精品解析：江西景德镇市多校2025--2026学年下学期九年级阶段性学业评估数学试卷

2025-2026学年下学期九年级阶段性学业评估 数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的负整数是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解我市九年级学生的课外阅读时间 B. 了解我国新能源汽车的市场占有率 C. 了解某款折叠屏手机的使用寿命 D. 了解我校教师对软件的使用情况 5. 如图，正方形的边长为2，分别取各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为等腰梯形，，且，点是其内部一点，连接，，，，若，，的面积分别为3，4，6，则等腰梯形的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算________． 8. 小麦花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为__________． 9. 如图，中，点为斜边的中点，将沿折叠得到，连接，若，则________． 10. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 11. 如图，五边形为的内接正五边形，以为边作正方形，连接，则________． 12. 矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列各题： （1）计算：； （2）解不等式：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，点为正方形的边的中点，连接．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）如图①，找到边的中点； （2）如图②，以为边作平行四边形 16. 为传承中华优秀传统文化，深挖经典诗文的文化内涵、人文底蕴与艺术魅力，借滕王阁、琵琶亭、岳阳楼、剑门关等景区相继推出的“经典诗文背诵免门票”活动契机，某校语文老师在班级开展《滕王阁序》《琵琶行》《岳阳楼记》《蜀道难》四首诗文（分别用A，B，C，D表示）的背诵比赛，比赛要求参赛者从四首诗文中随机抽取一首背诵，小贾与小许均参与本次比赛．（四大名楼：滕王阁、岳阳楼、鹳雀楼、黄鹤楼） （1）小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率是________； （2）请用画树状图或列表法，求小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率． 17. 如图，为的内接三角形，点为圆外一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 19. 如图，线段与反比例函数交于点，将线段向右上方平移，使点落在反比例函数图象上，连接，已知点纵坐标为3． （1）求反比例函数和线段所在直线解析式； （2）若，求线段平移的距离． 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 22. 某计算机执行函数运算程序如下：；若输入时，，输入时，． （1）求出与的值； （2）若直线与函数的图象有两个交点，求的取值范围； （3）将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移，若平移后的图象与直线有一个交点，请直接写出平移的距离的取值范围． 六、（本题12分） 23. 马超同学在复习图形的变换时，对翻折问题展开如下探究： （1）如图1，点为矩形边上一点，将矩形沿着翻折，使点落在边上的点处，折痕为，若，，则________； （2）如图2，将矩形沿着翻折，使点恰好落在的延长线上的点处，若，，则________，________； （3）形如图1的折叠后，将四边形再次翻折，使点与点重合，折痕为． ①如图3，若点与点重合，试探究线段与的数量关系； ②如图4，若，，当点在边上时（不与点重合），请直接写出，之间应满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期九年级阶段性学业评估 数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的负整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数的定义排除不符合的选项，再根据两个负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，比较剩余负整数的大小，即可得到结果． 【详解】解：是负分数，不是负整数， ，，，且， ， 最大的负整数是． 2. 窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 下列调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解我市九年级学生的课外阅读时间 B. 了解我国新能源汽车的市场占有率 C. 了解某款折叠屏手机的使用寿命 D. 了解我校教师对软件的使用情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：普查适用于调查范围小，调查不具有破坏性，易于实施的调查，范围过大或具有破坏性的调查适合抽样调查， A、我市九年级学生数量较多，范围较大，适合抽样调查，不符合题意； B、我国新能源汽车范围广，数量多，适合抽样调查，不符合题意； C、测试折叠屏手机使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； D、我校教师人数较少，范围小，易于调查，适合全面调查，符合题意． 5. 如图，正方形的边长为2，分别取各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线段中点的定义可得，则由勾股定理可得，则正方形的边长为，同理求出正方形的边长为1，正方形的边长为，据此可得正方形的边长为，由此可得答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ． 又分别是的中点， ， ， ∴正方形的边长为 同理可得，， ∴， ∴正方形的边长为1， 同理可得正方形的边长为， ……， 以此类推，可知正方形的边长为． ∴正方形的边长为． 6. 如图，四边形为等腰梯形，，且，点是其内部一点，连接，，，，若，，的面积分别为3，4，6，则等腰梯形的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点F，连接，过点D作，交于点G，证明四边形为平行四边形，得出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，，得出，证明，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：延长、交于点F，连接，过点D作，交于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 小麦花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 如图，中，点为斜边的中点，将沿折叠得到，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜边上的中线，结合折叠的性质，推出为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵中，，点为斜边的中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 10. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为关于的方程有实数根，当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式，可得，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：当时， 方程为， 解得：， 方程有一个实数根； 当时， 整理可得：， 关于的方程有实数根， ， 解得：； 综上所述，当时，方程有实数根． 11. 如图，五边形为的内接正五边形，以为边作正方形，连接，则________． 【答案】36 【解析】 【分析】由题意可得，连接，由正多边形的性质可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， 如图：连接， ， ∵五边形为的内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点的不同位置，利用勾股定理计算求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点， ∴当点的对应点为斜边的中点时，如图，则此时， ∴当点的对应点为直角边的中点时，此时， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 当点的对应点为边的中点时，记此时的对应点为，则，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去） 综上所述，或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列各题： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：移项可得， 合并同类项可得， 系数化为1可得． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图，点为正方形的边的中点，连接．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）如图①，找到边的中点； （2）如图②，以为边作平行四边形 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，平行四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接并延长与的交点即为点，根据正方形可得，而点为正方形的边的中点，则，那么，再由即可得到点为的中点； （2）在（1）图的基础上，连接交于点，再连接并延长与的延长线相交，交点即为点，则平行四边形即为所求，可得四边形是矩形，则，然后证明即可得到，再由即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 为传承中华优秀传统文化，深挖经典诗文的文化内涵、人文底蕴与艺术魅力，借滕王阁、琵琶亭、岳阳楼、剑门关等景区相继推出的“经典诗文背诵免门票”活动契机，某校语文老师在班级开展《滕王阁序》《琵琶行》《岳阳楼记》《蜀道难》四首诗文（分别用A，B，C，D表示）的背诵比赛，比赛要求参赛者从四首诗文中随机抽取一首背诵，小贾与小许均参与本次比赛．（四大名楼：滕王阁、岳阳楼、鹳雀楼、黄鹤楼） （1）小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率是________； （2）请用画树状图或列表法，求小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，四首诗文中，与四大名楼有关的诗文共2首，总共有4首等可能的抽取结果， 所以小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的结果数12种， ∴小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率是． 17. 如图，为的内接三角形，点为圆外一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵为半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可设，则，再由互余关系证明，则，即，即可证明； （2）过点作于点，则，，然后解求，解求出半径，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 【答案】（1）这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元 （2）厂商补贴最多是600元 【解析】 【分析】（1）先计算出两件商品的原价总和，再结合降价规则列出二元一次方程组求解即可得到各自原价； （2）根据价格要求列出一元一次不等式，求解即可得到厂商补贴的最大金额． 【小问1详解】 解：设这台电视机原价为元，平板电脑原价为元 由题意得， 解得 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元； 【小问2详解】 解：设厂商补贴为元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得   解得   答：厂商补贴最多是600元． 19. 如图，线段与反比例函数交于点，将线段向右上方平移，使点落在反比例函数图象上，连接，已知点纵坐标为3． （1）求反比例函数和线段所在直线解析式； （2）若，求线段平移的距离． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；线段所在直线解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设线段向右平移的横向距离为，向上平移的纵向距离为，则平移后点的对应点的坐标为，由点在反比例函数的图象上，得出，作轴于点，轴于点，证明，得出，将代入可得，求出，则，进而可得，由此即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在轴上，且纵坐标为， ∴， 设线段所在直线解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴线段所在直线解析式为； 【小问2详解】 解：设线段向右平移的横向距离为，向上平移的纵向距离为，则平移后点的对应点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 如图，作轴于点，轴于点， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴将代入可得， 解得或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴线段平移的距离为． 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 【答案】（1）87.5，85，88 （2）580名 （3）88 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均数， ∴中位数， ∵豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵DeepSeek人工智能软件得分数据中：共10个数据， ∴A组有（个），B组有（个）， ∴DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， ∴中位数． 【小问2详解】 解：（名）， ∴估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为580名． 【小问3详解】 解：∵新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， ∴新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于88分，有两个评分高于88分， ∵豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， ∴合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88． 22. 某计算机执行函数运算程序如下：；若输入时，，输入时，． （1）求出与的值； （2）若直线与函数的图象有两个交点，求的取值范围； （3）将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移，若平移后的图象与直线有一个交点，请直接写出平移的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据输入时，，输入时，，代入对应解析式进行求解即可； （2）根据题意，画出函数图象，利用图象法求出的取值范围即可； （3）设将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移个单位时，图象与直线有一个交点，求出平移后的解析式，与直线的解析式联立后，得到对应的一元二次方程，根据题意，得到方程的判别式等于0，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵输入时，，输入时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 作图如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故当直线与函数的图象有两个交点时，或； 【小问3详解】 解：设将函数中的部分（图象）沿轴负方向平移个单位时，图象与直线有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∴，解得； 故. 六、（本题12分） 23. 马超同学在复习图形的变换时，对翻折问题展开如下探究： （1）如图1，点为矩形边上一点，将矩形沿着翻折，使点落在边上的点处，折痕为，若，，则________； （2）如图2，将矩形沿着翻折，使点恰好落在的延长线上的点处，若，，则________，________； （3）形如图1的折叠后，将四边形再次翻折，使点与点重合，折痕为． ①如图3，若点与点重合，试探究线段与的数量关系； ②如图4，若，，当点在边上时（不与点重合），请直接写出，之间应满足的数量关系． 【答案】（1）2 （2），1 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，利用勾股定理求出，然后根据即可求解； （2）由矩形的性质得，，，，由折叠的性质得，可得，求出即可求解； （3）①同（2）可求，，由折叠的性质得，，，求出，可得，然后利用勾股定理可得结论； ②设，证明得，求出，结合折叠的性质得，证明得，求出，根据得，结合可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，． 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴． 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①同（2）可求，， 由折叠的性质得，，， ∴． ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； ②，理由： 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，， ∴． 同理可证，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $