《5.2分式的运算》 同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.2分式的运算》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 3．若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 6．如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．分式，，的最简公分母为______． 9．计算：_________． 10．化简：___________． 11．已知，则_______． 12．已知，则__________． 13．已知，则的值为__________． 14．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 三、解答题 15．分式的计算： (1)； (2)． 16．将，先约分，再通分，并求两分式之和． 17．先化简，再求值：，其中实数、满足等式． 18．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 19．已知甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地． (1)若该汽车先以的速度行驶了，再以的速度行驶了剩下的路程，求该汽车从甲地到乙地的时间； (2)若该汽车采用以下两种不同方式行驶： 方式1：前的路程以速度行驶，后的路程以速度行驶； 方式2：前的时间以速度行驶，后的时间以速度行驶． ①设该汽车以方式1、方式2行驶到达目的地的时间分别为、．请用含a、b的代数式分别表示，； ②当时，哪种方式先到达目的地？请说明理由； 20．在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查分式的运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项的运算正确性． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确． 故选D． 2．A 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键在于熟练掌握确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母因式连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 先把分母因式分解，再根据方法找出最简分母即可． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查分式的混合运算，涉及知识点：分式的通分、因式分解、分式的除法．解题方法是先对括号内的分式通分，化简后根据 “因数=积÷另一个因数”求W；解题关键是正确分解因式并通分，易错点是符号处理或因式分解错误．解题思路：对括号内的分式通分，化简后求其倒数得W． 【详解】解：∵原式为， 其中，且， ∴括号内可写为． 通分后：． 约去公因式（∵）：． ∴方程化为， 解得，且由分母不为零，需． ∴W等于，且． 故选C． 4．D 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 5．C 【分析】此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间 【详解】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵ 合作效率为， 完成50%工作，工作量为，， ∴ 所需时间 = ， 故选：C 6．D 【分析】本题主要考查了分式的运算，先对已知分式等式通分变形，推导得出与的关系，再将所求代数式通分后整体代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴将代入得：， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是对已知条件进行变形，求出的值，再对所求式子进行变形计算． 先将已知的三个分式等式取倒数，得到关于的等式，然后求出的值，最后对所求式子取倒数并代入计算． 【详解】解：已知，等式两边取倒数，可得，即①； 同理，由，取倒数得，即②； 由，取倒数得，即③； 将，可得，所以， 对取倒数，可得， 所以． 故选：B． 8． 【分析】本题考查了最简公分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 确定各分母的系数的最小公倍数和字母因式的最高次幂，然后相乘得到最简公分母． 【详解】解：分母系数，，的最小公倍数为； 字母因式和的最高次幂分别为和， 故最简公分母为， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 10． 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式除法运算法则． 将除法转化为乘法，并利用完全平方公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由得出，将变形为是解题的关键．由已知条件得出，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 13．8 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，再根据分式乘除的运算法则运算即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 14．解：据题可知，原计划使用原材料的天数为天， 技术革新后每天使用的原材料为吨， 现在使用原材料的天数为天， 多用的天数为天． 15．(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； 先计算括号内分式的减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 17． 【分析】首先把分式化简，可得：原式，根据可得：，，再把，代入化简后的分式计算求值． 【详解】解： ， 实数、满足等式， ， 解得：，， 原式． 18．(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据，为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 所以分式是分式的“差分式”； （2）解：， ， 解得； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 19．(1) (2)①t1＝，t2＝；②方式2先到达目的地，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的应用，列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）利用路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）①利用路程除以速度等于时间分别列式计算，即可；②利用作差的方法比较两个分式的值的大小即可得到结论． 【详解】（1）解： 答：该汽车从甲地到乙地的时间为． （2）①由题意可得：， ， ②∵ ∵，，， ∴， 即，所以． 答：方式2先到达目的地． 20．(1)， (2)11 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）利用倒数法可推出，再根据可求出的值，则可根据求出的值； （2）利用倒数法推出，，再把所求式子变形为，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $