专题13：函数与导数新定义问题讲义（五种角度定义新性质）-2026届高三数学二轮专题复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题13 函数与导数新定义问题 （五种角度定义新性质） 题型一：切线角度定义新性质 【例1】若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为. (1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点； (2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值； (3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用两曲线在处有公切线可得出方程组，求出的表达式，然后由可得，求出方程的三个解，即可得出结论； （2）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，利用已知条件可得出关于的方程组，通过换元法以及构造新函数可求得的值. （3）设函数，其中且，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1）对函数求导可得，对函数求导可得， 所以，可得，又，所以； 代入可得，即， 此时令可得，它的另一个解为， 所以方程可化为， 解得， 因此方程的三个解为， 所以函数与恰有两个公共点分别为 （2）对指数函数求导可得，对函数求导， 设指数函数与对数函数在处有相同的切线， 由题意可得， 令，原方程组可等价为，即可得； 而，即可得， 所以，即，所以，则； 由可得，化简可得； 所以， 因为时，指数函数为单调递减函数，则， 故，即； 构造函数， 则，且不恒为0， 所以函数在上单调递增，且， 故方程的唯一解为； 因此，即实数的值为. （3）设函数，其中且， 求导可得， 令，则， 令可得， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增； 可得； 因为，所以， 由可得在内有一个零点， 在内不妨取，则， 令，其中，则， 易知，因此； 可知在上单调递增，且，因此； 所以函数在内也存在一个零点； 可得在上共有两个零点，不妨设为，且； 当或时，，当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减； 可知在处取得极大值，在处取得极小值； 以下证明，； 设函数与直线的交点为， 所以是函数的一个零点，可得，即，所以； 即是函数的一个零点，即，； 当时，函数为减函数，则函数也为减函数，且； 因为，可得， 因此，所以，且， 可得，； 又因为，且, 可得函数在内有一个零点，也是上的唯一零点， 同理取，且， 所以函数在内有一个零点，也是上的唯一零点， 综上所述，当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，由指数与对数互化的运算法则并利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【跟踪训练】 1. （2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 2. （24-25金山中学高二期末）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. 【小问2详解】 设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. 【小问3详解】 因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 题型二：不等式角度定义新性质 【例2】对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 【跟踪训练】 1.若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 2. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数在区间单调递增； （2）根据新定义，转化为函数，在区间上单调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解； （3）首先根据新定义，转化为，再通过构造函数，，，转化为证明，转化为利用极值点偏移解决问题. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 3. （24-25进才中学高二期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【小问1详解】 结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. 【小问2详解】 假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. 【小问3详解】 由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . （2026届高三金山区一模）现给出“函数”的定义与性质. 4.定义:若函数在区间上连续,且对于区间内任意两数,如果都有成立,则称函数为区间上的“函数”; 性质:若函数为区间上的“函数”,则对于任意和满足的正数,有成立. (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”(不需要说明理由); ①;②. (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积,当且时,求的最小值. 【解析】（1）①不是“函数”； ②是“函数”． （2）任取， 因为是上的“函数”， 所以恒成立． 即：恒成立． 化简得：恒成立． 又因为，所以， 所以． （3）当且时，． 所以函数的图像与轴所围成的图形为边长为，高分别为的无数个三角形． 所以． 所以． 记， 任取， 所以 所以在区间上为“函数”． 所以 ， 当时，等号成立． 所以的最小值为． 5．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 【答案】(1)是的“－函数”，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解； （2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得； （3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”. 【详解】（1）解：由函数，可得， 又由，可得， 因为，所以是的“－函数”. （2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为是的“－函数”，所以， 因为，，所以是的“－函数”， 即，用代替，可得，所以， 令，则，所以（为常数）， 所以（为常数） （3）解：由函数，， 可得，， 设，可得， 设，则， 则，所以递增，即递增，且，， 存在使得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，即， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以当时，是的“－函数” 6. （25-26虹口区二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” （1）分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） （2）设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； （3）若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【答案】（1）在上具有“性质”； 在上不具有“性质”. （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断函数和在上是否满足“性质”. （2）分情况讨论函数在不同区间上的单调性，结合“性质”的定义确定的取值范围. （3）先证明集合非空，再通过反证法证明集合是无限集或单元素集. 【小问1详解】 因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”； 因为，则函数在上不具有“性质”. 【小问2详解】 当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”. 当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”. 当时，函数在区间不单调， 在不具有“性质”. 当时，此时在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上具有“性质”， 则需满足或，即或， 整理得或，解得或或， 又，得或. 