精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年高一（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算确定复数，再由复数虚部的概念确定复数的虚部. 【详解】由，得. 所以的虚部为. 2. 已知为坐标原点，，，则的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，， 由重心坐标公式可得重心坐标为，即． 3. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由“”可知向量与同向，但模长不一定相等，不满足充分性； 由“”可以得到“”，满足必要性． 4. 如图，在△ABC中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：， 故选：D. 5. 在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由代入，结合余弦定理即可求解． 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 6. 已知中，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知为等腰三角形，设 ,解得，故， 在上的投影： ， 在上的投影向量为． 7. 在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状. 【详解】若，得， 由正弦定理可得， 化简可得，即， 利用辅助角公式可得， 即， 所以或，或者（舍）， 所以一定是直角三角形. 8. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值. 【详解】由点在线段上（不含端点），，得， 则，因此 ， 当且仅当，即，时取得等号， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若为纯虚数，则也为纯虚数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的模和共轭复数概念代入选项计算即可；也可以用特殊值法证明. 【详解】选项A：举反例，，故不成立； 选项B：设（，），， 则，，成立； 选项C：可设（，），则为纯虚数，成立； 选项D：设，在复平面内对应点为，，则，，，则，可判断成立. 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 11. 已知的内切圆半径为，外接圆半径为，外接圆圆心满足，为的外接圆上一动点，且（，），则（ ） A. 为等腰三角形 B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取中点，根据给定条件可得，借助三角形外心性质判断A；结合向量运算、三角形面积公式求解判断BC；利用二倍角公式、数量积定义及运算律列式，借助判别式求出范围判断D. 【详解】取中点，由，得，即， 对于A，外心在上，为中垂线，则，为等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，由，得， 因此，而，B错误； 对于C，由选项B，得，则，C正确； 对于D，由选项B，得， ，由，得， ， 整理得，即， 令，则，即， 因此，解得，则的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知向量，，且，则实数______. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】因为，所以，即. 13. 若向量，满足：，，则与的夹角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积关系化简可得结果. 【详解】记与所成角为，因为， 所以， 解得，所以. 故答案为：. 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化简可得，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得，再结合二次函数性质计算求解. 【详解】由正弦定理可知： ， 故或（舍去），所以， 所以 ， 且由，，，可得， 当时，存在最小值，故有. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法得，再由纯虚数概念求解； （2）根据复数运算法则以及几何意义求解即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 所以且，所以，故； 【小问2详解】 因为复数， 且在复平面内对应的点在第二象限，所以， 故实数的取值范围是. 16. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，. （1）若，求的值； （2）若的面积为，点满足，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理列式即可求出答案； （2）根据求出，进而求得，再将两边同时平方，即可求出答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去）， 经检验，当时，为锐角三角形，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由， 得， 所以或， 因为为锐角三角形，故， 又因为点满足，所以， ， 得. 17. 在等腰梯形中，，，，是的中点，点满足（其中）. （1）若，且（，），求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示直角坐标系，根据数量积的坐标运算得，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以点为的中点，则， 又，所以. 所以，，得； 【小问2详解】 以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示直角坐标系， 由条件可得、、. 所以，， 所以， 因为，所以单调递增， 所以. 18. 在中，，，为的中点. （1）求的取值范围； （2）若，为的中点，为平面上一动点，满足. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2） （ⅰ）取中点， 因为，， 所以，即、、三点共线，且为中点， 因为，所以， 故，在以为直径的圆上， 因为，，所以为等边三角形， 所以，所以， ，， 则 为定值. （ⅱ）10 【解析】 【分析】（1）设，根据结合的范围即可求出答案； （2）（ⅰ）取中点，证明为中点，根据得到，进而得到，再求出，再根据即可求出答案；（ⅱ）求出，令，，求出的取值范围，令，再根据求出的范围，，令，根据的范围求出的范围，分为和两种情况，分别求范围，即可求出答案. 【小问1详解】 设， 则 . 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知： ， 设，.则， 由， 可知，设， 由，有， 所以 ， 令，则， ①当时，， ②当时，， 因为， 所以， 所以， 综上所述，，即， 所以的最大值为10， 当且仅当，即时等号成立，此时，. 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）的面积为，的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. 【小问2详解】 （i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一（下）期中学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知为坐标原点，，，则的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在△ABC中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知中，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若为纯虚数，则也为纯虚数 D. 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 11. 已知的内切圆半径为，外接圆半径为，外接圆圆心满足，为的外接圆上一动点，且（，），则（ ） A. 为等腰三角形 B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知向量，，且，则实数______. 13. 若向量，满足：，，则与的夹角为______. 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 16. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，. （1）若，求的值； （2）若的面积为，点满足，求线段的长. 17. 在等腰梯形中，，，，是的中点，点满足（其中）. （1）若，且（，），求的值； （2）求的取值范围. 18. 在中，，，为的中点. （1）求的取值范围； （2）若，为的中点，为平面上一动点，满足. （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求的最大值. 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $