专题09：圆锥曲线最值与范围问题五种考法讲义【圆锥曲线综合】-2026届高考数学二轮复习冲刺【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题09 圆锥曲线最值与范围问题五种考法 题型一 距离、长度的最值范围问题 1. （2025上海市格致中学高三三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）利用点差法，结合斜率的坐标公式推理得证. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合已知求出斜率的范围，再将表示为的函数，借助对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. 【小问3详解】 当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 2. （25-26金山区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； （3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； （3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可. 【小问1详解】 由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. 【小问3详解】 设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 3. （25-26闵行区二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. （1）求的方程； （2）记的面积为，求证：； （3）求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最大值，直线方程；最小值，直线方程 【解析】 【分析】（1）根据椭圆已知的焦距和离心率求出参数，代入椭圆标准方程得到结果； （2）将表示为点坐标的线性式，结合椭圆方程的参数形式，利用余弦函数的值域证明结论； （3）设过点的直线参数方程，利用参数的几何意义将转化为，结合韦达定理得到表达式后求最值. 【小问1详解】 由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； 【小问2详解】 设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以，  因此​，得证. 【小问3详解】 设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 4. （25-26普陀区二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. （1）若点的坐标为，求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. 【小问3详解】 因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 5．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即， 解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 题型二 三角形或四边形面积的最值范围问题 6．（2026·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据离心率公式即可求解； （2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，化简即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，可得面积的表达式，进而根据中点关系以及三角换元，根据判别式求解的范围，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）中，，故离心率为， （2）设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. （3）设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 7. （2026宝山区二模）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. （1）求抛物线的标准方程； （2）证明：直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【小问1详解】 由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； (3)存在，最小面积为8. 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【详解】（1）由椭圆定义得，， 的周长为，故. ，， . （2），，故. 若，设，则，解得， 点的坐标为. 若，设，则，解得或（舍），点的坐标为. 综上, 点的坐标为.     （3）由题知：，. 直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由得， ，故. 点在直线上，， 直线的方程为，即. 由得， 由得，且. 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， 直线的方程可化为，.     点在线段的两端，， 点在直线上， ， 四边形的面积为， . 令，， 在上单调递增， 当时，. 10. （2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）0； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【小问1详解】 设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． 【小问2详解】 由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． 【小问3详解】 由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到得到四边形的面积为关键. 11．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 12．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点的直线交椭圆于两点，由椭圆性质得，结合题意得到，即可求出离心率； （2）若，结合（1）得到和椭圆的方程，设点，线段的中点，列方程组计算得到点，再根据直线的斜率公式计算即可. （3）根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围. 【详解】（1）设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. （2）若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； （3）由（1）可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得 从而有， 所以. 因为，所以，. 由与相似， 所以 令，则，从而， 即的取值范围是. 题型三 斜率有关的最值范围问题 13．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 14.（2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】20. 解析 22. 【解析】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. 【小问2详解】 由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得近似值为0.54. 【小问3详解】 由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 15．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 (3) 【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标； （3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. （2）因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. （3）当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 题型四 向量数量积的最值与范围 16. （24-25高三上·天津·期末）已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； (3)若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可； 将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求证即可； 设出直线AM和BM的方程，求出D，E，H两点的坐标，利用向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】（1）因为点在椭圆C上，且离心率为 所以 解得， 则椭圆方程为； （2）证明：联立消去y并整理得 此时 设， 由韦达定理得， 因为 又O到直线PQ的距离且 所以 综上，的面积为定值，定值为； （3）因为直线AM，BM的斜率分别为且满足 设直线AM的方程为 令，可得，即， 同理得， 因为直线DH的方程为 令，解得，即， 所以 当时，取到最大值，最大值为 则存在最大值，最大值为 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线的综合题，难点在于复杂的运算，特别的，基本都是有关字母参数的运算，因此需要学生具备较强的计算能力. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 18.（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 19.已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质以及直角三角形可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0即可求解， （3）根据韦达定理以及向量垂直的坐标关系，可得直线经过定点，即可利用等面积法求解. 【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， （2）由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 （3）由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 题型五 参数的最值范围问题 20．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 21. （2024青浦区高三三次学业监测）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）存在；或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. 【小问2详解】 由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. 【小问3详解】 由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 22．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 23. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 24. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （3）设，联立方程求出点Q的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3， 则点横坐标为2，则，解得； 【小问2详解】 当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为，由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； 【小问3详解】 如图， 设，则， 故直线的方程为， 令，可得，即， 则，依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意. 故实数的取值范围为. 25．（2026·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)2 (3). 【分析】（1）求得渐近线方程，得到倾斜角即可求解； （2）设直线方程为：，联立渐近线方程求得坐标，结合直角三角形面积公式即可求解； （3）由，得到，即，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由双曲线方程可得渐近线方程为， 两条渐近线的倾斜角分别为， 所以两条渐近线的夹角为； （2）由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 所以， 所以当时，取最大值，此时面积最小， 即； （3） 由题意直线斜率不为0，故设方程为：， 联立解得：即 联立解得：即， 联立，消去得：， 所以， 因为， 所以 所以， 即， 即， 即，因为，所以， 又P、Q两点在的右支上，所以，， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题09 圆锥曲线最值与范围问题五种考法 题型一 距离、长度的最值范围问题 1. （2025上海市格致中学高三三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 2. （25-26金山区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； （3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 3. （25-26闵行区二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. （1）求的方程； （2）记的面积为，求证：； （3）求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 4. （25-26普陀区二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. （1）若点的坐标为，求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 5．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 题型二 三角形或四边形面积的最值范围问题 6．（2026·上海金山·一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 7. （2026宝山区二模）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. （1）求抛物线的标准方程； （2）证明：直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 9．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. (1)已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； (2)设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; (3)设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 10. （2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 11．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 12．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 题型三 斜率有关的最值范围问题 13．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 14.（2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 15．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 题型四 向量数量积的最值与范围 16. （24-25高三上·天津·期末）已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； (3)若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 18.（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 19.已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 题型五 参数的最值范围问题 20．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 21. （2024青浦区高三三次学业监测）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 22．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 23. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 24. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 25．（2026·上海闵行·一模）已知双曲线，直线过点，，且与的右支交于P、Q两点，与的两条渐近线分别交于A、B两点，其中A、P在第一象限，B、Q在第四象限． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)若为的右焦点，求的面积的最小值； (3)若，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $