第二十章 勾股定理 章末小结 2025-2026学年数学人教版八年级下册

章末小结(第二十章) 考点1　勾股定理 1．(河北保定定州市期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－2 B． C．＋2 D．－＋2 2．如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是( ) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2＞S3 D．S1′＜S3′－S2′ 3．为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻(上下或左右)密码点间的距离均为2 cm，手指沿A→B→C→D→E→A顺序解锁． (1)求按此解锁一次的路径长； (2)请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为(8＋4) cm. 　　　 考点2　勾股定理的证明 4．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是( ) 5．我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b(b＞a). (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：a2＋b2＝c2； (2)若直角三角形ABE的面积为54，c＝15，求小正方形EFGH的边长． 6．(河北邯郸丛台区校级期末)观察、思考与验证 (1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ； (2)如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且点B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程． 　　 考点3　勾股定理的逆定理 7．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是( ) 8．(河北保定阜平县期末)如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西50°方向，则点B在点O( ) A．北偏东40°的方向上 B．北偏东50°的方向上 C．南偏东40°的方向上 D．南偏东50°的方向上 9．(河北张家口张北县校级期末)如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8. (1)求证：∠ADC＝90°； (2)求DF的长． 考点4　勾股定理的实际应用 10．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■m，踏之何忍？”如图，若AB＝17 m，BC＝8 m，则标牌上“■”处的数字是( ) A．6 B．8 C．10 D．11 11．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700 m高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80 m.将其抽象成数学图形，即如图2，OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100 m，AD＝80 m，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为( ) 　 A．80 m B．100 m C．102.5 m D．100.5 m 12．如图，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从A到公路l之间架桥新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得CB＝2 km，AB＝4 km. (1)求新修的公路AC的长及AC比AB少多少千米？ (2)在后期的建设中，村委会在B，C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离. 13．(河北秦皇岛抚宁区期末)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准． 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末小结(第二十章) 考点1　勾股定理 1．(河北保定定州市期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－2 B． C．＋2 D．－＋2 2．如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(B) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2＞S3 D．S1′＜S3′－S2′ 3．为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻(上下或左右)密码点间的距离均为2 cm，手指沿A→B→C→D→E→A顺序解锁． (1)求按此解锁一次的路径长； (2)请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为(8＋4) cm. 　　　 (1)如图1，连接AC. 在Rt△ABC和Rt△ADE中， BC＝＝＝2， AE＝＝＝2， ∴按此解锁一次的路径长为AB＋BC＋CD＋DE＋AE＝4＋2＋2＋2＋2＝(8＋4)cm； (2)如图2，答案不唯一． 　　　 考点2　勾股定理的证明 4．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是(C) 5．我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b(b＞a). (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：a2＋b2＝c2； (2)若直角三角形ABE的面积为54，c＝15，求小正方形EFGH的边长． (1)∵正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b(b＞a)， ∴c2＝4×＋(b－a)2，整理，得a2＋b2＝c2； (2)∵直角三角形ABE的面积为54，c＝15， ∴ab＝54，a2＋b2＝c2＝152＝225，∴ab＝108， ∴小正方形EFGH的面积＝(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝225－2×108＝9， ∴小正方形EFGH的边长为3. 6．(河北邯郸丛台区校级期末)观察、思考与验证 (1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (2)如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且点B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程． 　　 (2)在Rt△ABC和Rt△CDE中， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)， ∴∠BAC＝∠DCE. ∵∠ACB＋∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°； (3)∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠B＋∠D＝180°， ∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形， ∴四边形ABDE的面积＝(a＋b)(a＋b)＝ab＋c2＋ab，整理，得a2＋b2＝c2. 考点3　勾股定理的逆定理 7．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是(C) 8．(河北保定阜平县期末)如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西50°方向，则点B在点O(A) A．北偏东40°的方向上 B．北偏东50°的方向上 C．南偏东40°的方向上 D．南偏东50°的方向上 9．(河北张家口张北县校级期末)如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8. (1)求证：∠ADC＝90°； (2)求DF的长． (1)∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝∠CED＝90°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2＋DE2＝82＋42＝80. 同理，CD2＝20，∴AD2＋CD2＝100. ∵AC＝AE＋CE＝8＋2＝10，∴AC2＝100， ∴AD2＋CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝10. 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵F是边AB的中点， ∴DF＝AB＝5. 考点4　勾股定理的实际应用 10．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■m，踏之何忍？”如图，若AB＝17 m，BC＝8 m，则标牌上“■”处的数字是(A) A．6 B．8 C．10 D．11 11．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700 m高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80 m.将其抽象成数学图形，即如图2，OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100 m，AD＝80 m，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为(C) 　 A．80 m B．100 m C．102.5 m D．100.5 m 12．如图，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村委会治理了池塘并从A到公路l之间架桥新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得CB＝2 km，AB＝4 km. (1)求新修的公路AC的长及AC比AB少多少千米？ (2)在后期的建设中，村委会在B，C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离. (1)∵AC⊥l，∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝＝2(km)， ∴AC比AB少－2＝(4－2)(km)； (2)如图所示，连接AD， ∵光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等， ∴D为BC的中点， ∴CD＝BC＝×2＝(km)， ∴AD＝＝＝(km)， ∴观光亭D到村庄A的距离为 km. 13．(河北秦皇岛抚宁区期末)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准． 　 在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45. 在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45， ∴BC2＋CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， 即BC⊥CD，故该车符合安全标准． 学科网（北京）股份有限公司 $