第二十章 勾股定理 章末复习（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

[答案 P8] 勾股定理及其应用 1．(日照中考)已知直角三角形的三边长a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则(C) A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1＝S2 D．S1，S2的大小无法确定 1题图 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(C) 2题图 A．6 B．9 C．13 D．25 3．如图，一个圆桶底面直径为8 cm，高为12 cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为(D) 3题图 A．8 cm B．10 cm C．4 cm D．4 cm 4．(本溪中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为(D) 4题图 A． B． C． D． 5．(宁夏中考)将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是(B) 5题图 A．2－ B．2－2 C．2 D．2 6．(随州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点．若BD是∠ABC的平分线，则AD＝5． 6题图 7．(扬州中考)我国数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96． 7题图 8．学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆AB长2 m(如图①)； ②将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2 m，到旗杆的距离CE为10 m(如图②). 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 8题图①　 　　8题图② 解：设AB＝x m，则 AC＝(x＋2)m，AE＝(x－2)m. ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，根据勾 股定理，得AE2＋CE2＝AC2， ∴(x－2)2＋102＝(x＋2)2，解得x＝，∴AB＝ m. 答：旗杆AB的高度为 m． 9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，求BD的长． 9题图 解：延长AD，BC，两条延长线相交于点E， 如答图． ∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠ABC＝60°， 9题答图 ∴∠E＝90°－60°＝30°， ∴AB＝BE. ∵在Rt△DCE中， ∠E＝30°，CD＝10， ∴DE＝2CD＝20， ∴AE＝AD＋DE＝4＋20＝24. 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，解得AB＝8， ∴在Rt△ABD中，BD＝＝4. 勾股定理的逆定理及其应用 10．(菏泽中考)△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(D) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 11．在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD的度数等于(C) 11题图 A．130° B．140° C．135° D．145° 12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABD的面积是15． 12题图 13．勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理． 【定理表述】 (1)请结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述)； 【尝试证明】 (2)利用图①中的直角三角形可以构造出如图②所示的直角梯形，请你利用图②证明勾股定理； 【定理应用】 (3)某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道沿着长方形的边AB和BC铺设管道，经过测量，AB＝16米，BE＝12米，已知铺设每米管道需资金1 000元，请帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元． 13题图①　13题图②　　　　　13题图③ (1)解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. (2)证明：S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2， S梯形＝S△ABE＋S△ABC＋S△BED＝c2＋ab＋ab ＝c2＋ab， ∴(a＋b)2＝c2＋ab，∴a2＋b2＝c2. (3)解：在Rt△ABE中，AE＝＝20米， ∴(16＋12－20)×1 000＝8 000(元). 答：绕道后费用增加了8 000元． 学科网（北京）股份有限公司 $