精品解析：江西省景德镇市昌江区2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷

景德镇市2025届九年级第三次质量检测卷 数学 本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ） A. B. C D. 5. 国家卫健委携手多部门联合启动了为期三年的“体重管理年”活动，体重管理成为全民关注的焦点．某社区志愿者随机抽取500名居民进行指数检测（图中A：为偏瘦；B：为正常；C：为偏胖；D：为肥胖），将结果绘制成了如图所示扇形统计图，下列说法错误的是（ ） A. 体重为肥胖的居民人数有50人 B. 该组数据的中位数所在区间为偏胖 C. 体重为偏瘦的居民人数占 D. 体重为正常对应扇形的圆心角为 6. 如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______________． 8. 元谋人距今约170万年，是我国境内目前已确认的最早古人类．将170万用科学记数法可表示为______________． 9. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______． 10. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为______________． 11. 已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为______________． 12. 矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答题： （1）计算：； （2）化简：． 14. 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在①中作出一条矩形的对称轴； （2）在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 15. 语文复习课上，计老师准备了四张卡片，上面写有四首古诗的名字，分别是：《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗），请甲、乙两位同学同时上台抽取卡片，并背通对应古诗． （1）甲同学抽到送别诗的概率是______________； （2）求甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率． 16. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点作轴，垂足为点C，连接． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）求的面积． 17. 今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 19. 如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 20 追本溯源 题（1）是来自课本中习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． （1）______________，______________； （2）甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； （3）分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ 22. 若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： （1）a．倍角三角形一定______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； （2）如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； （3）如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 六、（本题12分） 23. 初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2025届九年级第三次质量检测卷 数学 本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ） A 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 根据三视图进行求解即可． 【详解】解：A.该选项为几何体的正视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； D. 该选项为几何体的俯视图，符合题意； 故选：D． 3. 若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 4. 如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了酸碱中和反应中溶液的变化规律，解题的关键是明确碱性溶液大于7，酸性溶液小于7，中和反应中会随酸碱的反应逐渐变化． 先分析初始溶液（溶液，碱性，），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，逐渐减小，恰好反应时，盐酸过量后），最后结合选项图象进行判断． 【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除． 选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除． 选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律． 选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除． 故选C． 5. 国家卫健委携手多部门联合启动了为期三年的“体重管理年”活动，体重管理成为全民关注的焦点．某社区志愿者随机抽取500名居民进行指数检测（图中A：为偏瘦；B：为正常；C：为偏胖；D：为肥胖），将结果绘制成了如图所示扇形统计图，下列说法错误的是（ ） A. 体重为肥胖的居民人数有50人 B. 该组数据的中位数所在区间为偏胖 C. 体重为偏瘦的居民人数占 D. 体重为正常对应扇形的圆心角为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的应用． 用总数乘以肥胖的百分比可判断A；求出偏瘦的度数所占百分比可判断C；求出正常的百分比，根据中位数的定义可判断B；用求出正常的百分比乘以可判断D． 【详解】解：（人），故A说法正确，不符合题意； 体重为偏瘦的居民人数占，故C说法正确，不符合题意； 正常的百分比为，，，该组数据的中位数所在区间为正常，故B说法错误，符合题意； ，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可． 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，通过通分将分式化为同分母后计算． 【详解】解：原式． 故答案为 ． 8. 元谋人距今约170万年，是我国境内目前已确认的最早古人类．将170万用科学记数法可表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，解决本题的关键是熟练掌握科学记数法的概念． 将170万转换为具体数字，再根据科学记数法定义，将其表示为的形式（其中，n为整数）． 【详解】解：170万， 由于， 因此． 故答案为：． 9. 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：． 10. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 11. 已知二次函数关于x轴对称图象经过点，则a的值为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【详解】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 12. 矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 【答案】4或6或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质． 根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠对称性：，， 在中，， 如图，由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 如图，过点作于H， ， ∴四边形是矩形， ， 分三种情况讨论： 若， ， ， 即平移的距离为4； 若， ，， ， 即平移的距离为6； 若， 在中，， 设， ， ， ， 解得：， 即平移的距离为； 综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离为4或6或． 故答案为：4或6或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的乘法，关键是熟练应用运算法则； （1）先算乘方及特殊角的三角函数，最后算加减； （2）先算整式的乘法，再合并同类项化简. 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， . 14. 如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在①中作出一条矩形的对称轴； （2）在图②中以为腰作一个等腰直角三角形． 【答案】（1）如图①，直线即为所求； （2）如图②，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了矩形和等腰直角三角形的性质及无刻度直尺作图，解题的关键是利用矩形的对称性和等腰直角三角形的性质找到作图的关键点． （1）利用矩形的中心对称性，结合等腰直角三角形的顶点，作出过矩形中心的直线即为对称轴； （2）根据矩形对边相等和等腰直角三角形的性质，找到与CD相关的等腰直角三角形的顶点，连接得到图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 语文复习课上，计老师准备了四张卡片，上面写有四首古诗的名字，分别是：《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗），请甲、乙两位同学同时上台抽取卡片，并背通对应古诗． （1）甲同学抽到送别诗的概率是______________； （2）求甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算，即可； （2）根据题意，列出表格，可得共有12种等可能性结果，其中甲、乙两位同学都抽到边塞诗的结果有2种，再根据概率公式计算，即可． 【小问1详解】 解：∵四首诗中有一首诗是送别诗， ∴甲同学抽到送别诗概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：用A，B，C，D分别表示《山居秋暝》（田园诗）、《使至塞上》（边塞诗）、《凉州词》（边塞诗）、《送杜少府之任蜀州》（送别诗）， 根据题意，列表如下： 甲 乙 由表可知，共有12种等可能性结果，其中甲、乙两位同学都抽到边塞诗的结果有2种， ∴甲、乙两位同学都抽到边塞诗的概率 16. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点作轴，垂足为点C，连接． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数解析式为 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入和，可得直线和反比例函数解析式； （2）先求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得，解得， 直线的解析式为． 把代入，得， 反比例函数的解析式为． 小问2详解】 解：联立函数解析式，得 解得或 ． 轴于点C，， ，． ． 17. 今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】（1）A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 （2）至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； 【小问2详解】 解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2）背垫旋转的度数为 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． 【小问2详解】 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 19. 如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件可得出，再结合可知，即可得出，进一步即可证明． （2）先利用垂径定理得出，再利用圆周角定理得出，，，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，垂径定理，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，掌握这些知识是解题的关键． 20. 追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． （1）______________，______________； （2）甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； （3）分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ 【答案】（1）48，9 （2）36，31 （3）甲的平均分：，乙的平均分：，甲的成绩更好 【解析】 【分析】本题考查了茎叶图的理解及统计量（中位数、众数、平均数）的计算，解题的关键是掌握茎叶图的定义和各统计量的计算方法． （1）根据茎叶图中茎和叶的定义，结合甲、乙运动员的得分列表确定和的值； （2）将甲的得分排序后找中位数，统计乙的得分出现次数找众数； （3）根据平均数公式分别计算甲、乙的平均分，再比较大小判断成绩好坏． 【小问1详解】 解：对于甲运动员的得分，茎为的叶有、、， 缺失的个位数字是， ． 对于乙运动员的得分，茎为的叶有、， ． 故答案为：48，9 【小问2详解】 甲的得分按从小到大排列：8、13、24、26、33、36、38、43、48、49、51（共11个数据）． 中位数是第个数据，即36． 乙的数据中31出现次数最多， 众数是31． 故答案为：36，31 【小问3详解】 甲运动员的平均分： 乙运动员的平均分： 因为，所以甲运动员的成绩更好． 甲的平均分为，乙的平均分为，甲运动员成绩更好． 22. 若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍角三角形： （1）a．倍角三角形一定是______________三角形（填“钝角”、“锐角”或“直角”）； b．顶角为的等腰三角形______________倍角三角形（填“是”或“不是”）； （2）如图1，为倍角三角形，，过点C作边的垂线交其延长线于点D，若，求的度数； （3）如图2，中，，，，在的延长线上是否存在一点D，使得是倍角三角形，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a．钝角；b．是 （2） （3）的长为或6 【解析】 【分析】++此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形，勾股定理及三角函数， （1）根据倍角三角形定义解答即可； （2）在线段上截取，连接，证明，得，，根据推出，求出，进而求出； （3）由题意知，，是倍角三角形，分两种情况讨论：①是倍角三角形且，②是倍角三角形且，根据定义求解． 【小问1详解】 解：a.由倍角三角形定义得：若，则故，则倍角三角形一定是钝角三角形， 故答案为：钝角； b.顶角为的等腰三角形的底角为， ∵， 故顶角为的等腰三角形是倍角三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 存在， 由题意知，，是倍角三角形， ∴分两种情况讨论： ①如图，是倍角三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴平分， 过点A作于点P， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， 在中，， 即 解得（负值已舍去）， ∴； ②如图，是倍角三角形且， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵在中， 在中， ∴，即 ∴ 综上，的长为或6 六、（本题12分） 23. 初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无； （2）最小，3； （3）存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $