精品解析：河南南阳市内乡县2026年春期期中八年级数学巩固与练习

2026年春期期中八年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某品牌手机上使用芯片，已知，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ） A. 经过第二、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与x轴交于 D. 与y轴交于 6. 解分式方程﹣3=时，去分母可得（　　） A. 1﹣3（x﹣2）=4 B. 1﹣3（x﹣2）=﹣4 C. ﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D. 1﹣3（2﹣x）=4 7. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 8. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 爷爷和小强一起爬山，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶．图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离与小强爬山所用时间之间的函数关系．下列说法错误的是（ ） A. 小强让爷爷先走了分钟 B. 小强上山的速度比爷爷平均每分钟快7.5米 C. 小强用10分钟爬上山顶 D. 爷爷出发8分钟时，小强追上爷爷，此时距山脚240米 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：____________． 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 13. 一次函数的图形如图所示，这个函数可能是______（写出一个即可） 14. 一次函数的图象向上平移p个单位，平移后函数图象经过，则p的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 三、解答题 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： 17. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 18. “日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元． （1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格； （2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 19. 已知函数． （1）当为何值时，函数的图象在第四象限？ （2）函数图象是否存在一点，使该点到轴的距离为3，若存在，求该点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线和的交点在第三象限，求满足的条件． 20. 如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4． （1）求边和的长； （2）若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 22. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示． （1）甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________； （2）当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________； （3）印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？ （4）若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由． 23. 实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． （1）求出、两点的坐标，并计算的面积； （2）请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； （3）除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； （4）结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期中八年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为，根据该性质列不等式即可求解. 【详解】解：∵代数式是分式，分式有意义时分母不为， ∴， ∴． 2. 某品牌手机上使用芯片，已知，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C 3. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入各选项中点的横坐标求出纵坐标，比较后即可得出结论． 【详解】解：A．当x=2时，y=2×2-5=-1， ∴点（2，-1）在直线y=2x-5上，选项A符合题意； B．当x=-2时，y=2×（-2）-5=-9≠-1， ∴点（-2，-1）不在直线y=2x-5上，选项B不符合题意； C．当x=-1时，y=2×（-1）-5=-7≠2， ∴点（-1，2）不在直线y=2x-5上，选项C不符合题意； D．当x=1时，y=2×1-5=﹣3≠2， ∴点（1，2）不在直线y=2x-5上，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 4. 如图，的对角线相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，三角形中线的性质依次判断即可． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与不一定相等，该选项错误，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，该选项正确，不符合题意． 5. 下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是（ ） A. 经过第二、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与x轴交于 D. 与y轴交于 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：直线中，， A．∵， ∴函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C．∵当时，， ∴与x轴交于，原说法错误，故本选项符合题意； D．∵当时，， ∴与y轴交于，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，y随x的增大而减小是解题的关键． 6. 解分式方程﹣3=时，去分母可得（　　） A. 1﹣3（x﹣2）=4 B. 1﹣3（x﹣2）=﹣4 C. ﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D. 1﹣3（2﹣x）=4 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边同时乘以（x-2），转化为整式方程，由此即可作出判断． 【详解】方程两边同时乘以（x-2），得 1﹣3（x﹣2）=﹣4， 故选B． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键． 7. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 【答案】D 【解析】 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量， 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 8. 在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得出，从而得出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小， ， 解得，则m可以是0. 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当时，都随的增大而减小；当时，都随的增大而增大． 9. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．对进行讨论，分和两种情况，再根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可． 【详解】解：时，，在一、二、四象限，在一、三象限，选项符合． 时，，在一、三、四象限，在二、四象限，无选项符合； 故选：D． 10. 爷爷和小强一起爬山，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶．图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离与小强爬山所用时间之间的函数关系．下列说法错误的是（ ） A. 小强让爷爷先走了分钟 B. 小强上山的速度比爷爷平均每分钟快7.5米 C. 小强用10分钟爬上山顶 D. 爷爷出发8分钟时，小强追上爷爷，此时距山脚240米 【答案】D 【解析】 【分析】先求出爷爷和小强的速度，然后逐项分析即可． 【详解】解：爷爷的速度：， 小强的速度：． A．小强让爷爷先走了（分钟），正确； B．小强上山的速度比爷爷平均每分钟快（米），正确； C．小强用（分钟）爬上山顶，正确； D．爷爷出发（分钟）时，小强追上爷爷，此时距山脚240米，故原说法错误． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减运算的法则，先因式分解复杂的因式，找到最简公分母，通分，然后按同分母的分式相加减的性质计算，在约分，化为最简二次根式． 【详解】解： = = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的加减运算． 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13. 一次函数的图形如图所示，这个函数可能是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数解析式为，然后根据函数图象即可求解． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵根据图象可知，一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴这个函数的解析式可以是（答案不唯一）． 14. 一次函数的图象向上平移p个单位，平移后函数图象经过，则p的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移p个单位，得， ∵直线经过， ∴， ∴ 故答案为：3． 15. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以，得 ， 检验把代入得 经检验，是增根，所以原分式方程无解． 17. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________； （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 解：原式 解：原式 【答案】（1）分式的基本性质；乘法分配律； （2） 选择甲同学解答： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据两个同学的步骤分析即可； （2）选择一种解法，继续解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知甲同学第一步是通分，依据是分式的基本性质， 乙同学第一步是括号内的每一个分式乘以括号外的，依据是乘法分配律； 【小问2详解】 解：略． 18. “日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元． （1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格； （2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克 （2）桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元 【解析】 【分析】（1）设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元，根据题意列出一元一次不等式，表示出利润y，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设桂味荔枝的单价为元/千克，则糯米糍荔枝的单价为元/千克， 由题意得，， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：桂味荔枝进货单价为20元/千克，糯米糍荔枝进货单价为30元/千克． 【小问2详解】 设桂味荔枝千克，则糯米糍荔枝千克，利润为元． 由题意得：， ． ，随的增大而减小， 当时，（元） 千克 答：桂味荔枝进100千克，糯米糍荔枝进200千克时，商场获利最大为2100元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确建立方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 19. 已知函数． （1）当为何值时，函数的图象在第四象限？ （2）函数图象是否存在一点，使该点到轴的距离为3，若存在，求该点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若直线和的交点在第三象限，求满足的条件． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据第四象限的点可得且，解不等式即可求解； （2）分别将，代入解析式，即可求解； （3）联立和得出，，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，．即且， ∴ 【小问2详解】 解：由题意得：或．当时，， ， 坐标为 当时，， 坐标为 综上所述，直线上到x轴的距离为3的点坐标为或 【小问3详解】 解：由 得，， 解得 20. 如图，的对角线与相交于点，其周长为20，且的周长比的周长小4． （1）求边和的长； （2）若，如图，过点作交于点，且，求和之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，再结合题意可得，联立解方程组即可求出边和的长； （2）根据题意可得，则有，设和之间的距离为，利用平行四边形的面积公式求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：的对角线与相交于点，其周长为20， ，， 又的周长比的周长小4， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：，，， ， ， 设和之间的距离为， ， ， 和之间的距离为． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2） 画图如图， 根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先根据画函数图象的方法画出图象，然后由图象即可求出的取值范围； （）由一次函数的表达式为得，当时，，则，设，所以，然后通过，求出的值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由一次函数的表达式为得，当时，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 22. 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示． （1）甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________； （2）当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________； （3）印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？ （4）若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由． 【答案】（1），，； （2），； （3）印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同； （4） 解：选择乙厂更节省费用，理由如下， 当时，（千元），（元）， ∵， ∴当印制千个证书时，该单位选择乙厂更节省费用． 【解析】 【分析】（）结合图象可看出是关于的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为千元，一次函数的为即为证书印刷费的单价； （）用到千个时的费用除以证件个数计算即可得解，然后利用用待定系数法即可求出乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式； （）相等时，分两种情况列出方程，然后解方程即可； （）将分别代入两个函数，求出费用，然后比较即可． 【小问1详解】 解：设甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为，则，解得：， ∴， 当时，，则甲厂的制版费为千元， 印刷费为平均每个（元）； 【小问2详解】 解：当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个（元）， 当印制证书数量超过千个时，设乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为， 由图可知，当时，，当时，， ∴函数图象经过点和， 代入得，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当印制证书数量超过千个时，由图可知，， 解得：时， 当印制证书数量不超过千个时，由上可得，， ∴， 解得； ∴印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同； 【小问4详解】 略 23. 实践探究：三角形的面积平分直线探究 三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．已知直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，我们来开展以下探究活动． （1）求出、两点的坐标，并计算的面积； （2）请你画出，并尝试画出一条能将分成面积相等两部分的直线，写出这条直线的函数表达式，并说明你这样画的理由； （3）除了（2）中你画出的直线外，是否还存在其他过顶点且能平分其面积的直线？如果存在，请找出所有符合条件的直线并写出它们的函数表达式：如果不存在，请说明理由； （4）结合上述探究，你能总结出“过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线”的一般规律吗？请用文字描述出来． 【答案】（1） ，， （2） ，理由如下： 如下图所示，过原点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； （3） 存在，符合条件的直线为和 （4） 过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据坐标可得和的长度，利用三角形的面积公式求出结果； （2）根据点、的坐标，求出线段的中点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线即为所求； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，的另外两条中线所在的直线也过顶点且能平分其面积，利用待定系数法求出另外两条中线所在直线的解析式即可； （4）过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 【小问1详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， ， ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点和边的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 如下图所示，过点和的中点作直线， 把分成和， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和代入， 可得：， 解得： 直线的解析式为； 综上所述，直线和过顶点且能平分其面积； 【小问4详解】 解：过三角形一个顶点且平分三角形面积的直线一定经过该三角形的顶点和顶点对边的中点，该直线是三角形过此顶点的中线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $