第17章 平行四边形 单元提升卷 2025-2026学年 华东师大版八年级下册数学

第17章 平行四边形 单元综合能力提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（　　） A．100° B．60° C．80° D．160° 2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A．15 B．18 C．20 D．22 3．如图， 是等边三角形，点P是三角形内的任意一点， ， ， ，若 的周长为36，则 （　　） A．12 B．8 C．4 D．3 4．如图，四边形中，点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，对于四边形的周长，下列说法正确的是（　　） A．只与线段，的长有关 B．只与线段，的长有关 C．只与线段，的长有关 D．与四边形各边的长都有关 5．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm 9．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．无数个 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图3，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝　 　。 12．如图，在△ABD中，AB=4cm，AD=6cm，AF平分∠BAD，点C在AD上，BC⊥AF于点F．若点E是BD的中点，则EF=　 　． 13．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则　 　． 14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　 　 ． ①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a） 15．如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对. 16．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长． 18．如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知. （1） 求证：四边形是平行四边形； （2） 求椅子最高点到地面的距离. 19．如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是中点，求四边形的面积． 20．如图，将▱ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连结AD、BC． （1）从线段CA1上找出两对相等的线段 （2）求证：△A1AD1≌△CC1B． 21．如图，是等腰三角形，于点，当，时， （1）求AD的长度； （2）求证：AD是BC的垂直平分线； （3）作AB的中点，并连接FD，求DF的长度.(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 22． 如图所示，在▱ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M. （1）求证：AE⊥BF. （2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度. 23．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， （1）求证：． （2）记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连结，若为直角三角形时，求的值． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（　　） A．100° B．60° C．80° D．160° 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC， ∠A+∠C=240°， ∴∠A=120°， ∵AD∥BC， ∴∠B=180°-∠A=60°. 故答案为：B. 【分析】根据平行四边形的对角相等和对边平行可得∠A=∠C，AD∥BC，进而求出∠A=120°，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解. 2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（　　） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【解析】【解答】解：∵点D、E分别是BC、CA的中点， ∴DE＝ AB＝4，CE＝ AC＝5，DC＝ BC＝6， ∴△DEC的周长＝DE+EC+CD＝15。 故答案为：A。 【分析】根据三角形中位线的性质得出DE＝ AB＝4，根据中点的定义得出CE＝ AC＝5，DC＝ BC＝6，从而根据三角形周长的计算方法算出答案。 3．如图， 是等边三角形，点P是三角形内的任意一点， ， ， ，若 的周长为36，则 （　　） A．12 B．8 C．4 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，延长EP、FP分别交AB、BC于G、H． ∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形PGBD和四边形EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC． 又∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，∴△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH． 又∵△ABC的周长为36，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC 36=12． 故答案为：A． 【分析】可过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解答此题． 4．如图，四边形中，点E，F，G，H分别是线段，，，的中点，对于四边形的周长，下列说法正确的是（　　） A．只与线段，的长有关 B．只与线段，的长有关 C．只与线段，的长有关 D．与四边形各边的长都有关 【答案】B 【解析】【解答】解： 点E，F，G，H分别是线段，，，的中点， ， ， 四边形的周长只与线段，的长有关. 故答案为：B. 【分析】根据三角形中位线定理得到，进而得到四边形的周长为AD+BC，据此即可得到答案. 5．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠BAD+∠ABC=180°，故A不符合题意； AC≠BD，故B不符合题意； AB=CD≠BC，故C不符合题意； AB∥CD，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据平行四边形的性质可得对边平行且相等，邻角互补，即可求得. 6．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故A不符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能确定与是否相等， 不能证明与平行， 不能证明四边形是平行四边形， 故B符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故答案为：B． 【分析】设交于点，根据对角线互相平分得到四边形是平行四边形判断A选项；不能证明与全等，即证明与平行，判断B选项；先证明，则，得到是平行四边形判断C选项；先证明，即可得到，证明四边形是平行四边形，判断D选项解题． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， 在Rt△ABC中， ， ∵点E、F分别为AC和AB的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴， 故答案为：A. 【分析】先运用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理即可求解. 8．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　） A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误； B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误； C、4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误； D、10+10＞15，能够成三角形，故此选项正确； 故选：D． 【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形． 9．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1 ， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2， ∴P1P2//CE且P1P2=2CE. 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP . 中位线定理可知∶P1P//CE且P1P=CF . ∴点P的运动轨迹是线段P1P2 ， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值﹒ 当C和F重合时，P点是CD的中点，此时∠BP1P2=90° 故答案为：D. 【分析】由P点的运动轨迹可知，P点始终在DE和CD中点的连线上，则PB最小值是点P到连线的距离，即以CD中点和点B为端点的线段长，在直角三角形中利用勾股定理求解即可。 10．如图，直线l1与l2相交于点O，点P是平面内任意一点，点P到直线l1的距离为2，且到直线l2的距离为3，则符合条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， ∵到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上， 到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上， ∴符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个点. 故答案为：C. 【分析】由于到直线 l1的距离为2 的点在与直线 l1平行且与直线 l1的距离为2的两条平行线a、b上， 到直线 l2的距离为3的点在与直线 l2平行且与直线 l2的距离为3的两条平行线c、d上，它们有4个交点，即为所求. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图3，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝　 　。 【答案】3 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC=8，CD=AB=5， ∠CED=∠ADE， ∵DE平分∠ADC， ∠ADE=∠CDE， ∠CDE=∠CED， CE=CD=5， BE=BC-CE=8-5=3， 故答案为：3. 【分析】首先根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，然后结合角平分线的定义，得到△CDE为等腰三角形，进而得到CE的长，然后用BC-CE即可得到BE的长. 12．如图，在△ABD中，AB=4cm，AD=6cm，AF平分∠BAD，点C在AD上，BC⊥AF于点F．若点E是BD的中点，则EF=　 　． 【答案】1cm 【解析】【解答】解：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠CAF， ∵BC⊥AF， ∴∠AFB=∠AFC， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF， ∴BF=CF，AC=AB， ∵AB=4cm， ∴AC=4cm， ∵AD=6cm， ∴CD=2cm， ∵点E是BD的中点， ∴EF= CD=1cm， 故答案为：1cm． 【分析】先根据ASA证出△ABF≌△ACF，得出BF=CF，AC=AB，求出CD的长，再根据中位线定理得出EF= CD，从而得出答案． 13．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则　 　． 【答案】10 【解析】【解答】∵是的中点， ∴AE=DE， ∵， ∴∠FAE=∠CDE ∵∠AEF=∠DEC， ∴△ADE≌△DCE(ASA)， ∴AF=CD． ∵D是BC的中点， ∴AD是斜边BC上的中线， ∴BD=CD=AD，， ∴AF=BD， ∵AF∥BC， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∴AD=BF， ∵AB=AB，AF=BD， ∴△ABF≌△ABD(SSS)， ∴． ∴， 即， ∴， ∴AC=10． 故答案为：10． 【分析】先利用“ASA”证出△ADE≌△DCE，可得AF=CD，再证出四边形ADBF是平行四边形，可得AD=BF，利用“SSS”证出△ABF≌△ABD，可得，再结合，即，最后求出AC的长即可。 14．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有　 　 ． ①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a） 【答案】　①③　 【解析】【解答】解：延长AE交BC的延长线与点M． ∵CE⊥AE，CE平分∠ACB， ∴△ACM是等腰三角形， ∴AE=EM，AC═CM=b， 同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM． ∴DE=FM， ∵CF=c﹣a， ∴FM=b﹣（c﹣a）=a+b﹣c． ∴DE=（a+b﹣c）． 故①③正确． 故答案是：①③． 【分析】延长AE交BC的延长线与点M，则△ACM是等腰三角形，即可证明E是AM的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解． 15．如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对. 【答案】4 【解析】【解答】解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对. 故答案为：4 【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得平行四边形是中心对称图形，进而即可得出答案. 16．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：如图， 由题意得：点C在直线y＝x上， ①如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝x时，CD最小， 易知直线AB为y＝ x﹣2， ∵AF＝FB， ∴点F坐标为（2，﹣1）， ∵CF⊥直线y＝x， 设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1， ∴直线CF为y＝﹣x+1， 由 ，解得： ， ∴点C坐标 . ∴CD＝2CF＝2× . ②如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝ ＞3 ， ∴CD的最小值为3 . 故答案为：3 . 【分析】讨论两种情形：①CD是对角线，②CD是边；CD是对角线时CF⊥直线y＝x时，CD最小.CD是边时，CD＝AB＝2 ，通过比较即可得出结论. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长． 【答案】解：∵D、E分别是边、的中点 ∴ ∥ ∵ ∴ ∵∥ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴． 【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得，DE//BC，再结合CF//BE，可证明四边形BCFE为平行四边形，可得，最后利用DF=DE+EF计算即可。 18．如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知. （1） 求证：四边形是平行四边形； （2） 求椅子最高点到地面的距离. 【答案】（1）证明：， ， ， ， . .. 四边形是平行四边形. （2）解： 四边形是平行四边形， . 延长交于点， 由（1）可知，.又， 四边形是平行四边形. ，， 则，. ，， 即椅子最高点到地面的距离为. 【解析】【分析】(1)由平行线的性质可得∠ACE=∠ABD=127°，∠DEC=∠GFE=53°，进而得∠ACE+∠DEC=180°，可知BC//DE，即可证明结论； (2)由平行四边形的性质得CE=BD=20cm，延长AC交GF于H，由(1)可知，CH//EF，CE//HF，可知四边形CHFE是平行四边形，得CH=EF=50cm，HF=CE=20cm，求得AH=AC+CH=100cm，GH=GF-HF=60cm，证明∠AGF=90°，再由勾股定理即可求解. 19．如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是中点，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：点是边的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：点是中点，点是边的中点， 是的中位线， ，， ，； ， ， 又， ，， ． 【解析】【分析】（1）利用ASA得到，即可得到，然后根据，得到结论即可； （2）根据中位线的性质得到，然后利用勾股定理求出AC长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可． （1）证明：点是边的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：点是中点，点是边的中点， 是的中位线， ，， ，； ， ， 又， ，， ． 20．如图，将▱ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连结AD、BC． （1）从线段CA1上找出两对相等的线段 （2）求证：△A1AD1≌△CC1B． 【答案】（1）解：相等的线段有：AA1=CC1，A1C1=AC （2）证明：由题意可得：A1D1∥BC， 则∠D1A1A=∠BCC1， 在△A1AD1和△CC1B中 ∵， ∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）． 【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出相等线段即可； （2）利用平移的性质以及平行线的性质和全等三角形的判定方法SAS得出即可． 21．如图，是等腰三角形，于点，当，时， （1）求AD的长度； （2）求证：AD是BC的垂直平分线； （3）作AB的中点，并连接FD，求DF的长度.(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 【答案】（1）解：于点. 在中， （2）证明：在Rt中， 是直角三角形，即. 又是的中线 是BC的垂直平分线. （3）解：如图所示，FD为所求图形. 是BC的垂直平分线，在中，点是边AB的中点 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出AE的长为8，再利用勾股定理求出AD即可； （2）先由DE、EC的长求出CD2，再加上AD2，由即可证出，再结合是等腰三角形， 即可证明； （3）先作AB的垂直平分线，与AB的交点即为F，再根据中位线定理可知DF为AC的一半. 22． 如图所示，在▱ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M. （1）求证：AE⊥BF. （2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC， ∴∠DAB+∠ABC=180° ∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC， ∴ ∴∠BMA=90°， ∴AE⊥BF （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5， ∴CD//AB， ∴∠DEA=∠EAB， 又∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∵AB//CD， ∴∠EAB=∠DEA ∴∠DAE=∠DEA ∴DE=DA=3， 同理可得，BC=CF=AD=3， ∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2， ∴EF=CF-CE=3-2=1 【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论； (2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论. 23．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点， （1）求证：． （2）记面积为，四边形面积为， ①求与的关系式． ②连结，若为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）解：①延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ， ∴． ②根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ， 根据勾股定理得： ， ， 当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ， ∴； 当时，， ∴， 解得：， 此时，不符合题意舍去； 综上分析可知：或3． 【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，从而进行线段的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解； （2）①延长交于点M，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质得到，，，，从而结合平行四边形的面积求出BM，进而得到MH和MG，再根据化简即可求解； ②先根据勾股定理表示出，进而得到，，再根据勾股定即可得到，从而分类讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理即可求解。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $