解三角形：利用三角函数值域求最值问题、利用基本不等式求最值问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：利用三角函数值域求最值问题、利用基本不等式求最值问题讲义 解三角形：利用三角函数值域求最值问题、利用基本不等式求最值问题讲义 考点目录 利用三角函数值域求最值问题 利用基本不等式求最值问题 考点一 利用三角函数值域求最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 把复杂三角式化成 标准型； 1. 利用 的有界性确定整体取值范围； 1. 结合给定定义域区间，确定角的范围，再求函数最大、最小值。 二、解题思路 1. 用三角恒等变换（二倍角、辅助角公式）化简解析式； 1. 配凑成正弦型函数标准形式； 1. 由 范围求出整体角 的范围； 1. 利用正弦函数单调性和值域，求出最值。 【例题分析】 例1．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 例3．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 例4．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 变式3．（25-26高一下·新疆昌吉·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，则的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； (4)若改成锐角，，求周长的取值范围. 变式4．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 考点二 利用基本不等式求最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 核心公式： 时，； 1. 一正、二定、三相等三大条件： · 一正：各项为正； · 二定：和定积最大，积定和最小； · 三相等：能取到 才能取到最值。 二、解题思路 1. 先判断各项是否为正数； 1. 变形配凑，构造和为定值或积为定值； 1. 验证等号成立条件能否取到； 1. 满足条件直接用不等式求最值，取不到则改用函数单调性求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 例2．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 例3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积的最大值. 例4．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 变式2．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，. (1)求角； (2)求边上的中线的最大值. 变式3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求的取值范围. 变式4．（25-26高一下·广东东莞·期中）在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：利用三角函数值域求最值问题、利用基本不等式求最值问题讲义 解三角形：利用三角函数值域求最值问题、利用基本不等式求最值问题讲义 考点目录 利用三角函数值域求最值问题 利用基本不等式求最值问题 考点一 利用三角函数值域求最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 把复杂三角式化成 标准型； 1. 利用 的有界性确定整体取值范围； 1. 结合给定定义域区间，确定角的范围，再求函数最大、最小值。 二、解题思路 1. 用三角恒等变换（二倍角、辅助角公式）化简解析式； 1. 配凑成正弦型函数标准形式； 1. 由 范围求出整体角 的范围； 1. 利用正弦函数单调性和值域，求出最值。 【例题分析】 例1．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    例3．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 例4．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理，， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，， 可得，解得， 由正弦定理，则， ，，， ； （3）由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，，则，则. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解； （2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域. 【详解】（1）根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. （2）已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积； （2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围. 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 变式3．（25-26高一下·新疆昌吉·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，则的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； (4)若改成锐角，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，根据三角形的内角和为，以及两角和的正弦公式展开，整理后得到关于角的三角函数方程，进而求角； （2）先利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理 得到，联立方程求解和； （3）利用正弦定理将、转化为角、的三角函数值，再根据三角形的内角和为，将三角形的周长转化为角的三角函数，根据角的取值范围求三角形周长的取值范围； （4）利用正弦定理将三角形周长转化为角的三角函数，再根据锐角三角形，求出角的取值范围，进而求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）由，得. 由正弦定理得. ，； ，整理得； ，，即； ，即； ，； ，解得. （2），，由，得，解得. ，，由余弦定理得，得，即. 联立，解得，. （3）设周长为，则. ，，由正弦定理得，解得，. ，，. ，； ，则，，即. 周长的取值范围为. （4）由（3）得周长； 为锐角三角形，且，即且，解得. ； ，则，，即. 周长的取值范围为. 变式4．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图： 因为，又，则， 所以． 解得． （2）因为在的延长线上，故， 所以 ， 因为，所以，得， 所以的取值范围为． 考点二 利用基本不等式求最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 核心公式： 时，； 1. 一正、二定、三相等三大条件： · 一正：各项为正； · 二定：和定积最大，积定和最小； · 三相等：能取到 才能取到最值。 二、解题思路 1. 先判断各项是否为正数； 1. 变形配凑，构造和为定值或积为定值； 1. 验证等号成立条件能否取到； 1. 满足条件直接用不等式求最值，取不到则改用函数单调性求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 例2．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． 例3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再结合，即可得出答案； （2）由余弦定理和基本不等式可得，再由三角形的面积公式即可得出的面积的最大值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 即， 由于，因此， 又因为，所以，则 因为，所以， 则，故 （2）由余弦定理可得， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 则的面积， 故的面积的最大值为. 例4．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得； （2）借助余弦定理、面积公式与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角及边c的值； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余弦定理确定角，利用正弦定理进行转化，结合已求得的角计算边的值； （2）结合余弦定理得到与的关系式，再利用基本不等式或三角函数的有界性求解的最大值. 【详解】（1）由，根据余弦定理， 得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 因为，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为2. 故周长的最大值为. 变式2．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，. (1)求角； (2)求边上的中线的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得，再由余弦定理直接求解即可； （2），两边平方化简，由余弦定理得，代入上式化简再结合基本不等式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：，则， 由余弦定理可得：， 因为，所以. （2）因为， ， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 又因为，则， 故有， 从而，故的最大值为. 变式3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据正弦定理化简等式，然后根据和差的正弦公式求解即可. （2）先利用三角形面积求出，然后利用余弦定理得到，最后联立方程组求出结果. （3）根据余弦定理列出等式，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【详解】（1）根据正弦定理得. 因为，所以， 所以等式变为， 化简得，又，所以， 即，所以，所以，即. （2）因为的面积为，所以，所以①. 根据余弦定理得②，联立①②得. （3）根据余弦定理可得，代入数据得， 即，根据基本不等式的性质可知. 所以，解得当且仅当时等号成立，. 又，所以的取值范围为. 变式4．（25-26高一下·广东东莞·期中）在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $