精品解析：湖南长沙市第一中学2026届高三5月数学模拟卷一

高三数学模拟卷一 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合， 所以， 所以. 2. 已知，为实数，虚数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为是方程的根， 所以， 所以，又知，为实数， 所以且， 解得，， 所以. 3. 若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，看“的图象关于点中心对称”与“”是否可以互相推导，进而判断前者是后者的什么条件. 【详解】若定义域为函数的图象关于点中心对称，则， 当时，，则， 但不能推出函数的图象关于点中心对称， 所以“的图象关于点中心对称”是“”的充分不必要条件. 4. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 5. 下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 6. 如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体， 所以，设， 在中，，，， 在，，， 故圆柱的表面积为， 解得. 故． 7. 已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：根据直线与圆的位置关系求解； 法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，2为半径的圆盘，再由直线与圆的位置关系求解. 【详解】法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，存在，使得成立， 故且，也即，解得. 法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，2为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点， 即直线与圆有交点，得，解得. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】A，当时，，则在上单调递减，， 当时，，则在上单调递增，，即， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，，， ，， 利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象如下， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点，则，错误； B，结合选项A中分析可得，所以，则，错误； C，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称，所以，错误； D，当时，，令，得，所以，， 由图知同增同减，所以，正确. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知正三角形的边长为6，记其面积为，取各边中点连接得到新的正三角形，记其面积为，依此规律，得到一系列正三角形，其面积记为，设.则下列说法正确的有（ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 前3个正三角形的面积之和为 C. 存在正整数，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定数列是首项为、公比为的等比数列，再逐项验证即可 【详解】选项A：根据正三角形面积公式可得初始面积， 连接各边中点后，新正三角形边长变为原三角形边长的， 因此面积变为原面积的，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，A正确； 所以，. 选项B：前3个正三角形的面积之和为，B正确； 选项C：对任意正整数，，C错误； 选项D：，D正确 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 11. 如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线PE相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项：利用折叠性质直接得到；B项，通过中位线定理与全等转化，证明T为MN中点；C项，结合椭圆Q轨迹方程，推导；D项：用极化恒等式与不等式缩放证明.. 【详解】对于A，由折叠性质可知，折痕是线段的垂直平分线，因此，A错误； 对于B，在中，，分别为的中点，故， 如图，延长，交于点， 则有，，故，B正确； 对于C，设，，， 则，，则， 由于点的轨迹为椭圆，设椭圆长半轴长、短半轴长、半焦距分别为，，， 则在中，， 化简得，即， 所以，C正确； 对于D，设的中点为，则有 ，故，D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 13. 若，且，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】由，利用两角和余弦公式化简求解. 【详解】 ， 结合， 所以，即或. 因为，得或，即或. 14. 已知数列满足，，，对任意不等于的正整数，都有，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】结合递推公式及等差数列的定义得到数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，再由二次函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】由，得， 得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以，于是， 因为对任意不等于的正整数，都有， 又二次函数图象的对称轴为， 由题意得，解得，所以实数的取值范围是. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理求出角A，运用余弦定理和三角形的面积公式求出三角形的面积； （2）运用正弦定理和平方关系先求出相应的正弦值和余弦值，再使用相应的和、差角的正弦公式求出结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. 由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为，根据正弦定理得， 则， 又，则，故为锐角， 所以， 则. . 所以 16. 已知函数 （1）设，分别讨论函数与在上的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时，. 综上，当时，. 17. 如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为. （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题先证明平面，可得，进而证明平面，得；又由，，，四点共圆，，得到，根据线面垂直的判定定理得证； （2）由求得，由（1）知，都是以为斜边的直角三角形，故外接球球心为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，点是的中点，所以. 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 由题知，四面体内接于球，则必有，，，四点共圆， 又，所以，则，即， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 设，由（1）得平面，， 因为平面，所以，则， 所以， 化简得，解得，则. 又，，则，则， 又，，则. 又由（1）知，都是以为斜边的直角三角形， 故外接球球心为的中点. 如图，以为原点，与平行的方向，射线，射线分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 因为，，则，，，，， 由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量， 又直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. （1）求随机变量的分布列； （2）设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【答案】（1）分布列见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列. （2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出. 【小问1详解】 根据题意，的可能取值为. 即二次抽卡均抽到普通卡片，， 即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，， 即二次抽卡均抽到稀有卡片，， 所以的分布列为 4 5 6 【小问2详解】（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件， 则， . . （ⅱ）由（ⅰ）及，得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 19. 已知双曲线：（，），过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点.设PQ的中点为，且当直线的斜率为1时，点的坐标为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线上有两点，满足：，，其中，，为坐标原点.已知点在双曲线上. （ⅰ）证明：点也在双曲线上； （ⅱ）设点，设RS的中点为，若的面积的最小值为5，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）用点差法：设，，代入双曲线作差，代入斜率和中点坐标，结合，求出，得到曲线方程； （2）（ⅰ）根据在双曲线上，得到，将的坐标代入计算，满足双曲线方程，得证； （ⅱ）先利用斜率证明三点共线，再计算，联立直线与双曲线，求坐标，求出的取值范围，最后根据的面积最小值，得到的值. 【小问1详解】 设直线，依题意可知，，解得， 设，，则，作差并整理得， 代入斜率和中点坐标得，又，可得，， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意， 由点在双曲线上，得， 整理得，化简可得， 点， 则 ， 所以点也在双曲线上. （ⅱ）设，， 由，在直线上，以及可知， ， 所以点在直线上，同理也在直线上， 即直线RS的方程为，其中；故， 联立，得， ，则， 所以， 则由（1）可知，，同理有，故O，M，N三点共线， 因此，即. 联立整理得， 所以，故，， 故，当且仅当时取等号；且， 因此， 故，解得或（舍去）， 因此，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学模拟卷一 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为实数，虚数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 若函数的定义域为，则“函数的图象关于点中心对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 5. 下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 6. 如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知正三角形的边长为6，记其面积为，取各边中点连接得到新的正三角形，记其面积为，依此规律，得到一系列正三角形，其面积记为，设.则下列说法正确的有（ ） A. 数列是首项为，公比为的等比数列 B. 前3个正三角形的面积之和为 C. 存在正整数，使得 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 11. 如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线PE相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 13. 若，且，则______. 14. 已知数列满足，，，对任意不等于的正整数，都有，则实数的取值范围是______ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，，求的面积； （2）若，求的值. 16. 已知函数 （1）设，分别讨论函数与在上的单调性； （2）证明：当时，. 17. 如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，点为棱的中点，四面体的外接球与直线的另一交点为. （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. （1）求随机变量的分布列； （2）设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 19. 已知双曲线：（，），过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点.设PQ的中点为，且当直线的斜率为1时，点的坐标为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线上有两点，满足：，，其中，，为坐标原点.已知点在双曲线上. （ⅰ）证明：点也在双曲线上； （ⅱ）设点，设RS的中点为，若的面积的最小值为5，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $