专题10：圆锥曲线的探究性问题五种考法讲义 【圆锥曲线综合】-2026届高考数学二轮复习【压轴题全突破】（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题10 圆锥曲线探究性问题五种考法 题型一、参数存在问题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在符合题意. 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定点坐标，设点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解的坐标. （3）先确定直线的方程，联立与双曲线得韦达定理，联立与得点坐标，计算和并化简对比，得出常数的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 2. 已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）将已知点的坐标代入题干中所给的方程，可得答案； （2）根据向量的数乘，可得中点的横坐标，利用点差法，建立直线斜率与中点坐标的等量关系，结合直线斜率的公式，建立方程，解得中点坐标以及斜率，再利用点斜式方程，可得答案 （3）由（2）可得直线的斜率与直线斜率的等量关系，求得点的坐标，从而求得直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系，可得直线与直线的位置关系，根据向量加减法的几何意义，可得答案. 【详解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 3．（2026·江苏盐城·二模）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据离心率得、的关系，然后将点A的坐标代入椭圆方程，联立方程即可求解； （2）由角平分线的性质角平分线上的点到两边的距离相等可求解； （3）设出直线方程并联立椭圆方程，根据韦达定理表示出化简求解. 【详解】（1）由，可得， 将点代入椭圆方程得， 联立可得，，故椭圆方程为； （2）由（1）知，，，则直线方程为. 直线方程为. 设角平分线l上的一点为，则， 得或， 因为角平分线l的斜率为正，所以直线l方程为； （3）设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 代入，，整理得， 所以当时，使得恒为定值. 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． (1)当时，若，求的值； (2)过点､分别作直线：的垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或． (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先设直线，再联立得出韦达定理，再应用数量积坐标公式代入计算求解； （2）（i）设，再分和两种情况计算证明；（ii）先根据已知化简得，再结合（i）计算求解. 【详解】（1）设， 联立直线方程与椭圆方程， 得到方程， 由韦达定理得，， 代入得 ， 故，即或． （2），且，    （i）．设 若，则 故，故． 若， 故， ， ， ， 故，故． （ii）．由于，从而． 由（i）有， 故． 所以，即， 即， 解得， 结合即得． 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为； （2）设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在． ①当时，，又是的中点， 所以，所以，此时． ②当时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得， 所以直线的方程为， 把代入得． 所以，则． 由二倍角公式可得． 因为直线的斜率及， 所以，则． 因为，， 所以． ⅱ）当在轴下方时，同理可得． 故存在，使得． 题型二、点存在问题 6. 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）由椭圆的方程为，得标准方程为，离心率. （2）设， 当时， 此时；（或者可由） 由对称性，不妨设，且在第一象限，则 此时； 综上，的面积为或. （3）设，则直线， 由已知. 同理：. 因而，是方程的两根，所以. 得 ，由在第一象限得. 7．已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； (3)若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可； 将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求证即可； 设出直线AM和BM的方程，求出D，E，H两点的坐标，利用向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】（1）因为点在椭圆C上，且离心率为 所以 解得， 则椭圆方程为； （2）证明：联立消去y并整理得 此时 设， 由韦达定理得， 因为 又O到直线PQ的距离且 所以 综上，的面积为定值，定值为； （3）因为直线AM，BM的斜率分别为且满足 设直线AM的方程为 令，可得，即， 同理得， 因为直线DH的方程为 令，解得，即， 所以 当时，取到最大值，最大值为 则存在最大值，最大值为 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线的综合题，难点在于复杂的运算，特别的，基本都是有关字母参数的运算，因此需要学生具备较强的计算能力. 8．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，下顶点为，是线段的中点．已知． (1)求椭圆方程； (2)设为椭圆上的点，若，求的取值范围； (3)过点的动直线与椭圆有两个交点在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设，由，可得，，即可求得结果； （3）设该直线方程为：，设，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据，可求的范围. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 其中为半焦距，，则， 所以，，解得， 故，故椭圆方程为． （2）设，由，有，故而，所以， 所以，又， 所以的取值范围是 （3）①若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设，， 化简整理可得， 故，， ， ， 恒成立，故，解得， ②若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时．若恒成立．结合（1）（2）可知，． 故点纵坐标的取值范围为． 8. （2024学年宜川中学高三模拟）如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点. （1）若直线经过焦点，求此时线段的长度； （2）若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）3； （2）最大值为8，直线：； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标及直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长. （2）令椭圆左焦点为，利用线段和差大小关系及椭圆定义推理求解. （3）由特殊位置确定点位置及坐标，再就一般情况推理求解. 小问1详解】 依题意，，直线的斜率为，方程为， 由消去得，解得， 所以线段的长. 【小问2详解】 设椭圆的左焦点为，则， 于是，当且仅当直线过左焦点取等号， 所以周长的最大值为8，此时直线方程为. 【小问3详解】 存在点满足题意， 假设存在满足题意的定点，当直线平行于轴时，则，，两点关于轴对称， 则点在轴上，不妨设， 当直线垂直于轴时，，，， 解得或（舍去，否则点就是点），即点的坐标为； 对于一般的直线：，也满足题意. 因为，由角平分线定理知，轴为的角平分线，则只需. 设，，则，， 则，消去可得，， 则，， 于是，， 两式相加得，， 即从而，假设成立. 即存在与点不同的定点，使得恒成立. 9.已知直线与抛物线交于A，B两点，且. (1)求p； (2)M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. (3)若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）联立给定的直线与抛物线方程，利用弦长公式求出. （2）由（1）求出，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、数量积的坐标表示，并求出三角形面积的函数关系求解. （3）假定存在，设出直线方程，重心抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式求解. 【详解】（1）设，由，得， 方程的判别式， 则，， 因此，而，所以. （2）由（1）得抛物线，焦点，直线不垂直于轴， 设直线：，，， 由，得 由方程的判别式， 得，，， 由，得，即， 整理得，即， 整理得，而，则， 由，解得或，或， 设点到直线的距离为，则， ， 因此的面积， 当且仅当时取等号，所以的面积最小值为. （3）假设存在这样的点满足条件，设， 由点到直线PQ、PR的距离相等，得为的角平分线，即， 于是得直线的斜率互为相反数，而直线QR的斜率不能为零， 设直线QR的方程为，由得， 则，， ，整理得， 即，则，而不恒为0，因此，此时， 所以存在点到直线的距离相等. 10．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）存在，. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）（i）设， 由得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得，所以点的坐标为. 11.以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”．已知椭圆的焦距为，短轴长为． (1)求C及C的辅助圆的方程． (2)已知与y轴平行，且不经过原点O的直线DE与C及C的辅助圆分别交于D，E两点（D，E均在同一个象限），过E作C的辅助圆的切线与x轴交于点F，且直线OD的斜率为k，记的面积为S，证明：． (3)已知斜率不为0，且不经过原点O的直线l与C交于A，B两点，判断在C的辅助圆上是否存在点P，使得四边形是平行四边形．若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，短轴长为2． 可得，所以，所以， 所以椭圆的方程为，则椭圆的辅助圆的方程为. （2）由题意，不妨设在第一象限， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 解得，所以，即， 将代入，可得，所以，即， 则点， 又因为为圆切线，可得切线方程为， 令，可得，即， 所以的面积为. （3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 若四边形是平行四边形，当且仅当点满足，即， 联立方程组，整理得， 则， 所以， 将代入，可得， 整理得，可得， 对于任意，存在满足上式，且， 因此存在点使得四边形是平行四边形， 又由弦长公式，可得，原点到直线的距离为， 所以的面积为 因为，令，可得，所以， 可得， 则，令， 可得，令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 即的面积的最大值为， ②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为 要使得四边形平行四边形，则和互相平分， 根据椭圆的对称性，可得或， 将代入，可得，即，此时； 将代入，可得，即，此时. 此时的面积为， 综上可得，存在点使得四边形是平行四边形，最大面积为. 题型三、直线存在问题 12. 设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）． (1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，答案见解析 【详解】（1）当M的坐标为时，设过点的切线方程为， 与联立，得，整理得， 令，解得或， 分别代入方程得和，故得，， 同时可求得直线MA的方程为，直线MB的方程为， 进而可知，即直线MA与直线MB互相垂直， 则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB， 设该圆上任一点的坐标为，则，， 所以， 从而过M，A，B三点的圆的一般方程为． （圆的标准方程：）． （2）设切点分别为，， 过抛物线上点的切线方程为， 与联立，整理得， ，所以， 又因为，从而过抛物线上点的切线方程为， 即，同理可得过点的切线为， 又切线MA，MB都过点，所以得，， 即点均满足方程， 故直线AB的方程为． 设，其为直线上任意一点， 故对任意成立，从而直线AB恒过定点． （3）由（2）知是方程的两实根， 故有，又，，， 所以． ①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形； ②当时，，，不可能为直角三角形； ③当时，，， 因为，， 所以， 若，则，整理得， 又因为，所以． 因为方程有解的充要条件是，所以当时，有，（的情况同理）， 所以为直角三角形． 综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形， 当时，直线上存在两点，使为直角三角形； 当或时，不是直角三角形． 13. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意，将，代入中， 解得，则； 【小问2详解】 依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； 【小问3详解】 如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 14．（25-26高二上·上海虹口·月考）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线为的法向量为，求直线的方程； (3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，直线的斜率为 【详解】（1）由已知条件可知， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线为的法向量为， 所以直线的斜率为，方程为， 联立，得，解得（舍去）， 从而， 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即； （3）假设存在满足条件的直线， 设直线的方程为， 联立，得，解得（舍去）， 因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 ， 当为直角三角形时，只有或， 于是或， 若，由，可得，从而， 若，由，可得，从而， 所以存在，直线的斜率为. 题型四、定圆存在问题 15. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦半径得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设，，联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，表达出，由基本不等式求出最小值； （ⅱ）不妨设，表达出直线的方程，又，故可得，同理可得，，所以CD的中点恒为F，以CD为直径的圆与y轴相切等价于，若，化简得到，根据，推出，联立求出．代入可得，，方程无解，故不存在以CD为直径的圆与y轴相切. 【小问1详解】 依题意得，点M在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）不妨设，由题意可知， 又，，所以AP的直线方程可化为：， 又，故可得， 同理可得直线的方程为， 又，故， 又，所以可得， 可得，所以可得CD的中点恒为F， 以CD为直径的圆与y轴相切等价于， 若，则，所以， 又，所以，故， 整理可得， 即， 因为，故，所以． 又，故可得． 代入方程可得，， ， 故不存在以CD为直径的圆与y轴相切 16. （宝山2023二模）已知抛物线： （1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程； （2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，求线段的长； （3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、(均不与点重合)，且以线段为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）焦点 准线 ……3分 （2），则直线的方程为， ……4分 代入抛物线方程并化简得 设，则由韦达定理得 ……6分 由抛物线定义可知， 所以线段的长为. ……8分 另解：用弦长公式求解，相应给分. （3）假设存在定点,使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点，则 ……9分 设直线的方程为，代入抛物线方程得： 设，由韦达定理得 ……11分 整理得对任意的恒成立， ……15分 只需 此时Δ 所以存在定点,使得过点的直线与与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点 ……16分 另解：借助计算，则相应给分。 题型五、位置关系存在问题 17. （2023·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上有一动点，求的取值范围； (3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在点，使得//，理由见解析 【分析】（1）由题意计算即可得； （2）由设出点坐标，表示出，结合与点坐标范围计算即可得. （3）设出直线方程后联立得一元二次方程，由直线与椭圆交于不同的两点可得该方程，并由方程中的韦达定理表示出直线斜率，假设存在该点，则有，借此设出直线方程，则该直线与椭圆必有焦点，即联立后有，结合前面所得可计算出的范围. 【详解】（1）由题意，得，，所以， 则椭圆的标准方程为； （2）设动点，，， ， ，所以的取值范围为； （3）显然直线的斜率存在，故可设直线，、， 联立， 消去得， ，即①， 则，， 则，， 则， 故， 若，则有， 设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得， 故②， 由①②式得，， 则，解得， 所以当时，不存在点，使得. 18. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在， 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 不妨取一条渐近线为， 如，则圆心到直线的距离， 从而解得，                             故， 所以，点Q的轨迹C是以为焦点，长轴长为8的椭圆， 因此其标准方程为． （2）设则且， 两式相减，得， 从而，即，                     代入，解得， 故点M的坐标为或． （3）联立解得， 从而，的方程分别为，                     （方法一）设为的平分线n上任意一点，则， 化简得或， 但平分线n与x轴的交点在之间， 检验可知所求角平分线n的方程为．                     设的中点为， 则，直线的斜率 因为所以，故， 代入得 但点与点N重合，即在椭圆上，矛盾！ 故在曲线C上不存在不同的点S，T，使得点S，T关于直线n对称．                             （方法二）设为的平分线n与x轴的交点（如图）， 由角平分线定理得，， 即， （利用E到的距离相等也可）， 解得，从而所求角平分线n的方程为．                 （以下同方法一） （方法三）设E为的平分线n与x轴的交点（如图）， 易知，，可解得，即， 所以， 从而所求角平分线n的方程为．                    （以下同方法一） （方法四）设为的内心（如图），内切圆半径为r， 则， 可得，即I的坐标为， 从而所求角平分线n的方程为．                     （以下同方法一） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题10 圆锥曲线探究性问题五种考法 题型一、参数存在问题 1．（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2. 作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为､，直线：交椭圆于､两点，其中在轴上方． (1)当时，若，求的值； (2)过点､分别作直线：的垂线，垂足分别为､，设直线、直线的斜率分别为､： （i）证明：； （ii）若存在使得成立，求实数的取值范围． 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型二、点存在问题 6. 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 7．已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； (3)若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 8．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，下顶点为，是线段的中点．已知． (1)求椭圆方程； (2)设为椭圆上的点，若，求的取值范围； (3)过点的动直线与椭圆有两个交点在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 8. （2024学年宜川中学高三模拟）如图，椭圆：，为其右焦点，过点的动直线与椭圆相交于，两点. （1）若直线经过焦点，求此时线段的长度； （2）若焦点不在直线上，求周长的最大值及相应直线的方程； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 9.已知直线与抛物线交于A，B两点，且. (1)求p； (2)M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若，求面积的最小值. (3)若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点Q、R两点，且点到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 10．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 11.以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”．已知椭圆的焦距为，短轴长为． (1)求C及C的辅助圆的方程． (2)已知与y轴平行，且不经过原点O的直线DE与C及C的辅助圆分别交于D，E两点（D，E均在同一个象限），过E作C的辅助圆的切线与x轴交于点F，且直线OD的斜率为k，记的面积为S，证明：． (3)已知斜率不为0，且不经过原点O的直线l与C交于A，B两点，判断在C的辅助圆上是否存在点P，使得四边形是平行四边形．若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由． 题型三、直线存在问题 12. 设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）． (1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由． 13. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 14．（25-26高二上·上海虹口·月考）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线为的法向量为，求直线的方程； (3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 题型四、定圆存在问题 15. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 16. （宝山2023二模）已知抛物线： （1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程； （2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，求线段的长； （3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、(均不与点重合)，且以线段为直径的圆恒过点? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型五、位置关系存在问题 17. （2023·上海奉贤·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上有一动点，求的取值范围； (3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由． 18. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $