内蒙古鄂尔多斯市第一中学2026届高三下学期二模考试数学试题

**基本信息** 高中数学二模试卷，以冰球运动、对联文化等真实情境为载体，通过19题分层考查集合、函数、几何、概率等知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达能力的综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、三角函数图像等|第3题冰球位移结合向量考查几何直观| |填空题|3题/15分|函数定义域、数列与函数、直线与圆|第13题数列通项与函数结合体现应用意识| |解答题|5题/77分|概率统计（对联）、立体几何（旋转体）、函数导数、椭圆、周期数列|第15题对联文化考概率期望，第19题周期数列探究发展创新意识|

参考答案 题号 1234567& 9 10 11 12 13 14 n 答案 B ADDBCADAB AC BCD (1,2)U(2,3) 20-2W5 2(n+1) 8.因为x∈0， ) ,所以cosx>0.由f'(x)+f(x)tanx>0, 得f"()+)sinx 0,所以'()cosx+f)simx>0. COSx cOsx 令g(x)= ) cosx 则ge0,所以g(在(0写上单调递省所以：日}[冒)周) 2 11.对于A,对制成的圆锥桶，设盖子的半径为，母线长为1，则 r=2 则圆锥桶的高为： 1=4 h=V2-2=V6-4=25,所以圆锥桶的体积巧= ?兀，所以A错误：对于B,当圆锥桶内能放入最 大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切，设此球的半径为，轴截面如图所示，由相似三角形知， 1, 22W3-片 蟹得2邓B正确对于C此时球内水前最大体积为：红3弘5 二元，当圆锥桶内水的 3 33 27 高度为5时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为V3的圆锥，没有水部分的体积=×1×V5=5元 -兀， 3 3 所以当圆锥桶内水的高度为V5时，能装的水的体积，=K-乃-75元， 3π.又因为32575 27 }π，所以将球内的水 倒回圆锥桶内，水面高度一定小于√，C正确；对于D,如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆 锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面，其中E,F,G,J为该圆台的截面图，在圆锥桶底面是一个圆，其中H, (3.5 K是这个圆的直径，2即-号G号欣=1，所以圆台侧面积S= (44 所以小球能接触到圆锥桶内部的最大面积S,=S+S,=9”,D正确：故选BCD. 4 H 14由题可知A为(0,2)，且P、A、Q三点共线，设弦PQ的中点为E(x,y),连接OE,如图，则OE⊥PQ,即OE⊥AE, .OEAE=0,由此可得E的轨迹方程为x2+(y-1)=1,即E的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，设直线1 为x+2y+8=0,则E到1的最小距离为2+8-1=2N5-1.过P、B、Q分别作直线1的垂线，垂足分别为M、R、 5 ◆V N则R是N的中点，Mr+wg=2,即+2+8，出+2为+8=2， 5 5 即k+24+8+k+2%+8=2W5|ER≥25.(2W5-1)=20-2√5. 答案第1页，共4页 15.(1)8联中随机取出4联，有C=70种取法， 1分 取出的4联可以凑成甲对联，则剩余的2联在其它6联中选取，有C=15种取法，…3分 所以这4联可以凑成甲对联的概率为C_153 Cg7014 5分 (2)X的所有取值可能为0,1,2，则 P(X=0)= -Pe4C&24 P(X=2)= 3 35 35 .10分 X 0 1 2 P 35 24 3 3对1+3 80=0 5×26 .13分 16.(1)连接AO,C0, 在△4OC中，由题可得A0=AB+BCcos2=3,B0=BCcos=1,CO=BCsin=V3, 3 3 因为新的几何体是以AO为高的圆锥减去以BO为高的圆锥后剩余的部分，所以新的几何体的体积 V-fx40-80=2a. .4分 (2)如图，取OC的中点F,连接EF,CF, 因为E,F分别为AC,CO的中点，所以BR∥A0,BRA0=3 因为AOL平面OCC,所以EF⊥平面OCC,所以∠ECF为EC与底面OCC所成的角，.6分 所以sin6=sin∠BCF=EI EF CE√EF2+CF2 又为0rc-9所以c--9-Sci-号-号质cr 53V3 8分 22 2’2 所以sin0= 13 CF2 4C2 .10分 9 (3)以O为原点，分别以OC,OC,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,3),B(0,01),C(0,3,0),C(5,0,0）,所以BC=(0,V3,-1,BC=(W5,0,-1,A正=(0,0，-2)， 设平面BCC"的法向量为n=(x,y,),则有 n-Bc=0→5v-z=0,取n=1,5),13分 n.BC=015x-z=0 所以点A到平面BCC'的距离为d= AB.221 ..15分 5 5 答案第2页，共4页 17.(1)当a=0时，f(x)=xlhx,f'(x)=1+lhx.…1分 由f'(四>0得x>,由f(x)<0得0<x<,所以∫x)在0，日 e 上单调选减，在1上单调递4分 (2)当a=0时， 。0,不清足题意产 …5分 所以a>0,此时f'(x)=lnx-a+1.显然f"(x)是(0，+)上的增函数， 且x→0时∫（似）→-0，x→t时了'（似）→+0，所以存在唯一正实数使得∫(G)=0,即l6-+1=07分 此时f()在(Q6)上单调递减，在（化+m)上单调递增由避意了化）-（化-a+分0…9分 将此号1代入上式整理得：日m+≤0，解得：号≤≤2a 比时a-1:s,代入后+上s飞≤20+l化简得：scs1.解得：在S写sc12分 1 2 1 1 令g()-+n)x,其中店≤x≤e,则g(四=2+>0，所以g)是区间店e 上的增函数. 1 所以8 ≤a≤g(e),代入得到a的取值范围是 36,2e …15分 18(1)C(0,-2),耳(-1,0)，右焦点耳(1,0)，TC+T=7d-TF到+2W5C9+25=35, 当且仅当T、耳、C共线（耳介于T、C之间)时取到，… …4分 （2)由1平行于08时，可设直线1：y?+6, 423=256-10 与椭圆联立后得到56r-60c+2562-100=0,X+5-16 …6分 56 4=0可知，1居-c+对广-4-k- 结合韦达定理k-=G+广-4名=4) 15bx25b2,解得6=35 ……9分 56 5 …10分 5 5 (3)当直线1平行于x轴时，PA=PB,因此|OA=OB,此时Q在y轴上，设2(0，m). 当直线1斜率不存在时，不妨设A(0,2),B(0,-2), 则有2APB=-2斗3=PA2B=+2得m=4或m=1（舍).…12分 下面证明点2(0,4)符合条件. 当直线1斜率存在时，设方程为y=r+1,与T:4x2+5y2=20联立得：(4+5k2)x2+10-15=0, -10k -15 设A(5,),B(G),由韦达定理得5+54+5欢，4+5欢 …13分 答案第3页，共4页 24 PA 设百线：y+1,要证网园 即PQ是∠AQB的角平分线，只要证明k4e+ke=0…14分 而k和+0=当，4+当-45-3+，-3》2-36+5) xx2 XX2 而韦达定理可得2x-3(:+x)=0,因而得证， 综上，存在定点Q(0,4),… …17分 19.(1)因为数列{an}是周期为3的周期数列，当4=1，a=2时，4=22-1,44=(21-1)-2， 因为a=,21-0-2-1,解得=-1，或-多2分 经检验1=-1时4=1，a,=2时，4=-3，a4=1,成立：1=。时4=1，a=2时，4=2，a4=1,不成立，舍去； 所以儿=-1.…4分 (2)当n=1时，S=4,又4S=(q+1)2,得4=1；… …5分 当n≥2时，4a=4S-4S-1=a+1)2-1+1，化简，得(a,-12=(a-1+1)2 即a-a-1=2,或A=-0-101≥2).…7分 由an4+1<0,有an=-an-10122), 所以数列{a}为公比为-1等比数列，即g=(1)-1，… …9分 所以a+2=a对任意n∈N都成立，即当aa<0时，{an}是周期为2的周期数列.…10分 (3)假设存在卫、q,满足题设.所以 .们-0m-0.化简，得a阳=a,…11分 4+3=-0+2-a+1 又b.=an+1,则bn3=b.,所以bn}是周期为3的周期数列， n(n=3k) 所以}的前3项分别为2,3，-2.则S=1+1(1=3业-2)，k∈N*,…13分 n+3(=3k-1) 当n=3k时，S-整=1： n 3k n3-71+3 当n=3h-1时，=3张+2 1+3欢一1，因为数列单调递减，所以1<&≤5， n 2 当m=3张-2时，鸟-3论-1=1+1。， 综上所选：1号冬为使p头g恒成立，具要p1,9子所以pe(a小.=[民- …17分 答案第4页，共4页机密⭐启用前 数学 本试卷共19题，共150分，共4页。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，，，且，则冰球位移的大小是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（   ） A．0 B． C．1 D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率 为（   ） A． B． C． D． 7．已知F是抛物线的焦点，A，B是C上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 8．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．如图，点A，B，C是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称 11．如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是 A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．使式子有意义的的取值范围是___________． 13．已知数列的通项公式为，函数，求________． 14．已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 4、 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点．从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）． （1）求这4联可以凑成甲对联的概率； （2）记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望． 16．（15分）如图1，在中，，，E为AC的中点，现将及其内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆O上任意一点． （1）求新的几何体的体积； （2）记与底面所成角为θ，求sinθ的取值范围； （3）当时，求点A到平面的距离． 17．（15分）已知函数，其中. （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 若，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆，的下顶点为C，左焦点为，动直线l与椭圆交于A、B两点． （1）若T是椭圆上的一个动点，求的最大值； （2）设，O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程； （3）若直线l经过定点，坐标平面上是否存在定点Q（不同于点P），使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 A E B C O B A E C O C E B A C′ 图3 图2 图1 A B C D $