精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题

湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 2. 复数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法与乘法法则求结果. 【详解】,选A. 【点睛】本题重点考查复数的乘除运算，属于基本题.考查基本求解能力. 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式求出余弦值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 由余弦定理得，化简得 则或. 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则，在中，由正弦定理得， 又因为，所以，整理得， 因为为三角形内角，，所以，则， 故，即是以为直角顶点的直角三角形， 在中， ，由勾股定理得，代入，得，解得，所以， 根据椭圆的定义，有，所以， 因此，椭圆的离心率. 6. 已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 因为，，则， 又有最小值，但无最大值，所以，解得 7. 已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式，结合第三次取出的球为白球的概率列出关于的方程，求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，， ，， 所以， 所以 . 令，解得. 所以第1个袋子：1红4白；第2个袋子：2红3白； 第3个袋子：3红2白；第4个袋子：4红1白； 第5个袋子：5红. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. . . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分： 永州 队 常德 队 长沙 队 株洲 队 娄底 队 衡阳 队 郴州 队 岳阳 队 益阳队 邵阳队 湘潭 队 怀化队 湘西州队 张家界队 22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4 则下列说法正确的是（ ） A. 积分数据的众数为19 B. 积分数据的第70百分位数为22 C. 积分数据的中位数为19.5 D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小 【答案】AB 【解析】 【分析】先从小到大排列，再应用众数，百分位数，中位数及方差定义计算判断各个选项即可. 【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35； 积分数据的众数为19，A选项正确； 因为，所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确； 积分数据的中位数为19，C选项错误； 积分最高的4队积分的平均数为，积分最高的4队积分的方差， 积分最低的4队积分的平均数为，积分最低的4队积分的方差， 所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误； 10. 已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以为直径的圆过点 C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及三角形面积公式求解判断AD；利用抛物线的几何性质推理判断BC. 【详解】抛物线的焦点，准线，设直线，， 由消去，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，连接，由， 得，则， 因此以为直径的圆过点，B正确； 对于C，取中点，当为中点时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值为2，D正确. 11. 已知数列满足，为的前n项和，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB项通过递推数列规则依次求解各项，可得重复项，进而得到周期规律即可判断；C项取特殊首项求和即可；D项从充分性与必要性两个角度证明. 【详解】对于A，由，， ，， ，，， 由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为 所以数列除了外，从开始成周期为3规律， 从到共2025项，2025是3的倍数，所以，故A错误； 对于B，根据选项A可知，，故B正确； 对于C，取，则，则，， 依此下去，对，都有，此时， ，即，使得，故C正确； 对于D，若，则，则，， 依此下去，对，都有，则成立， 故，数列为等比数列； 若数列为等比数列，设公比为， 假设数列中存在某项，则，， 可得，又，解得， 由，可知，故必存在某项，则， 即，这与公比矛盾，假设错误， 即数列中任意一项都小于，自然； 再假设数列中存在某项，则，即， 则由，可知时，，且数列为递增数列， 故存在某项，则，这与数列递增矛盾，假设也错误； 所以数列中也不存在大于且小于的项，又等比数列中各项均不为， 故数列中任意一项均小于，即； 综上所述，为等比数列的充要条件是，故D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则 __________（用数字作答） 【答案】0 【解析】 【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可. 【详解】由题意可知，令，则 . 13. 在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建系，先求圆的方程，再将向量式转化为点的坐标，把目标式转化为求的最大值，最后用直线与圆相切的几何方法求解，得最大值为． 【详解】如图，设正方形的边长为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则各点坐标为，，，， 直线的方程为， 由题意得，圆与直线相切， 所以圆的半径等于点到直线的距离，即， 所以，动点的轨迹方程为， 因为，，所以， 设，则，，所以， 问题转化为：在圆上，求的最大值， 设，即， 当直线与圆相切时，取得最值， 圆心到直线的距离等于半径，即，解得，， 所以，因此，的最大值为． 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，当时将方程变形为，令，，由可得关于对称，由题意可得有两个实数根，即函数与有两个交点，进而得出，，代入，利用一元二次函数的性质可得答案． 【详解】由题意得， 所以是函数的一个零点， 当时，令，可得， 令，， ， 所以关于对称， 若要函数有三个不同的零点， 则需满足方程有两个实数根， 即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称， 又，可得，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立， 此时的最小值为． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点． （1）求证：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取PA的中点E，连接EN，DE，利用中位线定理得到四边形为平行四边形，则，再利用四边形是正方形得到线线垂直，利用面面垂直的判定即可证明； （2）利用空间向量计算二面角即可. 【小问1详解】 取PA的中点E，连接EN，DE， 因为点M是CD的中点，点N是PB的中点， 可得，且，而，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，而平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，， 所以平面，而平面，所以，所以； 【小问2详解】 以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，底面是边长为6的正方形，点M是CD的中点，点N是PB的中点， 则，，，， 所以，， 所以，， 易得平面AMB的法向量， 设平面AMN的法向量为， 则，即，令，则， 可得3，，， 所以， 因为二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为． 16. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出. 【小问1详解】 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即， 所以，数列为等差数列，设其公差为，则， ，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； 【小问2详解】 数列的前项和为， 数列的前项和为， ①当时，； ②当时，， 特别地，当时，也适合上式； ③当时，. 综上所述，. 所以. 17. 已知直线与双曲线 有唯一的公共点 . （1）若点在直线上，求满足条件的所有直线 l的方程； （2）已知直线的斜率为，且 过点且与垂直的直线交x轴于 交轴于点.是否存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值，定点坐标为，定值为. 【解析】 【分析】(1)根据题意知直线为切线或者与渐近线平行的直线 (2) 根据题意知直线为切线，做法线，找到坐标之间的关系即可得； 【小问1详解】 因为直线与双曲线 有唯一的公共点 ， 所以直线与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切； 双曲线渐近线， 情况一： 直线l的斜率不存在。 此时直线l的方程为：，不符合题意； 情况二：直线l的斜率存在. 设直线l的方程为：，即， 将直线方程代入双曲线方程中得到：， 直线平行于双曲线的渐近线，此时， 直线l的方程为：或者 ； 直线与圆锥曲线相切， 此时，且， 设切点，则，过点的切线方程为， 因为点在直线上，所以代入切线方程可得， 所以代入双曲线方程得：， 解得， 当时，，切点为：， 切线方程为， 当时，，切点为：， 切线方程为， 综上，满足条件的直线 l的方程为有以下四条： 【小问2详解】 直线的斜率为，且 所以直线 为切线， 由(1) 过点的切线方程为， 所以，，， 过点且与垂直的直线（法线）的斜率为：， 法线方程为：， 因为该直线交x轴于，交轴于点， 所以令得：，所以，同理可得， 所以动点的坐标为，因为， 所以设，则， 所以，化简得， 所以动点的轨迹方程为， 根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数， 因为， 所以， 该双曲线的焦点坐标为：， 对于双曲线上的任意点，都有， 所以存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值，定点坐标为，定值为. 18. 已知函数（e为自然对数的底数）. （1）求证：时，； （2）设的解为（，2，…），. ①当时，求的取值范围； ②判断是否存在，使得成立，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件构造函数，利用导数探讨其单调性推理作答. (2)①探讨函数的性质，作出部分图象，结合图象可得，构造函数并求出其值域得解； ②分类讨论的各种取值条件下值的范围即可判断作答. 【小问1详解】 ，令，求导得：， 令，，，则在上单调递减， ，在上单调递减，则，，即， 所以时，. 【小问2详解】 ①，当或或时，， 当或时，， 于是得在，，上都递增，在，上都递减， 而， 又时，，，的部分图象大致如图， 观察图象知，当时，又，必有， 令，，因在上递减，则在上递减， 因此，在上递增，则当时，， 所以的取值范围是； ②不存在， 因，则当时，而，必有，即不成立， 当时，不存在或者，有，即不成立， 当时，，令，， ， 而当时，，，则，即在上递增， ，因此，，，于是得， 又，，且函数在上递增，故有，即，不成立， 综上，不存在，使得成立. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. （1）求点所有可能的坐标； （2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； （3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 【答案】（1）； （2）； （3），时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）根据即可求所有可能的坐标； （2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为，用列举法即可求解 （3）当不是3的倍数时，显然有.当是3的倍数时，不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.定义操作小结：，其中可以为0，则其中，根据隔板法即可求解. 【小问1详解】 由题意，点可能的坐标为. 【小问2详解】 令向量， 则当时，；当时，； 当时，其中，且. 要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为. ①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶； ②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况： 奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇， 偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇； ③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇. 故为坐标原点的概率. 【小问3详解】 当不是3的倍数时，显然有. 以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次. 记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作. 定义操作小结：，其中可以为0. 在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示： 所以有其中. 由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有 .综上，有 因此，当，即时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 复数的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则=（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分： 永州 队 常德 队 长沙 队 株洲 队 娄底 队 衡阳 队 郴州 队 岳阳 队 益阳队 邵阳队 湘潭 队 怀化队 湘西州队 张家界队 22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4 则下列说法正确的是（ ） A. 积分数据的众数为19 B. 积分数据的第70百分位数为22 C. 积分数据的中位数为19.5 D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小 10. 已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ） A. 是定值 B. 以为直径的圆过点 C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2 11. 已知数列满足，为的前n项和，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则 __________（用数字作答） 13. 在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点． （1）求证：． （2）求二面角的余弦值． 16. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 17. 已知直线与双曲线 有唯一的公共点 . （1）若点在直线上，求满足条件的所有直线 l的方程； （2）已知直线的斜率为，且 过点且与垂直的直线交x轴于 交轴于点.是否存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数（e为自然对数的底数）. （1）求证：时，； （2）设的解为（，2，…），. ①当时，求的取值范围； ②判断是否存在，使得成立，并说明理由. 19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. （1）求点所有可能的坐标； （2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； （3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $