ，已 知，，且，则复数 ___________ __________. 或 [解析] 由题知，设 ， 由，得 ， 由，得 ， 由①②可得或则 或 ， 所以或 . 备 课 素 材 41 2.复数的模及与模相关的轨迹（或图形）问题 复数满足，其中 对应的复数有无数个．若要求出，需要有满足， 的另外一个关系 式，有了这两个关系式，就可求解关于， 的方程组，因此求解类 似问题的关键是列方程组． 备 课 素 材 42 例2 已知复数， . （1）求及 . 解： ， . 备 课 素 材 43 例2 已知复数， . （2）设且在复平面内对应的点为，则满足 的 点 组成的集合是什么图形？ 解：由，得 ， 满足的点组成的集合是圆心在原点，半径为 的圆及 其内部（包括边界），满足的点 组成的集合是圆心在原点， 半径为 的圆及其外部（包括边界）， 满足的点 组成的集合是一个圆环（包括边界）． 备 课 素 材 44 练习册 45 1.当时，复数 在复平面内对应的点 位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ，，，故复数 在复 平面内对应的点位于第四象限.故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 2.在复平面内，复数 对应的点在虚轴上， 则实数 的值为( ) A.0或2 B.0 C.2 D.1或2 [解析] 在复平面内，复数 对应的点 在虚轴上，，解得或 .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 3.[2024·陕西咸阳实验中学高一月考]在复平面内，平行于虚轴的非 零向量所对应的复数一定是( ) A.正数 B.负数 C.实部不为零的虚数 D.纯虚数 [解析] 在复平面内，平行于虚轴的非零向量所对应的复数的实部为0， 虚部不为0，故为纯虚数.故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 4.已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点 组成的集合是( ) A.1个圆 B.1条线段 C.2个点 D.2个圆 [解析] 由题意可知，即或 （舍去），所以复数 在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆 心，3为半径的圆.故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 5.已知复数的实部和虚部均为自然数，在复平面内对应的点为 ， 那么满足的点 的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 设，,，由，得 . 当时，或；当时，；当时， 或或；当时， . 综上所述，共有7个点满足条件.故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 6.[2025·广东湛江高一期中]已知复数,满足，且 在复平面内 对应的点为，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由条件可知，，即 ， 所以 .故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 7.（多选题）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分 别是， ，0，则第四个顶点对应的复数可以是( ) A. B. C. D. [解析] ①假设在复平面内平行四边形的顶点，， 三点对 应的三个复数分别为，，0，点 为坐标原点， ，，则点 对 应的复数可以是； ②假设在复平面内平行四边形 的顶点，，三点对应的三个 复数分别为，0，，点 为坐标原点， √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 ， 则点 对应的复数可以是； ③假设在复平面内平行四边形的顶点，， 三点对应的三个 复数分别为，，0，点 为坐标原点， ，，则点 对 应的复数可以是.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.“”是“与 互为共轭复数”的____________条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”中的一个） 必要不充分 [解析] 设,,此时，但与 不互为共 轭复数，故充分性不成立； 若与互为共轭复数，则 ，故必要性成立. 所以“”是“与 互为共轭复数”的必要不充分条件. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 9.已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限,且 ,则复数 _________. [解析] 因为在复平面内对应的点位于第二象限,所以. 由 知,,可得,所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 10.已知复数 ， . （1）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 的取值 范围； 解：在复平面内对应的点为 ， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以 解 得，故实数的取值范围为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 10.已知复数 ， . （2）若，求 的最小值. 解： ， 则所以 ， 所以 ， 故当时， 取得最小值 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 11.[2025·四川德阳高一期末]已知复数 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]由可得解得 ,则充分性成立； 当时， ，则必要性不成立. 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 12.（多选题）下列说法中正确的是( ) A.复数的模是非负实数 B.“复数等于零”的充要条件是“复数的模等于零” C.“两个复数的模相等”是“这两个复数相等”的必要不充分条件 D.“复数”的充要条件是“ ” √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 任意复数的模 恒成立, 故A中说法正确; 由复数,得则 ,充分性成立， 反之，若则所以 ,所以,必要性成立， 故B中说法正确; 设 , , 若,则有, ,所以,必要性成立， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 反之,由推不出 ,如当,时, ,但 ,充分性不成立，故C中说法正确; 两个复数不一定能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小, 故D中说法错误.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 13.在复平面内，复数对应的向量为（为坐标原点）， 与实 轴正方向的夹角为 ，且，则复数 _________________ ______. 或 [解析] 如图，设，则点 的坐标为. 由题可知 或 所以点的坐标为或 ，所以 或 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 14.设复数在复平面内对应的点为 ,请在复 平面内画出分别满足下列条件的点 所在的区域（用阴影部分表示）. （1）, ; 解：由得或,又,所以点 所在的区域如图① 中阴影部分所示. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 14.设复数在复平面内对应的点为 ,请在复 平面内画出分别满足下列条件的点 所在的区域（用阴影部分表示）. （2）, ; 解：由得,由得,所以点 所在的 区域如图②中阴影部分所示. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 14.设复数在复平面内对应的点为 ,请在复 平面内画出分别满足下列条件的点 所在的区域（用阴影部分表示）. （3） ; 解：由可得点所在的区域是以原点 为圆心,2为半径的圆的 内部,如图③中阴影部分所示. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 14.设复数在复平面内对应的点为 ,请在复 平面内画出分别满足下列条件的点 所在的区域（用阴影部分表示）. （4） . 解：由得点所在的区域是以原点 为圆心,分别以1，3为 半径的两个圆所夹的圆环,但不包括以原点 为圆心,以3为半径的圆的 边界,如图④中阴影部分所示. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 15.欧拉公式（ 是虚数单位）是由瑞士著名数学家 欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数 和复指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式， 复数 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由题意知 ， 所以 在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 16.已知复数满足， 为虚数单位. （1）求复数 ； 解：设复数 ， 由题意得 ， 则 解得所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 16.已知复数满足， 为虚数单位. （2）若复数，在复平面内对应的点分别为，，且 为坐标 原点，求 的面积. 解：由题知， ，则， ， 所以 ， 所以 ，所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 $