解三角形：周长问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：周长问题讲义 解三角形：周长问题讲义 考点目录 周长问题 周长最值与范围问题 考点一 周长问题 【知识点解析】 1.周长问题的核心原理 依托正余弦定理、三角恒等变换将周长(a+b十c)转化为单一变量表达式，化简后消去所有变量，最终得到 常数；本质是利用已知边角定值条件，推导三边和为固定值。 2.周长问题的处理思路 (1)通过正余弦定理构造方程，直接求出a、b、c三边的具体值，进而求周长； (2)通过正余弦定理构造方程，求出a2+b2与ab的值，利用整体思想求出α+b的值，进而求周长. 【例题分析】 例1.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+3c=3 bcosA,且 ABC的面积为5 2 (I)求cosB的值： (2)若bsinC=22,求ABC的周长 例2.(25-26高三上吉林长春·期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,己知a=10. 0若4=骨b=,求G ②若A-名5csn8=46,求4BC的周长。 解三角形：周长问题讲义 例3.(25-26高二上：云南楚雄·期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin2C=csinB. (1)求C; (2)若ABC的面积为2√3，a+b=V3c,求ABC的周长. 例4.(25-26高二上湖南期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinA,-1),i=1,V3cosA, 且m⊥元. (1)求A; (2)若a=2,且ABC的面积为√3，求ABC的周长 2 解三角形：周长问题讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上·湖南长沙月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, csind+Jasin (1)求角C; (2)若c=√5b,求ABC的周长 变式2.(2026安徽合肥模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 (3a-2b)cosC =2ccos B. (I)求cosC的值； ②若a=6,且48C的接圆的面积为行，求48C的周长。 解三角形：周长问题讲义 变式3.(25-26高三上黑龙江·期末)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 √3 asinC=c(2-cosA (1)求A; (2)若bc=6,a=√7，求ABC的周长. 变式4.(25-26高二上云南昆明月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bcosC =3csin(A+C)-b. (1)求C: ②若c=25,sm46nB=号求A8C的周长. 解三角形：周长问题讲义 考点二 周长最值与范围问题 【知识点解析】 1.周长最值与范围问题的处理思路 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C 若已知a和A,求周长的最值或范围，即求b+c的最值或范围. (1)利用基本不等式求最值 已知a和A,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA①. 又由基本不等式得b2+c2≥2bc②. 联立①、②消元可得bc的范围，进而可以求b+c的最值或范围. (2)利用三角函数的有界性求最值或范围 己知a和A,由正弦定理得a=2R sin 所以b+c=2R·sinB+2 R.sinC=2R·(sinB+sinC)=2R.「sinB+sinA+B) 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 2.解三角形中角度范围的讨论 0<B<π-A (1)若已知A,则 0<C<π-A 0<B< (2)若已知A且△ABC为锐角三角形，则 2,联立A+B+C=元，消元，可解出某角范围， 0<C<2 0<B< (3)若已知A为锐角且△ABC为钝角三角形，则 2 0<C<π 或 π <C<π-A 2 <B<π-A 2 0<A<π (4)若已知A=2B且△ABC为锐角三角形，则0<B<π，联立A+B+C=π和A=2B可解出某角范围. 0<C<π 解三角形：周长问题讲义 【例题分析】 例1.(24-25高一下山东济南期中)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且m=(cosB,cosC), n=(-2a+c,b),m.n=0, (I)求角B的大小： 2若a+c=4,ABC的面积为25，求ABC的周长. (3)若三角形为锐角三角形，且b=√5，求ABC周长的取值范围 例2.2425商-下贤州月考)已知向量a=(3cos3x3sn3,6=（-smx-君corx-》令f1=a-6 (1)求∫(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)己知当x∈ ππ 6'2 时，关于x的方程∫(x-m=0(m∈R)有两个不等的实根，求m的取值范围： 3 3)在锐角三角形ABC中，角4，B,C的对边分别为a,bc,已知f(4)=,a=2,求ABC周长I的取值范围 6 解三角形：周长问题讲义 例3.(24-25高一下·广西南宁·月考)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边 (1)若bcosC+ccosB=2 a cos A,求A; ②若4=子，b+e=5,4BC的面积为35，求ABC的周长： (③)若4BC为领角三角形，4=子a=1,求48C周长的取植范围 例4.(2425高一下·天津南开月考)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,山，c,已知a=b+c cosA cosB+cosC (1)求A; (2)己知a=3, (1)若ABC的面积为5，求A8C的周长： 2 (i)求ABC周长的取值范围. 解三角形：周长问题讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高二下·河南洛阳月考)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3 bsin C-c=ccosB. (1)求B; (2)若b=3,求ABC的周长1的取值范围. 变式2.(24-25高一下山东临祈·期中)己知在锐角ABC中，三边a,b,c的对角分别为A,B,C,且 asinA+csinC bsinB+asinC (I)求角B的值： (2)若b=2,求ABC的周长1的取值范围. P 解三角形：周长问题讲义 变式3.2425商-下-g龙江哈尔能月考)已知a-mm,6-co加 meR,函数 f(x=2a.b-m,且y=f(x在区间 π2π 6’3 上的最大值为√2 (1)求m的值； Q橙角48C,角4一C所对的边分别为a,,c老f8+）-号 6且b=2,求A8C的周长1的取值 范围。 变式4.(24-25高三上·四川绵阳月考)已知函数f(x=cos2ox+V3 sin@xcos0x(o>0)的最小正周期为刀. )求f的值： (②)已知a,b,c分别为ABC中角A、B、C的对边，且满足a=V3,f(A)=1,求ABC的周长I的最大值. 0解三角形：周长问题讲义 解三角形：周长问题讲义 考点目录 周长问题 周长最值与范围问题 考点一 周长问题 【知识点解析】 1.周长问题的核心原理 依托正余弦定理、三角恒等变换将周长（）转化为单一变量表达式，化简后消去所有变量，最终得到常数；本质是利用已知边角定值条件，推导三边和为固定值。 2.周长问题的处理思路 （1）通过正余弦定理构造方程，直接求出、、三边的具体值，进而求周长； （2）通过正余弦定理构造方程，求出与的值，利用整体思想求出的值，进而求周长. 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 例2．（25-26高三上·吉林长春·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由余弦定理，又，， 即，化简得， 解得或（舍去）. （2）因为，由正弦定理可得． 因为，所以，可得. 因为，，则，所以有两解（为锐角或钝角． 当为锐角时，． 所以. 再由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，． 所以. 由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得， 此时三角形周长为. 综上所述，的周长为或． 例3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， ， 故， 因为，所以， 所以， 故. （2）因为的面积为，所以. 又，所以， 则，解得， 所以， 所以的周长为. 例4．（25-26高二上·湖南·期末）在中，角所对的边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）因为，所以，则， 若，则，与矛盾，所以， 所以，又，所以. （2）由（1）知，. 由题意知，则， 由余弦定理， 则，即， 解得，则. 故的周长为6. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 由正弦定理得：， 又，，则有，即， 又，所以. （2）由且，则有， 由余弦定理得， 即， 由，解得， 所以周长为. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为，所以，所以； （2）由（1）得，又，所以， 设的外接圆的半径为， 因为的外接圆的面积为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，解得， 所以的周长为． 变式3．（25-26高三上·黑龙江·期末）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，可得， 根据正弦定理可知，，. 由，则，故，所以. ，所以，故； （2）因为，，由余弦定理得， 所以， 故，解得， 故的周长为. 变式4．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 又,，所以，即， 所以，即，所以． 又，所以， 所以，即． （2）由（1）及正弦定理，得， 则，，故． 所以由余弦定理得，整理得． 所以，即，所以， 故的周长为． 考点二 周长最值与范围问题 【知识点解析】 1.周长最值与范围问题的处理思路 在中，角、、所对的边分别为、 、. 若已知和，求周长的最值或范围，即求的最值或范围. （1）利用基本不等式求最值 已知和，由余弦定理得①. 又由基本不等式得②. 联立①、②消元可得的范围，进而可以求的最值或范围. （2）利用三角函数的有界性求最值或范围 已知和，由正弦定理得 所以 展开之后用合一公式进行化简，进而利用三角函数的有界性求最值或范围. 2.解三角形中角度范围的讨论 （1）若已知，则； （2）若已知且为锐角三角形，则，联立，消元，可解出某角范围； （3）若已知为锐角且为钝角三角形，则或； （4）若已知且为锐角三角形，则，联立和可解出某角范围. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 例2．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，令． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； (3)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 【答案】(1);单调递增区间为. (2) (3) 【详解】（1）， 故周期为， 令，解得， 故单调递增区间为； （2）当时，， 若有两个实数根，所以. 所以的取值范围为：. （3）由可得，则， 故或，故 或， 由于为锐角，故，故， 故， 由于，故， 因此，故， 因此，故. 故周长的取值范围为. 例3．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， ,故 ， 则； （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则， 故, 故周长的取值范围为. 例4．（24-25高一下·天津南开·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由题意及正弦定理可得， 整理可得：， 即， 在三角形中，可得， 即，解得. （2）（ⅰ），可得， 由余弦定理可得， 又，则，解得， 所以三角形的周长为. （ⅱ）, 又，则，当且仅当时取等号， 解得，而，所以， 所以三角形的周长为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·河南洛阳·月考）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由正弦定理，得， ∵，， ∴，即， 又∵，则， ，则； （2）由（1）及正弦定理可知，， ， ， ∴， 又，，∴， ∴， ∴，即， ∴的周长l的取值范围为． 变式2．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知在锐角中，三边的对角分别为，且 (1)求角的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 将其代入，可得 ， 根据余弦定理得， 由此可得，又为锐角，所以； （2）由（1）正弦定理， ， ， 又因为为锐角三角形，所以， 又， ， ，即， 所以， 又，，即， 故锐角的周长的取值范围为. 变式3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，，函数，且在区间上的最大值为. (1)求m的值； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1） ， ， ， 当时，即时，函数取得最大值， 则． （2） ， ，由于为锐角，所以，则， 由，得， ， ， ， ，则， 的周长的取值范围是． 变式4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为最小正周期为，所以，解得， 所以，所以． （2）由得， 由余弦定理有， 即（当且仅当时取“=”）， 故，即为等边三角形时，周长有最大值 2 学科网（北京）股份有限公司 $