山东济南第一中学2025-2026学年高二下学期期中学情检测数学试题

**基本信息** 济南一中2024级高二期中数学试卷，以导数、概率、排列组合等核心知识为载体，通过投篮比赛概率模型（18题）、“互补函数”新定义（19题）等设计，考查数学思维与应用能力，适配期中巩固与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数计算、两点分布、排列问题|基础概念与辨析，如第4题结合导函数图像判断极值| |多选|3/18|二项式定理、概率事件关系、函数零点|多维度考查，如第10题结合对立事件与条件概率| |填空|3/15|组合分配、函数奇偶性与导数|情境简洁，如13题学生分配体现计数原理| |解答|5/77|导数单调性证明、概率分布列、新定义应用|综合应用，18题投篮比赛模型考查数学语言表达，19题“互补函数”培养创新意识|

济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的导函数为(   ) A. B. C. D. 2.已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（   ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 4.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是(   ) A. B. C. D. 5.甲，乙，丙，丁，戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次(无并列名次),甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次不同的排列种数为(   ) A.27 种 B.36 种 C.54种 D.72种 6.展开式中含项的系数为 A. B. C. D. 7.某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 8.已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是(   ) A.二项式系数和为512 B.不存在常数项 C.含项的系数为45 D.第6项的系数最大 10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 11.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若，则    ． 13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每一个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有______种用数字作答 14.已知定义在R上的偶函数的导函数为且当时，恒有若有，则实数的取值范围为    . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知展开式中只有第5项的二项式系数最大. (1)求展开式中含的项； (2)设，求的值． 16.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当时，. 17.某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球． (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望. 18.甲、乙两人参加投篮比赛,比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定,后续两人轮流投篮，每人每次投一个球,投进得1分,投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成).已知甲每次投进的概率为,乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. (1) 求； (2) 求在的情况下，乙获胜的概率； (3) 求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 19.已知函数 (1) 求函数的单调区间； (2) 对于函数若存在使则称函数与为“互补函数”，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. (i) 是否存在使并说明理由； (ii) 若，请用含有的代数式表示的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 高二数学试题第 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■ 18(17分) ■ 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第3页（共4页） 19(17分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第4页（共4页）济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题参考答案 1.D 2.A 解析：因为∫'(x=1-cosx20,且等号仅在x=2kπ，k∈Z时成立， 所以∫(x)在R上严格单调递增， 由fx2-1>f(x-1)可得x2-1>x-1,解得x>1或x<0, 所以不等式fx2-1)>f(x-1的解集为-0,0)U1,+o）. 3.A 解析：因为随机变量X服从两点分布， 所以由题D(X=0.7×1-0.7)=0.21,又Y=2X-1, 所以D(Y)=D(2X-1=22D(X)=4×0.21=0.84. 4.B 5.c 解析：由题意知，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3 种情况，再排甲也有3种情况，余下3人有A种排法。故共有3×3×A54种不同的情况。 6.A 7.B 解析：将这五座城市按1,1,3或1,2,2分成三组的方法数为CCC,CC℃=25，再安 A号TA 排给3人，总方法数为25A=150,其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为 CCC×A+cccc×A=80,所以P-品-言，而事件A与B都发生的所有可能 A A 给架有C+C=10,即P(05,所以所求概率为P叫-以4@是x5 PA1588 8.D 解：函数fx)=-x2+2x,开口向下，对称轴为x=1, ·xe(0,2)时，fx)e(0,1, g(x)=xlnx+c,x>0,g'(x)=Inx+1, 1 令g'(x=0,解得x=二， e 则<<时，g到<0,8单调递减， <x<e时，g'(x>0,gx单调递增， e 5id-目-e,又号+eae=e*e. 对e10.2,仁，使r=魔， 9.BC 解析：对于A二项式系数和为210=1024：故A错误； 对于B小x2-0展开式的通项为741=Cio(x2)210(-贵)f=(-1Cix20- 当20-3r=0时，r=9,显然不可能，故不存在常数项，故B正确： 对于C令20-3r=14,则r=2,故含x14项的系数为(-1)C。=45,故C正确： 对于D、第6项的系数为(-1)5c。<0:而第5项的系数为(-1)1c。>0,显然D错误 10.ABD 解析：对于A,因为甲罐中只有红球和白球，即A,∩A,=0,A,UA2=2, 所以A,A,为对立事件，故A正确： 对于B,当4发生时，乙继中有3个红球，8个白球，此时P叫B4,故B正确： 对于C,当4发生时，乙第中有2个红球，9个白球，此时P川8名品， 所以P=川4PBA+PP叫B4品立，故C不正确： 对于D.P叫BA利+PB4=故D正确， 11.BD 解析：：f(x)定义域 R,"川x)=-2+x+2=-(x-2x+1 ex :当x∈(-o,-1U(2,+o)时，f'(x<0；当x∈(-1,2时，f'(x)>0; f(x)在(-o0,-1),(2,+∞上单调递减，在(-1,2)上单调递增； 对于Af-=e<0,f2到=3>0，f-2列=e>0, ·f(x)在区间(-2，-1)和(-1,2)内各存在一个零点； 当x>2时，x2+x-1>0,e>0,.f(x)>0恒成立： :f(x)有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B,由了（到单调性可如：八）的授小位为-=-e,板大金为f2到=。，B 正确； 对于C,:f2)=三，：作出f(x到图象如下图所示，可知方程f(=忌存在另一个解 5 e e 若当xk+列时，fn吾，则1e2小，c错谈： 对于D,方程f(x)=k有两个实根等价于f(x)与y=k有两个不同交点， 作出f(x)图象如下图所示， -k 结合图象可知：k∈(-e,0]U 5 D正确.故选：BD 12.解析：由C4=C-8, 可得2x=4x-8或2x+4x-8=34,解得x=4或x=7, 经检验x=4和x=7都满足题意，故答案为：4或7. 13.150 14.[e,+oo. 解：因为f(2-lnt-2≥fnt)-2lnt,所以f(2-lnt)-(2-lnt)≥f(lnt)-lnt 即f(2-lnt)-(2-lnt)2>f(lnt)-支(lnt)2，设g(x)=f(x)-x2, g'(x)=f'(x)-x, 当xE(0,+∞)时，恒有f'(x)<x,故x>0时，g'(x)<0,g(x)单调递减， g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=gx),则gx)是偶函数，则 |2-lnt|≤|lnt|, 解得lnt>1,即t>e.故答案为：[e,+oo. 15.解：)因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n=8,....2 T1=Cg(-2yx,r=0,1,…,8, 所以当r=2时，I=Cg(-2)}2x2=112x2； (2)令x=1,得a。+a+a,+…+a,=(1-2)°=1， ……8 又a。=1, 所以a+a2+43++a.=0. ….13 16.四解：函数f)=a血x+,定义域为0，，..1 因为f()=0-1=am-1 2 则切线的斜率k=f)=a-1=1, 解得a=2, ………4 当a=2时，f)=2x-1 x2, 当0<x<时，f)<0,当x>;时，f)>0, 所以了)在0，点上单调递减，在(+∞)上单调递增，…6 故当x=2时，函数f)取得极小值兮=2血+2=20-h2,无极大值：.…8 ②证明：由四可知，f)=2血x+ x 令g=2ax+1_￡1 x22 则g四=21 xx x=在-0-x+现 x …11 因为x≥1，则xr+)>1, 所以1-x(x+)<0, 故g)<0,即8)在L.+o)上单调递减， …13 所以gx)sg0)=0 故当2卧付号 ..........15 17.【详解】(1)从9个球中摸出3个球，共有C=84种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有n=C+C哈C=20+45=65种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为P=解 (2)由题意可得X=0,1,2,3, Px=0)-=器=员.x=1)=智=器=器， Px=2-等-胡=是，Px=3)-=房 所以X的分布列如下： X 0 2 3 P 是 器 品 品 8)=0×是+1×器+2×是+3×à=1， 18.(17分) 解：1)油题意可知：号×p=号 2 p吃 …2分 (2)当n=3时，甲，乙两人共投篮3次 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进 设A=“n=3时，比赛结束”，B=“乙获胜” P=*号××号+**贵 1 …5分 24 P(A)=P4.4.3 P(A)1111 …6分 12 (3)若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3,4,5,6 设C=“甲获胜”，A=“n=时比赛结束" 当m=3时，若甲胜，两人的投篮情况一定为 甲进，乙不进，甲进 …8分 当n=4时，若甲胜，两人的投篮情况一定为 乙不进，甲进，乙不进，甲进 侧P.0)*5*号×分号·言 1 …10分 当=5时，若甲胜，两人的投篮情况可能为 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进： 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进 2 …13分 当=6时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进： 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进 1…16分 甲在3轮比赛之内获胜的概率为 p=++品+ …17分济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第1卷和第川卷两部分，第1卷为第1页至第2页，共11题，第川卷 为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效， 考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。 第1卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.函数y=cos2x的导函数为() A.y=sin 2x B.y=-sin 2x C.y=2sin 2x D.y=-2sin 2x 2.已知f(x)=x-sinx,则不等式f(x2-1)>f(x-1)的解集是( A.（-0,0)U(1,+∞）B.(1,+0） C.(01) D.（-n,1) 3.己知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=07,设Y=2X-1,那么D(Y)的值是（) A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.3 4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数 y=f'(x)的图像可能是( k, 5.甲，乙，丙，丁，戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次， 甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你当然不会是最差的.” 从这两个回答分析，5人的名次不同的排列种数为( A.27种 B.36种 C.54种 D.72种 高二数学试题第1页共4页 6.(x+2)(2x-1)6展开式中含x3项的系数为 A.-260 B.-100 C.220 D.380 7.某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三 人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游.记事件A= “乙至少选择了两座城市旅游”，B=“甲只选择了北京旅游”，则P(BA)=( A. B吉 c. 8已知函数f()=-+2x,g)=r+c,若对e(02,飞∈已e, 使∫()=g(x)成立， 则C的取值范围是( ) A.[6E) c.1-etj 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在二项式(x-马“的展开式中，下列说法正确的是( A.二项式系数和为512 B.不存在常数项 C.含x14项的系数为45 D.第6项的系数最大 10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放 入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A,表示事件“从 甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( A.A,A,为对立事件 B.2®4) C.( D.P(B到4)+P84)音 11.已知函数f)=￡+x-1,则下列结论正确的是() e A.函数f(x)存在三个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.若reE+四时，fwm-三，则1的最小值为2 D.若方程fx)=k有两个实根，则k∈（←e,U} 高二数学试题第2页共4页 第川卷（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若C=C-3,则x= 13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每 一个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 14.已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为'(x)且当x∈(0，+o)时，恒有(x)<x若有 f(2-nt)-2≥fnt)-2lnt,则实数t的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知(1-2x)”展开式中只有第5项的二项式系数最大. (1)求展开式中含x2的项： (2)设(1-2x)=4+☑x+☑，x2++anx”,求4+☑+4+…+4n的值 16.已知函数)=anx+,曲线”=)在点Q.0》处的切线与直线x+y=0垂直. (1)求函数f(x)的单调区间和极值： ②)求证：当x21时，9≤7+， 17.某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个 红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球。 (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率： (2)设随机变量X表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求X的分布列并求其期望 18.甲、乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人 每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为 一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛 有没有完成.已知甲每次投进的框率为了，乙每次投进的概率为刀.第一轮投篮后甲乙丙人 各积1分的概率为】.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为>2且n∈N*. 高二数学试题第3页共4页 (1)求P; (2)求在n=3的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 19.已知函数f)=r+1 (1)求函数f(x)的单调区间： (2)对于函数fx),g(x),若存在，nER,使f(m)+g()=0,则称函数f(x)与g()为“互补 函数”，，n为“互补数”.已知当a=1时，函数f(x)与g()=xe1为“互补函数”且互 补数为m,n. (i)是否存在m,n使m+n=0?并说明理由； (ii)若m+ne[a,0)a∈(-l,0),请用含有a的代数式表示-n的最小值. 高二数学试题第4页共4页■ 2024级高二下学期期中测试 高二数学答题卡 姓名 考场 座号 准考证号 学校 年级 班 回做A▣ 注意事项 1.答题前先将姓名、班级、准考证号填写清楚。 贴条形码区域 2.第I卷用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑 扫描查成绩 3.第Ⅱ卷使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，严禁折叠、严禁做标记。 5.正确填涂：■ 考生禁填 缺考☐违纪☐ 选择题(58分) 1[A][B][C][DJ 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 三、填空题(15分) 12(5分) 13(5分) 14(5分) 四、解答题(77分) 15(13分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第1页（共4页） 16(15分) 17(15分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第2页（共4页）