精品解析：内蒙古鄂尔多斯市康巴什区2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期八年级综合素养中期测评 数学 （考试时间：90分钟，试卷满分：100分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（共7个小题，每小题3分，共21分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据史书记载，中国的周朝时期，数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．这一定理最早被记载在如图所示的《周髀算经》中．我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 7，24，25 D. ，， 4. 下列命题的逆命题成立的是（　　） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么 D. 对顶角相等 5. 已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 8. 如图，2025年3月2日苏州马拉松鸣枪起跑，“苏马”奖牌以“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”为设计理念，融合“八面玲珑”的造型．用数学眼光看，“苏马”奖牌的主体是一个正八边形，它的一个内角的度数为______． 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________ 10. 魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 11. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 12. 如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共6题，共64分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： （1）已知，求代数式 的值； （2）计算： 15. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 16. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请判断四边形的形状，并证明你的结论． 17. 如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts． （1）若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由； （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 18. 综合与实践： 项目主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示． [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值（保留两位小数） （1）①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ； ②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； （2）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级综合素养中期测评 数学 （考试时间：90分钟，试卷满分：100分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（共7个小题，每小题3分，共21分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除四则运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除四则运算，熟练掌握二次根式的加减乘除四则运算法则是解题的关键． 3. 据史书记载，中国的周朝时期，数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．这一定理最早被记载在如图所示的《周髀算经》中．我们把可以构成一个直角三角形三边的正整数称为勾股数，下列所给的几组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 7，24，25 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，均不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、 ，均不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，是勾股数，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 4. 下列命题的逆命题成立的是（　　） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握实数的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理和对顶角的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意； C、逆命题为：如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，符合题意； D、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题，不符合题意； 故选：C． 5. 已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点A作于D，设，则，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴高l的长为， 故选：B． 6. 如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理得：，由平分，可得，由D，E分别为的中点，可得，，，进而可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边．熟练掌握勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边是解题的关键． 7. 如图，在中，，，为的中点，在外构造等边，连接、．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形性质及等边三角形的判定，证明为等边三角形，进而得出四边形为菱形，即可判定①③；利用一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，即可判定②；通过平行四边形和菱形的性质可得，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：，，  ，，  为的中点，  ，  ， 是等边三角形，  ，，  是等边三角形，  ，，  ，  ∴四边形是菱形，故③正确；  ，故①正确；  ，，  ，  ，即， 又，  ∴四边形是平行四边形，故②正确；  ∵四边形是平行四边形，  ，  为中点，  ，  又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分） 8. 如图，2025年3月2日苏州马拉松鸣枪起跑，“苏马”奖牌以“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”为设计理念，融合“八面玲珑”的造型．用数学眼光看，“苏马”奖牌的主体是一个正八边形，它的一个内角的度数为______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，先求出正八边形的内角和，再求出每个内角的度数． 【详解】解：正八边形的内角和为：， 所以它的一个内角的度数为， 故答案为：． 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________ 【答案】x>0.5 【解析】 【详解】试题解析：根据题意得，2x-1＞0， 解得x＞． 10. 魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形，  ，，，，， ，，  ，  在和中，  ，  ，  ，  ，  ，  在中，由勾股定理得，，  ∴正方形的面积为． 11. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，点M、N分别是边、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 12. 如图，将矩形对折，使点与点重合，折痕分别与矩形的边和相交于点、，交对角线于，为线段上一个动点，若，，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小，最小值为的长． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 三、解答题（本大题共6题，共64分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可求解； （）利用平方差公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： （1）已知，求代数式 的值； （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； 【小问2详解】 解： ． 15. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 16. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 如图所示： ； （2） 解：四边形是菱形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts． （1）若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由； （2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； （3）在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解： ，理由如下： 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）存在，当时，四边形是矩形 （3） 解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由（1）知：当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【解析】 【分析】（1）可求，可证，从而得证； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在， 在四边形ABCD中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 18. 综合与实践： 项目主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示． [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值（保留两位小数） （1）①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ； ②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； （2）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（）①根据表格解答即可；②由题意可得，即得，即可求解； （）延长 交于点，利用矩形和折叠的性质可证，四边形是平行四边形，得到 ，，又由得，即得，得到，利用平行线的性质可得 ，得到，再根据 即可求解； 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：①由表格可得， ，猜想， 故答案为：，； ②由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $