《5.3分式方程》自主学习同步练习题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》同步练，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的完整知识进阶，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式方程定义、基本解法|单选题1-3直接考查概念，解答题15训练规范解题步骤，夯实运算能力| |中档|参数问题、增根分析|填空题10-11探究解的正负性，解答题17讨论方程无解条件，发展推理意识| |拔高|复杂情境建模、跨知识综合|单选题6结合李白诗句构建行船模型，解答题20以机器人采摘为背景，体现应用意识与创新思维|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把分式方程化为整式方程，方程两边应都乘（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 4．小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 5．已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 6．唐代诗人李白在《早发白帝城》中写下“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”，生动描绘了长江水道的迅疾．假设从白帝城（今重庆奉节）到江陵（今湖北荆州）的水路全程约600里，船在静水中的速度为v里/时，水流速度为10里/时．若船从江陵逆水返回白帝城比从白帝城顺水到江陵多用6小时，根据题意列出的分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．某网约车公司年用万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在年计划用万元继续购入该款新能源汽车，由于产能规模调整，这两年该款新能源汽车的售价产生变化．设年的售价为万元，若满足，则下列说法正确的是（  ） A．该款新能源汽车年比年涨价，多购入辆汽车 B．该款新能源汽车年比年涨价，少购入辆汽车 C．该款新能源汽车年比年降价，多购入辆汽车 D．该款新能源汽车年比年降价，少购入辆汽车 二、填空题 8．当______时，分式的值比分式的值大1． 9．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 10．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为________． 11．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 12．在一个不透明的盒子里有3个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为________． 13．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______． 14．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 三、解答题 15．解分式方程： (1)； (2)． 16．已知关于的方程的解比的解多，求的值． 17．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 18．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 19．列方程解下列问题： 某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元． (1)求每个笔袋和笔记本的售价； (2)促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少．每个笔袋比每个笔记本售价少9元，求促销期间每个笔记本的售价． 20．我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多2秒．已知一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍． (1)求该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，苹果双臂采摘机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比原来减少了a秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作（效率提升一倍），它与一个采摘工人同时工作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a，m的式子表示） 参考答案 1．B 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，逐一检查各选项分母即可判断． 【详解】解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意； C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意； D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了分式方程化为整式方程的方法，掌握找到分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母是解题的关键． 先分解分母，确定两个分母的最简公分母，再用最简公分母乘方程两边消去分母，化为整式方程． 【详解】解：∵分母为 和，且， ∴分母可写为 和， ∴最简公分母为， ∴方程两边应都乘 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数．先将方程两边同乘，转化为整式方程，求出方程的解，再根据方程的解为正数和最简公分母不为0列出不等式，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了列分式方程． 先明确顺水、逆水速度的计算公式，再根据“逆水行驶时间-顺水行驶时间小时”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度， ∴顺水速度为里/时，逆水速度为里/时， ∵时间=路程÷速度， ∴顺水行驶时间为小时，逆水行驶时间为小时， 又∵逆水返回比顺水到江陵多用6小时， ∴可列方程：． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是理解方程中各代数式的实际意义． 【详解】解：∵年售价为万元，是年的售价 ∴年售价比年降价． 又∵表示年购置的车辆数，表示年购置的车辆数 由方程变形得： 即年购置的车辆数比年多辆． ∴选项C正确． 故选：C． 8． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据题意，列出分式方程，通过去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为零即可． 【详解】解：根据题意，得方程：， ， ， ， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 9．4 【分析】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，将代入方程，化简分式后得到，再代入代数式，即，计算得值． 【详解】解：∵是方程的解， 原方程化为 ， 即 ． 整理得 ． ∴， 故答案为：4． 10．1或0 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解，且m为整数， ∴是2的正因数，即或，解得或． 当时，，代入原方程，分母，，符合题意； 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 故整数m为0或1． 故答案为：0或1． 11．且 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x的方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 12．9 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可． 【详解】解：∵摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验是原分式方程的根， 所以， 故答案为：9． 13．且 【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得， 去分母得， 解得， 由解大于得， 解得， 由得，即， 由 得 即， 综上， 且 ， 故答案为： 且 ． 14． 【分析】设第一次买本资料，可表示出第二次购买的数量，根据单价等于总价除以数量得到两次的单价，再利用第二次每本比第一次优惠4元的等量关系列出方程． 【详解】解：设第一次买了本资料， 由题意可知，第二次购买资料的数量为本， 根据单价等于总价除以数量，可得第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元， ∵第二次每本优惠4元，即第一次单价比第二次单价多4元， ∴列方程得：． 15．(1) (2)无解 【分析】分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的根． （2）解： 去分母得到， 解得， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 16． 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于的方程的解是解题的关键．先解方程求得值，再根据题意可求得的解为，将代入方程可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解比的解多， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得， ∴ 17．(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 18．(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 19．(1)每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元 (2)促销期间笔记本售价为27元． 【分析】（1）设每个笔袋的售价为x元，每个笔记本的售价为y元，根据购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元建立方程组求解即可； （2）设小明购买m个笔记本，则购买个笔袋，根据每个笔袋比每个笔记本售价少9元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个笔袋的售价为x元，每个笔记本的售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每个笔袋的售价为16元，每个笔记本的售价为31元； （2）解：设小明购买m个笔记本，则购买个笔袋， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：促销期间每个笔记本的售价为27元． 20．(1)该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒 (2)该机器人比工人多采摘个苹果 【分析】（1）设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒，一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍，再建立方程求解即可． （2）列式进行运算即可求得答案． 【详解】（1）解：设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒． 根据题意，可列方程． 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒． （2）解：（个）． 答：该机器人比工人多采摘个苹果． 学科网（北京）股份有限公司 $