当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 证明：因为函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调. 若单调递减，假设中至少有2个元素，则，单调递减， ，矛盾，因此最多一个元素. 若单调递增，假设中至少有2个元素，则. 对，若 ，由于单调递增，，矛盾 若，由于单调递增，，矛盾. 因此对，必有，即，是无限集. 令是连续函数，若单调递增： 若对所有都成立，则，与矛盾. 若对所有都成立，则，与矛盾. 故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空. 若单调递减： 当，，， 由零点存在定理，使，非空. 综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证. 题型三：方程角度定义新性质 【例3】（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】(1)函数具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 （2）解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． （3）证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 【跟踪训练】 1.（2026届高三普陀一模）设函数的定义域为,导函数为,对于实数,若存在,使得成立,则称函数具有性质. （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证:该函数具有性质的充要条件是. 【解析】（1）由得, 设, 当时,, 又 则存在,使得,即 故函数具有性质 （2）由得,, 因为函数具有性质, 所以存在实数,使得, 即,即, 设,则, 令,解得或,列表如下: 0 - 0 + 0 - ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 4分 因为函数具有性质时,的值恰有三个, 所以满足条件的的取值范围是.6分 （3）由得，， 由得,,设, 先证充分性,当时,, 考虑函数,则, 当时,;当时,;当时,. 则函数在(0,1)上是严格减函数,在上是严格增函数,在时取得极 小值0. 因此,当时,,函数具有性质； 当且时,, 且当时,,则, 则存在满足,即成立, 则函数具有性质. 再证必要性,即证若函数具有性质,则. 由得,, 若,则,与已知矛盾； 若,设,则, 即函数是严格减函数,则函数是严格增函数, 又, 则存在使得,即, 当时,,即函数是严格减函数; 当时,,即函数是严格增函数. 则, 需证,令,则, 即. 则, 则不存在,使得成立,与具有性质矛盾 综上所述,函数具有性质的充要条件是. 题型四：函数性质角度定义新性质 【例4】（25-26华师大二附中高二期中）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【小问1详解】 证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. 即最小导周期为4. 【小问2详解】 ，， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. 【小问3详解】 ，， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 【跟踪训练】 1. （2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 【答案】（1）不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点； （3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解. 【小问1详解】 不具有“性质”．理由是：，，； 具有“性质”．理由是：，． 【小问2详解】 法一：，则， 由可得对恒成立． 令，得 ①；令，得 ②． 得，因此，从而恒成立， 即有且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 由，可得， 所以， 即， 所以，所以且，所以且且． 由得，所以，当时，令可得，列表如下： x + 0 0 + 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 【小问3详解】 令，因为具有“”性质 ， ， （为常数）， 法一： ① 若，是以为周期的周期函数； ②若，由， 当时，，这与矛盾，舍去； ③若，由， 当时，，这与矛盾，舍去． 综上，．，所以是周期函数． 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）， 若存在，这． 这与矛盾． 若存在，这． 这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去． 综上，．，所以是周期函数． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2. （2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1．构造对称函数； 2．比值换元； 3．对数平均不等式. 3. （2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 解：（1）函数在区间严格减, 所以函数的值域为， ……2分 进而函数的上确界为2. ……4分 （2），， ……2分 由已知，当时，恒成立， ………4分 因为，所以. 所以的最大值为4 ………6分 证明：（3）因为函数有上界，设. 假设存在，使得，设， 因为,所以在上严格增，进而 得，， ……3分 取，且， 由，得① 由，得② ①式与②式矛盾，所以假设不成立， 即对于任意，均有. ……6分 令，则 因为当时，， 所以在上严格增， 因为的值域为， 所以函数的上确界为0. ……8分 4.（25-26上师大附中高二期末）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. 【小问2详解】 函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. 【小问3详解】 当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 题型五：图形几何性质角度定义新性质 【例5】（24-25青浦区高二期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有“对称互补”关系，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； 【小问2详解】 由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 【小问3详解】 由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 【跟踪训练】 1. （24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 2．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 【答案】(1)是，不是 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 由解得， 故A是“P－可见”的. ， 由解得或， 故B不是“P－可见”的. （2）,， 则在有且仅有1解， 整理得，为此方程的解， 则在无解， 设， 对称轴， 当时，在单调递增， 由于，，则此时不符合题意， 当时，在单调递减， 由于，，则此时不符合题意， 当时， 由于，则需， 解得， 综上 . （3）任取，，则， 设，， 则， 由于函数的图像是一条连续不断的曲线，则函数的图像是一条连续不断的曲线. 必要性：若函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 则在有且仅有1个零点， 则时，恒正或恒负， 若恒正，即任取，， 则， 则， 则函数在上严格增， 同理若恒负，可得函数在上严格减. 充分性： 若函数在上严格增， 则任取，有， 则， 即， 则在有且仅有1个零点， 则函数的图像上任意一点都是‘可见’的， 若函数在上严格减同理. 3.（24-25七宝中学高二期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【小问1详解】 因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①， ②； 【小问2详解】 即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. 【小问3详解】 由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 4.若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 【答案】(1)偶函数， (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分析函数的奇偶性，结合阶临界直线的概念可得结果； （2）利用导数分析函数的单调性，结合阶临界直线的概念可得结果； （3）利用导数分析函数的单调性，推导出当时，，，可得，求出函数在处的切线方程，结合阶临界直线可证得结论成立. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数， ，故当时，函数取最小值， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 如下图所示： 函数的一条阶临界直线方程为. （2）若，， 令，， 令，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以不存在、，使得， 综上可知函数不存在阶临界直线. （3）当时，， 令，， 所以在上单调递减， 因为，，所以当时，， 因为， ，， 所以， 则存在，使， 当时，，，所以， 所以， 因为函数在处的切线方程为， 函数在处的切线方程， 又因为， 所以 ， 所以， 所以直线与直线重合， 则、、、、为方程的解， 且， 又因为可趋近于无穷大，所以存在直线为函数的无限阶临界直线. 5．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 1．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【详解】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 2．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；3； (2). 【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值； （2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，然后根据一元二次方程的实根分布求解. 【详解】（1）具有“性质”， 对恒成立，是偶函数. 当时，， 所以当时，则， 由得，当时 ， 因为是增函数，在单调递增， 所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此，在上的最大值为. （2）函数具有“性质”，则， 当时，，所以当时，， 于是， 如下图所示： 若有8个不同的实数解，令， 则有两个不等的实数根，，且，， 所以，所以. 所以t的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解. 3. （2026松江区二模）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. （1）判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； （2）若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； （3）若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【答案】（1）是，证明见解析 （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）通过构造函数证明在上即可得到结论； （2）将原不等式转化为两个不等式，构造两个辅助函数并求导，结合绝对值上界函数的定义判断它们的单调性，最后利用单调性导出结论； （3）先判断出在上单调不减，然后根据最值信息得到在和时均为常数，再利用和的约束关系得到此时也为常数，对于时的情况，则通过构造和的差，并利用其单调性以及端点值相等得到其为常数，综合所有情况即可得结论. 【小问1详解】 在上，，设，求导得， 当时，，故，故在上单调递增，因此， 即，满足定义，所以是在该区间上的绝对值上界函数. 【小问2详解】 成立， 等价于和同时成立， 设，，由题设可知即， 由此可得，，所以和在上都单调不减， 所以，有，则， 也即成立， 整理得， 同理也即成立， 整理得，于是原不等式得证. 【小问3详解】 结论：，，证明如下： 由题设可知，，因此，在上单调不减， 那么当时，但是，所以即为常数， 所以，又根据，必有，所以； 当时，但是，所以即为常数，同理可得； 当时，利用（2）中构造的，因为单调不减， 又，， 所以也即在上恒成立， 综上所述，，. 【点睛】这一类题目通常利用构造函数寻找突破口，需要时刻注意原函数和导数之间的对应关系. 4. （25-26崇明区二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； （3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围； （2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立； （3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数 【小问1详解】 为减函数，则即恒成立，所以. 【小问2详解】 因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. 【小问3详解】 设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 5. （23-24上师大学附中高二期末）给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”. （1）证明：函数对于不具有“确界保持性”； （2）判断函数对于是否具有“确界保持性”； （3）若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）具有 （3）3 【解析】 【分析】（1）令，以特殊值说明函数不满足值域为，即可证明结论； （2）根据对于具有“确界保持性”的定义，说明满足定义中的条件，即可得出结论； （3）根据的结构特点，先确定时，函数符合题意，再分别说明和时，函数值域不符合题意，即可确定答案. 小问1详解】 证明：令， 因为，不满足函数值域为， 故函数 对于不具有“确界保持性”； 【小问2详解】 函数对于具有“确界保持性”； 理由如下： 令， 在上单调递减，且当时，， 故函数对于具有“确界保持性”； 【小问3详解】 令， 根据“确界保持性”定义可知在上单调递减， 故，即的值域为； 由于 ， 可以看到，若当，即时， 则可化简为，且在上均单调递减， 故先证明符合题意； 当时，， 先证明在上单调递减， 设， 则 当时，， 故，， ， 则， 即， 故，即， 所以在上单调递减； 故， 又因为， 当x趋向于无限大时，均无限接近于0，且大于0， 即，且无限接近于0， 故的值域为， 故函数对于具有“确界保持性”， 当时，， 取，则，不满足函数值域为， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， 则， 取，则，不满足函数值域为， 此时，不符合题意，舍去； 综上，当时，函数对于具有“确界保持性”. 【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，难点在于（3）中根据函数对于具有“确界保持性”，求解参数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符合题意，即可解决问题. 6．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 7．（2024格致中学模拟）定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 【答案】(1)与具有C关系，理由见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，计算得解； （2）根据题意，在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，由，即，利用导数判断矛盾；若在上恒成立，转化为，令，利用导数求出的最大值，得解； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【详解】（1）与具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得， 又，，，所以， 即，即得，解得，所以与具有C关系. （2）因为，， 令，， 因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，则，即， 又当时，， 令，所以，令，所以， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立. 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. （3）因为，， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时， 因为，，所以， 所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当，；当，； 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，从而得解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题13 函数与导数新定义问题 （五种角度定义新性质） 题型一：切线角度定义新性质 【例1】若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为. (1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点； (2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值； (3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 【跟踪训练】 1. （2025上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 2. （24-25金山中学高二期末）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 题型二：不等式角度定义新性质 【例2】对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【跟踪训练】 1.若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 2. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 3. （24-25进才中学高二期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． （1）构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； （2）求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； （3）若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 4.定义:若函数在区间上连续,且对于区间内任意两数,如果都有成立,则称函数为区间上的“函数”; 性质:若函数为区间上的“函数”,则对于任意和满足的正数,有成立. (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”(不需要说明理由); ①;②. (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积,当且时,求的最小值. 5．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”． (1)判断是否为的“－函数”，并证明； (2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）； (3)若，，，，证明：是的“－函数”． 6. （25-26虹口区二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” （1）分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） （2）设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； （3）若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 题型三：方程角度定义新性质 【例3】（2025·上海普陀·一模）设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； (3)若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【跟踪训练】 1.（2026届高三普陀一模）设函数的定义域为,导函数为,对于实数,若存在,使得成立,则称函数具有性质. （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证:该函数具有性质的充要条件是. 题型四：函数性质角度定义新性质 【例4】（25-26华师大二附中高二期中）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【跟踪训练】 1. （2024徐汇区一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．） 2. （2025届高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 3. （2024长宁区二模）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称函数有上界，实数的最小值为函数的上确界. 记集合在区间上是严格增函数. （1）求函数的上确界； （2）若，求的最大值； （3）设函数的定义域为.若，且有上界，求证：，且存在函数，它的上确界为0. 4.（25-26上师大附中高二期末）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 题型五：图形几何性质角度定义新性质 【例5】（24-25青浦区高二期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1. （24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 2．（25-26高三上·上海·期末）已知区间，定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数的图像上，点A在函数的图像上．若线段PA与函数的图像有且仅有一个公共点，则称点A是“P－可见”的． (1)若，，点P的坐标为，判断点与是否是“P－可见”的； (2)已知为实数，若，，点P的坐标为，点是“P－可见”的，求m的取值范围； (3)若，点P的坐标为，证明：“函数的图像上任意一点都是‘可见’的”是“函数在上严格增或严格减”的充要条件． 3.（24-25七宝中学高二期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 4.若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线. (1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程； (2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由； (3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线. 5．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 1．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 2．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 3. （2026松江区二模）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. （1）判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； （2）若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； （3）若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 4. （25-26崇明区二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． （1）若，求实数a的取值范围； （2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； （3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 5. （23-24上师大学附中高二期末）给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”. （1）证明：函数对于不具有“确界保持性”； （2）判断函数对于是否具有“确界保持性”； （3）若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值. 6．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 7．（2024格致中学模拟）定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $