解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 考点目录 周长及其最值问题 面积及其最值问题 考点一 周长及其最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 依托正弦定理、余弦定理实现边角互化，把三边周长统一为角表达式或边表达式； 1. 利用三角形内角和消元，转化为单一三角函数，借助三角函数单调性、有界性求范围与最值； 1. 也可利用基本不等式，结合两边之和大于第三边约束，求周长最值。 二、解题思路 1. 梳理已知定边、定角条件； 1. 边角互化，将周长化为单角函数或双变量边长式； 1. 锁定角度合理取值范围； 1. 用三角值域或基本不等式求周长最值、取值范围； 1. 验证三角形三边构成条件。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）在中，已知，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由数量积以及三角形的面积公式求解即可. （2）由余弦定理求解即可. 【详解】（1）设角的对边分别为，则由已知，， 因为，所以， 故的面积． （2）由余弦定理， 所以， 所以的周长． 例2．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理求出，进而求出的周长． 【详解】（1），由正弦定理得， ， 又， ， 由，可得， ， ． （2）的面积为5， ， 解得， ， 由余弦定理得， ， ， ， 的周长为． 例3．（25-26高一下·山东泰安·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解即可； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解即可； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算得到，再应用正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理得， ， 即， ，， 又，则，， ，. （2）由，则， 由余弦定理，得，即， 则的周长为. （3）根据正弦定理得，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 所以周长的取值范围为. 例4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 【变式训练】 变式1．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 变式2．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 变式3．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知、、分别为三个内角、、的对边， (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围： 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）余弦定理结合三角形面积公式求出即可； （3）利用正弦定理把周长表示成关于的函数求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 可变成， 又 则，又，, 则，即，又，则， 从而，所以. （2）由的面积为，得， 又由余弦定理，得，从而， 从而，得（负值舍去） 从而的周长. （3）由正弦定理， 从而， 由为锐角三角形，得，解得， 从而,则,， 即的周长的取值范围. 变式4．（25-26高一下·山东枣庄·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边． (1)若，，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （2）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）因为的面积为，即，. 由余弦定理得. 解得.所以周长为. （2）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 考点二 面积及其最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 以 为核心公式，结合正、余弦定理关联边角； 1. 将面积表达式化为单三角函数或边长代数式； 1. 利用三角函数有界性、基本不等式，在角度、边长约束下求面积最值。 二、解题思路 1. 根据已知条件选定面积公式； 1. 用正余弦定理补齐边角关系，统一为单变量； 1. 三角恒等变形或用均值不等式求最值； 1. 结合锐角三角形、角度范围等限制，确定最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 例2．（25-26高三下·福建泉州·阶段检测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求B； (3)若b＝2，当角A最大时，求的面积． 【答案】(1)0； (2)； (3)． 【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出； （2）由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求； （3）由余弦定理可得，进而得，利用基本不等式可求角的最大值，进而可求△ABC的面积. 【详解】（1） ∵， 由正弦定理可得：， ∴， ∴， 两边同时除以cosBcosC， 可得：； （2） 因为，则， 结合正弦定理得，， 在△ABC中，， 即， 整理可得， 所以， 即， 解得，又， ∴． （3） ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时A取到最大值， ∵，∴当A最大时， 此时． 例3．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由已知 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得， 所以； （2）令 解得 即函数的单调递减区间为； （3）因为， 所以， 又，则，解得. 由余弦定理可得， 因为，所以，即，当且仅当时成立，此时为等边三角形符合题意， . 面积的最大值为. 例4．（25-26高一下·山东济宁·期中）中，角所对的边分别为，若 (1)求的值； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)2. (2)证明见解析 (3)6． 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可化简求解， （2）利用余弦定理得，即可结合求证， （3）由和面积公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得 因为，所以，故 即， 由于不能为0，故，所以的值为2. （2）由余弦定理得 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． （3）因为，所以， 又，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，所以面积的最大值为6． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果； （2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积. 【详解】（1）由正弦定理，可得， 因为，所以或. （2）因为为锐角三角形，则， 则， 所以的面积. 变式2．（24-25高三下·青海海东·月考）设分别为三个内角的对边，且 (1)求角的大小； (2)已知，，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得， 由正弦定理可得， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以. （2）因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此. 变式3．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得，从而得到角的大小； （2）由余弦定理和基本不等式即可求出的范围，再根据三角形的面积公式求出面积的范围. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 又因为，则有， 由于，则有，而，所以在中，. （2）由（1）得，，根据余弦定理有， 代入得，即，当且仅当时取等号， 所以，因此面积的最大值为. 变式4．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 考点目录 周长及其最值问题 面积及其最值问题 考点一 周长及其最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1.依托正弦定理、余弦定理实现边角互化，把三边周长统一为角表达式或边表达式： 2.利用三角形内角和消元，转化为单一三角函数，借助三角函数单调性、有界性求范围与最值； 3.也可利用基本不等式，结合两边之和大于第三边约束，求周长最值。 二、解题思路 1.梳理已知定边、定角条件； 2.边角互化，将周长化为单角函数或双变量边长式； 3.锁定角度合理取值范围； 4.用三角值域或基本不等式求周长最值、取值范围： 5.验证三角形三边构成条件。 【例题分析】 例1.(2526高三下重庆阶段检测)在A8C中，已知l4G=15,BAC=-15 (1)求ABC的面积； (②)若BC=7,求ABC的周长， 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 例2.(25-26高一下·河北邢台·期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且3 asinB=4 bcosA. (I)求sinA; (2)若a=9,ABC的面积为5，求ABC的周长. 例3.(25-26高一下山东泰安期中)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且m=(cosB,c0sC), i=-2a+c,b),mi=0. (1)求角B的大小： (2若a+c=4,△ABC的面积为5，求ABC的周长。 4 (③)若b=√5，求ABC周长的取值范围， 例4.(25-26高一下·浙江杭州期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 2a-b=2ccos B (1)求角C: (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√3，求边长a的值； (3)若b=4,求△ABC的周长取值范围. 2 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 【变式训练】 变式1.(2026·河南开封模拟预测)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=4, 4sin 2C =3ccos C. (1)求角A; (2)若ABC的面积为2√3，求ABC的周长. 变式2.(25-26高一下.重庆綦江·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (sin A-sin B)2=sin2C-sin Asin B (1)求角C: (2)若c=6,且AB边上的中线CD=4,求ABC的周长. 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 变式3.(25-26高一下·陕西渭南·期中)已知a、b、C分别为ABC三个内角A、B、C的对边， acosC+3asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求ABC的周长； (3)若a=2,△ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围： 变式4.(25-26高一下山东枣庄月考)己知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边. ①若4=行，b+c=5,ABC的面积为35，求ABC的周长， 2 ②若48C为锐角三角形，A-子，a=1,求4BC周长的取值范围. 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 考点二 面积及其最值问题 【知识点解析】 一、解题原理 1.以S=bsinC为核心公式，结合正、余弦定理关联边角： 2.将面积表达式化为单三角函数或边长代数式： 3.利用三角函数有界性、基本不等式，在角度、边长约束下求面积最值。 二、解题思路 1.根据已知条件选定面积公式： 2.用正余弦定理补齐边角关系，统一为单变量； 3.三角恒等变形或用均值不等式求最值； 4.结合锐角三角形、角度范围等限制，确定最终结果。 【例题分析】 例1.(25-26高一下·四川宜宾·期中)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量 p=(a,c-2b),9=(cosC,cosA,且p⊥g (1)求角A的值： ②若c=3,AD是BC边上的中线，AD=9,求ABC的面积， 2 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 例2.(25-26高三下·福建泉州阶段检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+2 bcosC=0. (I)求tanC+3tanB的值： ②若aABC的面积为，求B: 6 (3)若b=2,当角A最大时，求△ABC的面积. 例3.(25-26高一下江苏南京·期中)已知m=√3 sin@x,cos@x,i=(cos0x,-cos0x)(o>0,x∈R), x=m:疗+)，且川的图象上相邻两条对称锥之何的距离为号 (I)求函数∫x)的解析式； (2)求函数∫(x)的单调递减区间； (3)若锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√3，f(B)=1,求ABC面积的最大值 6 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 例4.(25-26高一下山东济宁.期中)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=3 c.cosA (L)求an的值； tanC (2)证明：a<2c; (3)求ABC面积的最大值 【变式训练】 变式1.(25-26高一下宁夏吴忠·期中)在ABC中，已知a=V3,b=V2,B=45°. (1)求角A: (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 变式2.(24-25高三下·青海海东·月考)设a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 4b2cosC=a2+b2-c2+2bccosA. (1)求角C的大小： (2)已知c=7,a=5,求ABC的面积 变式3.(25-26高二下·广西贵港·期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a cos B=(2c-b)cosA. (1)求角A的大小； (2)若a=4,求△ABC面积的最大值. P 解三角形：周长及其最值问题、面积及其最值问题讲义 变式4.(25-26高一下·山西·阶段检测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,c2+abcos C=bc cos A+accos B+-ab. 2 (1)求C. (2)当c=6时. (i)求ABC周长的取值范围： (i)求ABC面积的最大值. 9