导数与三角函数知识点交叉讲义-2026届高考数学三轮冲刺

导数与三角函数知识点交叉综合训练 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 导数 + 三角深度融合，不再是纯导数或纯三角，全是复合函数 + 含参 + 零点 / 恒成立 / 不等式证明，三角函数、避免过度讨论。 2.解题步骤 （1） 先看奇偶性 / 周期性，简化范围 （2）求导，判断单调性 （3）算关键点值（0、、π、1） （4）用零点定理 / 最值解决恒成立 / 零点问题 （5）证明题：构造函数→求导→放缩→得结论 3.高频考法 （1）最常用结论(解答题需证明) ①， ②x∈(−,)，x−sinx 单调递增 ③ ④ ,是偶函数，在[0,] 递增 ⑤奇函数唯一零点 ⇔ 无零点 ⑥() ⑦ , （2） 题型速解法 ①对称中心：用 ②对称轴：用 ③最值：换元 →二次 / 三次函数求最值 ④恒成立求参数:优先分离参数,不能分离→直接求导讨论单调性,端点值优先代入（、、π） ⑤极值点个数:求 的变号零点,分段讨论（0,）、（,π）、（π,）…, 每段内求单调 + 算端点值 + 零点存在定理,奇函数是零点， 无零点→唯一零点 ⑥隐零点标准步骤: 单调，存在 使 ;设而不求用 满足的等式代换;证明 考点1 三角函数的基本性质+导数求单调极值 1.已知函数，下列结论中错误的是 A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于直线对称 C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确； 对于选项， 只需考虑是否成立即可， 而，故正确； 对于选项， ， 故是奇函数，有，故周期是，故正确； 对于选项， ， 令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误. 2.（多选）设函数，则（    ） A． B．的最大值为 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】AD 【解析】的定义域为，且， ，故A正确． 又，令， 则， 其中， 故即，故， 当时，有，此时即， 故，故B错误． ， 当时，，故在为减函数，故D正确． 当时，，故， 因为为增函数且，而在为增函数， 所以在上为增函数， 故在有唯一解， 故当时，即，故在为减函数，故C不正确． 故选：AD 3.设函数，若 且， 则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，当时，，故函数在上递增，结合函数为偶函数可知，函数在上递减，所以等价于，也即，故选：D. 4.（云南昆明市普通高中2026届高三下学期复习教学质量诊断）设函数. (1)当， （i）若，讨论的单调性； （ii）若，求极值点的个数； (2)对任意，总存在，使得，求的最小值 【答案】（1）（i）在上单调递减，在上单调递增. （ii）1个 (2) 【解析】（1）， （i）若，，， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. （ii）当，由（i）可知，且， 又因为，所以，此时单调递减； 当时，设，则， 由（i）可知，且，， 又因为，所以， 所以即在上单调递增， 且有，， 由零点定理可知存在唯一的使得， 若，，若，， 综上在上单调递减，在上单调递增，为极小值点， 所以极值点的个数为 1个. （2）将化为， 设，， 当即时，此时， 单调递减至负无穷，可以取任意值； 当即时，此时， 单调递增或为常函数，， 依题意应有在上恒成立， 设，， 则，所以在上单调递增， ，所以的最小值为. 考点2 指数函数和三角函数综合 1. 已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 . 【答案】 2.已知函数，. (1)求的单调区间和极小值； (2)证明：当时，. 【答案】(1)详解见解析 (2) 证明见解析 【解析】（1）函数，，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为. （2）证明：当时，令， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，在上单调递增， 因此，所以 3.已知存在唯一零点，则实数的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为且， 为定义在上的奇函数，的唯一零点为， 则只需时，无零点即可得到结论； 当时，令，则， 在上单调递减，，即， ， 令，则，， ，则，， 当时，，，， 满足当时，无零点； 当时，， ，， 在上存在最小零点，使得， 又为连续函数，则当时，； ，又时，， 在上必存在零点，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：. 4.（2026黑龙江齐齐哈尔二模）已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实满足，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)(3)证明见解析 【解析】（1）当时，， ∴为奇函数. 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增. 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴. （2）等价于 ， 即， ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为. （3）由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故. 要证，只需证， 只需证， 只需证， 即证. 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故. 5.（2026江苏镇江二模）已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)证明：当时，； (3)设，若对任意恒成立，求m的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为，依题意，， 所以. （2）由（1）知函数，求导得， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又， 即当时，，即，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以当时，. （3）不等式， 令，由，得，原不等式等价于， 依题意，不等式对任意恒成立， 令，则，由（2）知，因此， 而，则，令函数，由（2）知， 则，，令函数， 求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，因此对任意恒成立， 即当时，不等式对任意恒成立，所以整数的最大值为2. 考点3 端点讨论、端点效应 1.已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当，时，求证：. 【答案】（1）（2）证明见详解 【解析】（1）因为， 当，所以，则，且， 所以在处的切线方程为，即. （2）由，所以在上单调递减， 的最大值为， 令， 则，， 所以，所以在上单调递减，， 在上最大值为，所以， 所以. 2.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知函数. （1）当f(x)为偶函数时，求曲线(x)在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数a，b使得对任意恒成立，当b取最大值时，求a. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）若为偶函数，则，此时，， 所以，，故所求的切线方程为，即。 （2）当时，。要证，即证。 设，则。 继续求导得，故是增函数， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，得证。 （3）恒成立，即恒成立，则。 设函数，即， 则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为。 故存在，使得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以 。 要使最大，则取，再分析的最大值。 设函数， 则， 因为，且仅在处等号成立， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即的最大值为，当时，，得 3.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【解析】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以；综上所述：. 4.（江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)求证：恒成立； (3)若都有恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由题知， 当时，， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取最大值. （2）先证：， 令，则， 所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立． 又， 由知，，所以，即，得证. （3）当时，， 即，令， 则，其中， 令，则且， 令，则，其中. 令，，则， 故在上单调递减，其中. ①若，则， 令，在上单调递增，， 所以恒成立. 故在上单调递增，且. 所以在上也单调递增，且， 所以，故恒成立. ②若，则， 且，使得当时，， 所以函数在上单调递减， 故时，， 所以函数在上单调递减， 所以时，， 所以时，，与恒成立矛盾． 综上所述：的最大值为. 5.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）已知函数． （1）求的定义域； （2）当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】（1）由，解得，所以的定义域为 （2）当时， （i）证明如下：若，则，所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．于是. （ii）由题意可知， 若，当时，由（i）可知， 再由为奇函数可知， 当时，． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时存在唯一的极大值点． 若，令， 则， 令，函数， 则，故在上单调递增． 因为，故存在使得． 当时，； 当时，． 记且，则当或时，单调递减； 当时，单调递增． 又因为， 当时，，当时，， 再由为奇函数可知， 存在，使得． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减， 此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点． 综上所述，实数的取值范围为 6.（四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习）设函数. (1)当时，证明：； (2)已知函数在区间内存在极值点. ①求的取值范围； ②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)①,②存在， 【解析】（1）设， 则， 因为，所以， 则函数在上单调递增，所以， 得当时，，即得证． （2） ， ， 因为函数在区间内存在极值点， 所以在内有变号零点． ①当时，因为，所以， 得 恒成立， 得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 当时，令， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 若 ，即， 则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 若 ，即， 因为函数在上单调递减，且 ， ， 所以存在，使得 ，即， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意， 故的取值范围为：． ②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，得，则， 得在上单调递减， 故当时，在上单调递增，在上单调递减， 而 ， ， 而 ， 由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得， 即存在唯一的零点，使得． 接下来比较与的大小， 因为， 由，得，得， 则 ， 令， 得 ， 令，得， 得在上单调递减，得， 而 ， 令， 得， 得在上单调递减，得， 得， 得 ， 得在上单调递减，得， 得 ，而，得 ， 因为，所以，得，而， 而当时，在上单调递减， 得． 考点4 端点效应+放缩 1.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）已知函数，. (1)当时，求在上的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)0； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）当时，， 则， 设，4.， 在上单调递增. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，故的最小值为0. （2）（方法一）恒成立，. 当时，， 由（1）可知，， ，从而时，恒成立， 故. （方法二），， . 设， 则. 设， 则， 在上单调递减. ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ， . （3）证明：由（1）知，当时，， 令，则， ， ， ， ， ，  ， ， ， ，证毕 2.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）证明：由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以 . 综上所述，. 3.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数， 证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即. （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾， 情形2：，则， 取正整数，使得，则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾， 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾， 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求. （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则， 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ，至此不等式得证 4.（2026新疆三模）已知. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，有恒成立. （i）求a的取值范围； （ii）证明：对任意的正整数. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明见解析. 【解析】（1）因为，所以函数， 求导得， 则，又， 故曲线在处的切线方程为． （2）（i）对任意，由， 设函数，求导得 . 当时，，不符合题意； 当时，，函数在上单调递增，，因此 当时，令， 求导得， 则，使得，当时，， 函数在上单调递增，，即， 因此， 此时，不符合题意； 综上，的取值范围是． （ii）为了使用方便，以下为的二阶和三阶求导符号， 由（i）得当时，， 令函数，求导得， 因为， 所以函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，， 因此，当时，，所以， 当时，，所以结论成立； 当时，， 于是，， 故对任意的正整数成立． 考点5 三角函数的极值偏移 1.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二））已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）b=（ii）证明见解析 【解析】（1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，. （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为.， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点. （ii），， 故的图像关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减， 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证. 2.（安徽江南十校2026届高三3月联考）函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上没有零点，求实数的取值范围； (3)当时，设，若，满足，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，. 所以有， 所以函数在处的切线方程为， 即 （2）由题意，在上没有零点，等价于方程在上无解，因为； 即等价于方程在上无解， ，即等价于方程在上无解， 等价于方程在上无解，等价于方程在上无解. 设，原题等价于关于的方程在上无解. 设， 则 当时，，则， 对恒成立，则在上单调递减， 又， 故满足题意的实数的取值范围为. （3）当时，， 则 令得，即， 又，则存在唯一的使得 且 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又， 要使且，必有， 则必有 ①先证：. ，且在上单调递减， 要证 只需证即可，又， 故只需证对恒成立即可， 只需证 而， 只需证，即只需证对恒成立即可，这显然成立， 故有； ②再证：. 必有， 又当时，在上单调递减，则有. 而当时，， 令， 则 令，等价于，方程有唯一解，记为，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 又， 即当时，必有，与题意不符， 所以要使，且，必有， 综合①②可得： 考点6 三角恒等变换与导数 1.已知函数． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)求函数的最值． 【答案】(1)详解见解析 (2) 【解析】（1）由题意，， 令，，解得或或， 当时，；当时，， ∴在区间和上单调递增，在和上单调递减； （2）由，故可取这一周期讨论最值， 因为在区间和上单调递增，在和上单调递减， 故在和取得极小值，在取得极大值， 因为，，， 所以的最大值为1，最小值为． 2.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题）（1）设函数,求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， （3）记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 3.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）已知函数. (1)若曲线在处的切线平行于轴，求的值； (2)当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数； (3)证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆 【答案】(1)(2)极大值点有2个，极小值点有1个(3)证明见解析 【解析】（1）由得， 当时，， 因为曲线在处的切线平行于轴， 所以，解得； （2）由得，得， 令则， ①当时，，则，所以在上单调递减， 因为， 则使当时；时， 则在单调递增，在单调递减，所以为的极大值点； ②当时，，则， 所以在上单调递减， 当时，，则， 所以在上单调递增， 又，所以为的极小值点； ③当时，，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以使当时；时， 则在单调递增，在单调递减， 所以为的极大值点； 所以曲线在的极大值点有2个，极小值点有1个； （3）因为在中， 所以，即曲线的图象关于对称， 假设上存在不同两点，其关于的对称点为， 则四边形为等腰梯形， 因为等腰梯形的对角互补，故该四边形为圆内接四边形， 所以曲线上存在四个不同的点，使得这四个点共圆. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $导数与三角函数知识点交叉综合训练 【思维导图】 对称性判断 最值求解 三角性质+导数求单调极值O 单调性分析 极值点个数 单调性与极值 指数+三角+导数综合0 不等式证明 含参零点问题 切线方程求解 恒成立证明 端点讨论/端点效应O 极值点判定 考点分类0 参数范围求解 恒成立求参 端点效应+放缩。 数列不等式证明 三角放缩应用 对称性质应用 三角极值偏移O 零点个数探究 不等式证明 单调性讨论 最值求解 三角恒等变换+导数O 切线与极值点 四点共圆证明 【核心总结】 1、题型本质 导数+三角深度融合，不再是纯导数或纯三角，全是复合函数+含参+零点/恒成立/ 不等式证明，三角函数sinx、cosx避免过度讨论。 2.解题步骤 (1)先看奇偶性/周期性，简化范围 第1页共12页 (2)求导，判断单调性 (3)算关键点值(0、受、r、1) (4)用零点定理/最值解决恒成立/零点问题 (5)证明题：构造函数→求导→放缩→得结论 3.高频考法 (1)最常用结论（解答题需证明） ①x>0,sinx<x ②x∈(-号，受)，x-sinx单调递增 ③c0sx≥1-x2 ④fx)=xsinx,是偶函数，在[0，]递增 ⑤奇函数唯一零点一x>0无零点 ⑥tanx>,x>0) ⑦ex-e-x-2x20,x≥0 (2)题型速解法 ①对称中心：用f(a-x)+fa+x)=2b ②对称轴：用f(a-x=f(a+x) ③最值：换元t=sinx/cosx一二次/三次函数求最值 ④恒成立求参数：优先分离参数，不能分离→直接求导讨论单调性，端点值优先代入(x=0、 号、) ⑤极值点个数：求f'(x)的变号零点，分段讨论(0，受)、（受，r)、(π，受）， 每段内求单调+算端点值+零点存在定理，奇函数x=0是零点，x>0无零点→唯一零 点 ⑥隐零点标准步骤：f'(x)单调，存在xo使f'(x0=0;设而不求用xo满足的等式代换；证 明fx)≥f(xo≥0 考点1三角函数的基本性质+导数求单调极值 1.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是 A.y=f(x)的图像关于点（π，0）中心对称 B.y=f)的图像关于直线x=5对称 c.f)的最大值为 D.f(x)既是奇函数，又是周期函数 2 第2页共12页 2.（多选)设函数f(x)= cos2x 2+sinxcosx 则() A.f(x)=f(x+π) B.(x)的最大值为) c.fx)在 π 41 0单调递增 D.在 单调递减 3.设函数fx)=xsinx,若x1,x2E[-罗，]，且f(x1)<f(x2),则下列不等式恒成 立的是() A.X1<X2 B.X1>X2 C.x1+x2<0 D.好< 4.（云南昆明市普通高中2026届高三下学期复习教学质量诊断)设函数 f(x)=(2-a)sinx-2xeor- -+1. 2 ae (i)若a=0,讨论f(x的单调性： (i)若ae[0,+o),求∫x)极值点的个数； 「π 2树任意x22 总存在a∈[0，+∞)，使得2f(x≤a+b,求b的最小值 第3页共12页 考点2 指数函数和三角函数综合 1.已知函数f)=-2x+e-,其中e是自然对数的底数若a-+f0a)≤0， 则实数a的取值范围是一 2.已知函数f(x)=cosx+xsinx,xe(-元，x). (1)求f(x)的单调区间和极小值； (②)证明：当xe[0,π)时，2f(x)≤e*+ex 3.已知f(x)=a(es-e-x)-sinπx(a>0)存在唯一零点，则实数a的取值范围(). A.(受，+o)B.[,+∞)C.(3,+o) D.[3+∞) 4(2026黑龙江齐齐哈尔二梭)已知f八为定义在（受到 上的奇函数且连续可导，令 g)=f(x)cosx..当xe0,时，有f川-f到anx>e. 时论g在区间20上的单词性，并证明：当x0引时，g>1-e ②当x(受0时，解不特式：f任小mx+-动csr<er-e, +Y 包我可似找别情足医价一个质政：气号到要容气用这个懂我，重断 2 构造函数h(x),记hx=fx+cosx+x+e,若实x,x,x<x,)满足h(x)+h(x2)=4, 证明：x1+x2<0. 第4页共12页 5.(2026江苏镇江二模)己知函数f(x)=sin(x-1)-alnx,其中aeR,曲线y=f(x)在点 (L,f(1)处的切线方程为y=0. (1)求a的值： (2)证明：当xe1,2]时，f(x)≥0； (3)设meZ,若e(-)-ln(x-1)+x2-2x>m(x-1)对任意x∈(1,2]恒成立，求m的最大值. 考点3端点讨论、端点效应 1.已知函数f(x)=sin(x+c)-tana-x. (1)当=时，求f(x)在x=军处的切线方程； (2)当aE[0,],x∈[0，等]时，求证：f(x)≤0. 2.(湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末)已知函数 第5页共12页 f(x)=+cosx-ax+a(aER). (1)当f(x)为偶函数时，求曲线y=f(x)在点（π，f(T)处的切线方程； (2)若a=一1，证明：f8)≥x: (3)若实数a,b使得f8)≥x+b对任意x∈R恒成立，当b取最大值时，求a. 3.(2023新高考Ⅱ卷高考真题)(1)证明：当0<x<1时，x-x2<sinx<x; (2)已知函数f(x)=cosax-ln1-x2),若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 第6页共12页 4.(江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测)已知函数f(x)=sinx-】im2x. (1)求f(x)在(0，π上的最大值： 2求证：x∈0，+o），f(≤号r恒成立： 3)若VxE(0,气)都有fx)>ax3cosx恒成立，求a的最大值. 5.(山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估)已知函数 f(x)=In(cosx)+cosx+ax2. (1)求fx)的定义域； (2)当-<x<时， 2 2 (i)若a=1,证明：fx)≤1； (i)若f(x)存在三个极值点，求实数a的取值范围. 6.(四川成都市2025一2026学年高三下学期定时练习)设函数f(x)=s1nx. 第7页共12页 (1)当x>0时，证明：f(x)<x; (2)已知函数g(x)=kf(x)-ex-1n(x+1)+1在区间(0，罗)内存在极值点a. ①求k的取值范围； ②是否存在BE(0,π)，使g(B)=0？若存在，比较B与2α的大小；若不存在，请说明 理由 考点4端点效应+放缩 1.(湖南名校大联盟2026届高三月考卷)已知函数f(x)=号+acosx-1, xE(-,号) (1)当a=1时，求f(x)在(-受，)上的最小值； (2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围： B证明：n+宝-：cos克<1(n∈N). 第8页共12页 2.(黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟)已知函数f(x)=2s1nx-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在[0，π]上的值域： (2)若对任意xE[0,号]，都有f(x)≥xCOSx,求实数a的取值范围； B证明：品<ta空+字+tan字+…+tan<景(aeN) 3.(福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模)已知函数f(x)=a-1.(a>0且 a≠1) (1)若a=e,证明：f(x≥x; (2)若对任意实数x,均有f(x≥2x+sin2x. (i)求a; (ii)设正整数n≥2， 引y2 4.(2026新疆三模)已知fx)=2ax+axcOSx-2sinx, 第9页共12页 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在（π，f(π）)处的切线方程； (2)若对任意x≥0，有f(x)≥0恒成立. (i)求a的取值范围； 么乃2+cas/ 12 n+ ()证明：对任意的正整数 3 3n3 考点5三角函数的极值偏移 1.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二）)己知函数 f(x)=ax+bx2+与cosx,f'(x为f(x)的导函数，曲线y=f"(x)关于点（元，0）对称. (1)求的值； a:eR,f陵立 (i)求b的值并探究∫'(x的零点个数； （)若f小=a,且m<<,证明：<m+n≤2a 2.(安徽江南十校2026届高三3月联考)函数f(x)=e'cos3x-ae3cosx. 第10页共12页 a当。=时求函数到的图象在点径f别 处的切线方程； 2诺x到在xe0,日 上没有零点，求实数a的取值范围： B当a=0时，设8(=2f)+"y,若 0马<< ，满足 3元 gx=g(x)=gx<0,证明： x+x2+x3> 4 考点6三角恒等变换与导数 1.已知函数f(x)=cos2c0s2x, (1)讨论函数f(x)在区间(0，π)上的单调性： (2)求函数f(x)的最值， 2.(2025新高考I卷高考真题)(1)设函数f)=5co0sx-cos5x,求f(x)在0，元的最大值： 4 第11页共12页 (2)给定0e(0,),设a为实数，证明：存在ye[a-0,a+0],使得cosy≤cos0; (3)若存在p使得对任意x,都有5cosx-cos(5x+p)≤b,求b的最小值. 3.(甘肃省2026届高三第一次模拟考试)己知函数 f (x)=(-x)sinx+kcosx(kER) (1)若曲线y=f(x)在x=处的切线平行于x轴，求k的值； (2)当k=1时，求函数y=f(x)在(0,2T)内的极大值点和极小值点的个数： 3)证明：对任意k∈R,曲线y=f(x)上存在四个不同的点共圆 第12页共12页