专题05 导数核心考点全解：从基础应用到高考压轴讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题05 导数核心考点全解：从基础应用到高考压轴 一、考点总结与提升 1.求函数的单调区间 （1）求函数的定义域． （2）求出． （3）解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间． 2.用导数判断函数单调性 （1）确定函数的定义域； （2）求出导数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 3.求函数的极值 解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 4.求函数在上的最大值和最小值 （1）求函数在区间内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 （1）常用方法： ①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围. ②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. ③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. （2）一般步骤： ①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式(组)的解集或两函数图象的交点的情况； ②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式； ③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. 6.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略 含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. 7.利用导数解决函数零点问题的方法 （1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想. （2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题. （3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题. 8.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则. 9.双变量（双参数）恒成立，能成立求参数范围问题 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集． ⑤若，，有，则的值域与值域的交集非空． ⑥若，对，都有. ⑦若，对，都有. ⑧若，对，都有. ⑨若，对，都有. 二、典例精讲 核心考点01：求在曲线上一点处的切线方程 1已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，. 解析：（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设，求导得， 函数在上单调递减，恒成立，即，因此， 设，求导得，函数在上单调递增， 则，则，即， 所以，即. 核心考点02：利用导数研究函数的单调性 2．（多选）已知函数，则( ) A． B．是偶函数 C．的一个周期为 D．在区间单调递增 解析：，A选项正确. 函数的定义域是，关于原点对称， ， 所以是偶函数，B选项正确. ，所以C选选项错误. 当时，，， ， 令，整理得， 设， 则在区间上单调递减， 所以D选项错误. 故选：AB 核心考点03：利用导数研究函数的极值 3若是函数的极值点，则_________. 解析：，因为是函数的极值点，所以，即，则，经检验，满足题意，所以，所以. 核心考点04：利用导数研究函数的零点 4（多选）已知函数，则( ) A.的极小值为-2 B.有两个零点 C.存在a使得关于x的方程有三个不同的实根 D.的解集为 解析：函数的定义域为， ， 由得或； 由得， 有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，， 当时，有三个不同实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 核心考点05：利用导数研究不等式恒成立问题 5．【2025年全国一卷高考真题】（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值. 解析：（1）解法一：因为， 所以. 令，得，又，所以或， 所以或， 所以x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. 解法二：因为， 所以. ， 易得当时，，令，得，令，得. 所以x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. 解法三：由题得， 由，得，故x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. （2）解法一：因为余弦函数的周期为，所以不妨设， 当时，，则，此时存在，使得； 当时，， 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， 所以， 只需要取，即可得到. 综上可得，给定和，存在使得. 解法二：假设对任意恒成立， 由得，，这与，任意矛盾， 所以假设不正确，故一定存在使得. 解法三：因为， 所以与中必有一个小于等于. 否则，，这与矛盾. 所以一定存在或，使得， 所以对于给定和，存在使得. （3）令，当时，因为，， 所以为偶函数，且为的周期，所以讨论在上的情况， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，结合对称性，及，可知时，所以此时b的最小值为. 要证为b的最小值，对于任意的，只需要证明的最大值不小于， 只需要证明存在，使得. 核心考点06：恒成立问题 恒成立问题的一般形式为：若函数的定义域为，任意的，都有等价于即可，其他情形可类比得到. 于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数来讨论原函数的单调性进而求得值域. 6.（浙江省Z20名校联盟2026届高三开学考试） 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 解析：（1）时，，所以，由于，所以在处的切线的方程为， 化简得：． （2），若是函数的极值点，则有，代入得：，即．当时，不是函数的极值点； 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增，则，即在上单调递增，不合题意．综上：不是函数的极值点． （3）由题意：， 上式对任意恒成立，以为主元，令，则只需， 因为，所以在上单调递增， 则，故 ，即对任意 恒成立．由题意得：，设， 令，故在上单调递增，由于，故 ， 所以，使得在上单调递减，在上单调递增，且满足，故，而，因此自然数最大可取到4． 7.已知函数（其中e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值； （3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1）数，求导得， 则，而，所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. （3）由（2）知，，，由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此，所以实数的取值范围为. 8.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 解析：（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立， 核心考点07：不等式证明与放缩 9．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 解析：（3）设，设的前项和为，则， 当时，， 要想证明，即证明， 即证明，即证明 令，， 构造函数， 在上恒成立，， 在恒成立，恒成立， 时，①，时，②，时，③， 时，，， 把所有不等式都相加，成立. 所以原不等式 10．已知函数，. （1）当时，，求实数的取值范围； （2）已知，证明：. 解析：（1）. （2）证明：当时，由（1）可得，则， 可得，即，即， 令，所以，，所以，，即， 所以，，， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，故，则， 所以，，， 所以， 核心考点08：：同构变换 若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换. 例如：.... 11.（2022全国甲卷）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：. 解析：（1），令，则，于是 .于是等价于在上恒成立，故. 12. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 解析：（1）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以， ，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意； （ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是. 三、高考练场 1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 【解析】∵当x>0时，<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选D。 2. 定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)＝0＝f(3)＝f(－3)，f(－x)＝－f(x)， 当x>0时，f(x)>－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)>0，∴[xf(x)]′>0，即h(x)＝xf(x)在x>0时是增函数，又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数， ∴当x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0， 可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg|x＋1|的大致图象如图， 由图象可知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3.故选B。 3. 已知f(x)，g(x) (g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，且f(－3)＝0，则<0的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 【解析】由已知得，是奇函数，∵当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，∴＝<0，则在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f(－3)＝0，则有＝0＝，可知<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．故选C. 4. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 【解析】∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)的图象关于x＝0对称， ∴f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)＝1.设g(x)＝ (x∈R)， 则g′(x)＝，又∵f′(x)<f(x)，∴g′(x)<0(x∈R)， ∴函数g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)<ex⇔g(x)＝<1，而g(0)＝＝1， ∴f(x)<ex⇔g(x)<g(0)，∴x>0，故选B. 5. 当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3] 【解析】当x∈(0,1]时，a≥－3()3－4()2＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，在t∈[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减， 所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2. 由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立，故实数a的取值范围为[－6，－2]． 6.已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______． 解析：因为，所以，， 所以，令， 则，则， ，令，则，令，得，所以时，，单调递减，时，，单调递增，当，时，，则，单调递增，，即，所以当，时，成立，当，时，，则，单调递增，，即， 所以当，时，成立，综上所述. 7．已知函数，. （1）讨论的零点个数； （2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围. 解析：（1）综上所述，当时，的零点个数为0；当时，有1个零点；当时，的零点个数为2. （2）解:由已知可得，.因为，，所以有 令，对于，，则，则对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可. ，所以在上单调递增.所以，所以，解得. 8．（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 解析：（2） 方法1：单调性讨论： 设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以. 当时，有. 所以在上为减函数，所以.综上，. 方法2：不等式放缩 由当时，，得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，在不等式中，令，可得当时，，即，故当时，不等式成立. 当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，满足题意. 当，即,方法同上. 方法3：必要性探路 由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则） ①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 9.已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若，当时，，求k的取值范围． 解析：（2）当时，恒成立；当时，原不等式等价于， 令函数，，则， 当时，，则单调递减；当时，，则单调递增， ∴，∴．综上所述，k的取值范围是． 10.设函数. （1） 当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由； （2） 当时，不等式恒成立，求的最小值. 解:（1）当时，.令，则 当时，. 即在内为减函数，且 ∴当时，;当时，. ∴在内是增函数，在内是减函数. 综上，是函数的极大值点. （2）由题意，得，即. 现证明当时，不等式成立，即. 即证，令 则 ∴当时，;当时，. ∴在内单调递增，在内单调递减， 的最大值为. ∴当时，.即当时，不等式成立. 综上，整数的最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题05 导数核心考点全解：从基础应用到高考压轴 一、考点总结与提升 1.求函数的单调区间 （1）求函数的定义域． （2）求出． （3）解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间． 2.用导数判断函数单调性 （1）确定函数的定义域； （2）求出导数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 3.求函数的极值 解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 4.求函数在上的最大值和最小值 （1）求函数在区间内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5.利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤 （1）常用方法： ①直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围. ②分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. ③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. （2）一般步骤： ①转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程（组）的解、不等式(组)的解集或两函数图象的交点的情况； ②列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式； ③结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. 6.利用导数解决含双变量的不等式证明问题的策略 含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. 7.利用导数解决函数零点问题的方法 （1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想. （2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题. （3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题. 8.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法 首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则. 9.双变量（双参数）恒成立，能成立求参数范围问题 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集． ⑤若，，有，则的值域与值域的交集非空． ⑥若，对，都有. ⑦若，对，都有. ⑧若，对，都有. ⑨若，对，都有. 二、典例精讲 核心考点01：求在曲线上一点处的切线方程 1已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，. 核心考点02：利用导数研究函数的单调性 2．（多选）已知函数，则( ) A． B．是偶函数 C．的一个周期为 D．在区间单调递增 核心考点03：利用导数研究函数的极值 3若是函数的极值点，则_________. 核心考点04：利用导数研究函数的零点 4（多选）已知函数，则( ) A.的极小值为-2 B.有两个零点 C.存在a使得关于x的方程有三个不同的实根 D.的解集为 核心考点05：利用导数研究不等式恒成立问题 5．【2025年全国一卷高考真题】（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值. 核心考点06：恒成立问题 恒成立问题的一般形式为：若函数的定义域为，任意的，都有等价于即可，其他情形可类比得到. 于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数来讨论原函数的单调性进而求得值域. 6.（浙江省Z20名校联盟2026届高三开学考试） 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 7.已知函数（其中e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值； （3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 核心考点07：不等式证明与放缩 9．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 10．已知函数，. （1）当时，，求实数的取值范围； （2）已知，证明：. 核心考点08：：同构变换 若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换. 例如：.... 11.（2022全国甲卷）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：. 12. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 三、高考练场 1. 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 2. 定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3. 已知f(x)，g(x) (g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，且f(－3)＝0，则<0的解集为(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 4. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 5. 当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3] 6.已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______． 7．已知函数，. （1）讨论的零点个数； （2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围. 8．（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 9.已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若，当时，，求k的取值范围． 10.设函数. 当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由； 当时，不等式恒成立，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $