广东湛江市遂溪县第一中学等校2026届高三下学期5月学情调研数学试题

参考答案及解析 数学 高三年级5月份学情调研 数学参考答案及解析 一、选择题 log(1-号）十1=1og:(x十1)-1ogx十1，于是 1.B【解析】由x2-2x-3<0得-1<x<3,可得AU B={xx>-1冫.故选B. 立f0=26+log(26+1D-1bg1=29.散选D. 2.D【解析】对于充分性，取a=13,b=1得到矛盾；对 7.C【解析】对于A,显然P(X<)=P(X>),故A 于必要性，取a=b=一7可得矛盾.故选D. 正确；对于B,由正态分布的对称性可得P(X<一4) 3.C【解析】注意到cos(5-20）=c0s(-20- =P(X>4),故P(X<4)十P(X<-4)=P(X<4)+ P(X>4)=1,故B正确；对于C,P(2<X<3)= 2x)=c0s(29+要)，由二倍角公式得c0s(29+) P(Y-ul<30)-P(Y-ul<20) 2 =1-2sim(+号)=子.故选C 0.9973一0.9545=0.0214>0.01，故C错误；对于 4.D【解析】由等比数列性质知a=8,a=27,解得 ==2,故a=号a,=专放选D 2 D,注意到P(985<X<2026)<P(X>3)<P(|X 3)≈1-0.9973<0.01，故D正确.故选C. 5.B【解折】由题意可设椭圆方程C,号+若-1(> 8.A【解析】由xe+=y两边取自然对数得lnx十x 十y=lny,移项得x十lnx=lny-y,构造函数g(y) 0),即长半轴长a=3.如图所示，设椭圆左焦点为F, 原点O是F'F的中点，Q是PF的中点，则OQ是 =ny-y(y>0),则g(y)=1=义，当0<y<1时， y △PF℉的中位线，得0Q-号PF:因为QF- g'(y)>0,g(y)单调递增，当y>1时，g'(y)<0, g(y)单调递减，故g(y)在y=1处取得最大值g(1) 号PF,椭圆半焦距OF=c,所以△QOF的周长 =-1,构造f)=x+1nx(x>0)f(x)=1+ 为：0Q+QF+OF=PF'1+合PF十c 因x>0恒有f(x)>0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递 由PF+PF|=2a,可得OQ+QF+OF= 增，故fx)=g)≤-1，又f(日)=-1>-1， 号·2a十c=a十c=4,代入a=3,得3十c=4,即c= 由f(x)单调递增且f(x)≤-1<f(仁)可得x< 1,即2c=2.故选B. 。,对于变量y,因g(1)=一1存在对应实数x满足 条件，且y在区间(0,1)与(1，十∞)内均可取到使 g(y)<-1的值，故y的取值可大于、等于或小于1， 选项C、D均不恒成立.故选A. 二、选择题 9.BC【解析】对于A选项，f(x)=2sin(omx十于 6.D【解析】注意到x>0时，f(x)=f(-x)= 号）=2sin(@x),显然其值域为[-2,2]，故A错误： 数学 参考答案及解析 对于B选项，由0>0得2红=2，@=1，此时f(.x) =FP,则圆(x-1)2十y2=(xw十1)2为△PAB的 外接圆，联立圆与抛物线得(x-1)2十4x=(x。十 2sinx,f(x+号）=2sin(xx+受）=2cos,故B 1)2,即(x十1)2=(x0十1)2，解得x=x或x=-x0 正确；对于C选项，f(x)=2πcosπx,f(0)=2π -2.因为点在抛物线C:y2=4x上，所以x≥0.又因 f(0)=0,可得曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方 为x>1,所以-x。-2<-3<0,舍去.因此x=x0, 程为y=2元x,故C正确；对于D选项，f(985一x)= 代入得y=士2√，故外接圆与C有两个交点，故 2sin(985π-元x)=2sin元x≠-f(x),故D错误.故 A正确；设△PAB的垂心为H(1,y),由P方·A方 选BC =0得1=，由A产.P克=0得(x1十1)(-1-) 10.AC【解析】因为f(x)f(-x)=1且f(x)>0,所 十(%一m)(-m-y)=0,化简得(x1十1)(x。十1) 以-)=a将其代人)--)=2x可 =m2-,代入已知得(x1十1)(xo十1)=(x 得(f(x)2-2xf(x)-1=0,解得f(x)=x十 3)(x。十1)，解得x1=x0一4，故H(x0一4，%)，从而 √x十I或f(x)=x-√十I,因为对于任意实数 HP|=√(x0一4-xo)十0=4，故B正确；垂心H 的轨迹满足x=x。一4与y=yw,消去得y2=4(x十 x均有√+1>|x≥x,所以x-√+1<0，结 4)且x>-3,将其向右平移4个单位得y=4x且x 合f(x)>0,得f(x)=x十√十1.因为f(x)>0, >1,可与C的一部分重合，故C正确：设重心为 利用基本不等式可得fx)十f(-)=fx)十司 1 G.由坐标公式得=。之且为=兰，即 ≥2√)X石=2，故A正确：函数) x=3x2十2且y=3y2,代入抛物线得9y=4(3x2 f(x)-x=√x+1的定义域为R,且g(-x) 十21，即=号+号此轨迹为少=号的矩物线。 3 √（一x)+1=√十1=g(x),所以该函数为偶函 与C不等，平移后不可重合，故D错误.故选ABC 数，故B错误；不等式f(x)>2x等价于√十1> 三、填空题 x,因为对任意实数x,√x+1>x≥x,所以f(x) 12.3【解析】此时y=0:b=十2y=1, b2 1+4 5y,即x >2x恒成立，故C正确；对函数求导可得(x)=1 √x&+I 于十工，因为对于任意实数x均 =3,由≠0得号=3故答案为3. √x+1 13.(-©，-1U(号2）【解析】由题意可知=3a 有√+I>-x≥-x,所以f(x)>0在R上恒 +2a-1十(2-a)i在复平面内对应的点为(3a2+2a 成立，即函数f(x)在R上单调递增，故D错误.故 一1,2一a),由其在第一象限得 选AC. 3a2十2a-1=(3a-1)(a十1)>0 11.ABC【解析】由抛物线C:y2=4x知p=2,焦点 ,可得a的取值范 2-a>0 F(1,0),准线1为x=-1,设点P(xo,y)满足x0> 1且y%=4x0,由定义知FP=x0十1，以F为圆心， 围是(-0，-1DU(号，2).故答案为(-∞，-1) FP为半径的圆为(x-1)2十y2=(x十1)2，令x= U(号2) -1代入得y2=x号+2x0-3,因为x0>1,所以x6+ 2x6-3=(x-1)(x。十3)>0恒成立，故圆与准线1 14.2 【解析】从5个球中依次不放回抽出3个，基本 必有两个不同的交点，设A(-1,m)与B(-1, 事件总数为A=60种，甲说不知道，说明甲看到的 -m),其中m=√/x6十2x-3.易知FA|=FB 不是2个白球，即排除了（红，白，白）这AA=6种 ·%2· 参考答案及解析 数学 情况，剩余54种情况，乙说不知道，说明乙看到的不 即6的取值范围为（号，2）， (13分) 是甲为白球且丙为白球（若如此乙必为红球，对应 16.解：(1)易得Sn+1十(n十1)an+1=4,两式相减， (白，红，白)共AA=6种)，也不是甲为红球且丙 为白球（因（红，白，白）已被排除，若如此乙必为红 得(n十2)an+1=nam, (2分) 球，对应（红，红，白）共AA站=12种)，即排除了这 于是(n十1)(n十2)am+1=n(n十1)an, 18种情况，最终剩余样本空间包含36种基本事件， 可得{n(n十1)a,}为常数列， (4分) 其中满足甲是红球的事件有（红，红，红）的A=6 当n=1时，2a1=4,a1=2, 种与（红，白，红）的AA5=12种，共计18种，故在 故n(n十1)an=2a1=4,am= 4 n(n+1) (6分) 此条件下甲手中是红球的概率为子，故答案为子， (2)n=1时，a产=2√2<3，则T1=3<5; (8分) 四、解答题 n≥2时，a是 8 8 n(n+1)√n(n+1) (n-1)n(n十1) 15.解：(1)由题意知c=1,且ccos A十√5 csin A=2. 17 代入c=1,得cosA十√3sinA=2, (2分) =4[an] (12分) 也即宁osA号nA=1.即sm(A+吾)=1 故工.<3+4×22X3十…+ 「1 入 1 (n-1)n (4分) 因为A为△ABC的内角，所以A∈(0，π)， a]<3+4x-5 综上所述，Tn<5. (15分) 从而A+吾∈（晋，号）， 17.解：(1)第一种情况：三者除以3得到的余数相同， 所以A+若-受，解得A=受 (6分) 此时共C+C十C=6种可能 (2分) 第二种情况：三者除以3得到的余数两两不同，此时 (2)因为△ABC为锐角三角形， 共C×C×C=36种可能， (4分) 所以各内角均小于受，即0<B<受且0<C<受， 故这组数字的和为3的倍数的概率-636 C 又C=元-A-B-罗-B. 20 (6分) 所以0<经-B<受，解得晋<B<号 (2)不妨设这组数从小到大依次为a,b,c, 结合0<B<受，可得晋<B<受 (8分) 则6=a十b士S,即要求2b=a十c 3 (7分) 由正弦定理可得b= sin B 当a为奇数时，显然c应为奇数， sin(管-B) 此时=“安∈N符合要求， 故b= sin B 3 osB+合snB 3.cos B 故只需考虑a与c的情况. sin B 2 而显然a≠9，且当a=1,3,5,7时， (11分) 可得c的取法分别为4,3,2,1种，共10种可能. 因为晋<B<号故易知0<需B, (10分) 当a为偶数时，显然c应为偶数， 此时b=a2∈N符合要求， 所以号<<2， 而a≠10，可得当a=2,4,6,8时，c的取法分别为4， ·%3 数学 参考答案及解析 3,2,1种，共10种可能. (13分)： 19.解：(1)在翻折前的直角△ABP中，已知BHAP, 故标记数字的中位数等于平均数的概率p: 20 垂足为H. 将△ABP沿AP翻折至△ABP的过程中，线段的 合 (15分) 垂直关系保持不变， 所以在△AB'P中有B'H⊥AP, (2分) 18.解：(1)由条件得a干五=2,6=3a, (2分) 根据题意，二面角B'一AP一D为直二面角， 由是品=1得d=1,6=3 即平面AB'P⊥平面APCD. 因为平面ABP∩平面APCD=AP, 可得E的方程为一苦-1 (4分) B'HC平面ABP,且BH⊥AP. (2)(1)显然l的斜率k存在， 由面面垂直的性质定理可得，BH⊥平面ABCD. 记l:y=kx十m,B(x1,y1),C(x2,y2), (5分) 联立=x十m (2)设BP=x,其中0x3. 可得(k2-3)x2十2km.x十m2十3 3x2-y2=3 在直角△ABP中，AB=2, =0,显然k2≠3， (6分) 由勾股定理得AP=√A十x. 而△=4k22-4(k2-3)(m2十3)=12(3十m2-k2) 由等面积法可得BH=AB·BP=2x AP >0, (7分) ·(6分) 经翻折后，四棱锥B-APCD的高即为B'H x1十x2=一 2此时 k2一3 <0得k<3, 2x (9分) √4十xF1 代入知△>0成立.故k的取值范围是（一√W3). 底面APCD的面积为矩形面积减去直角三角形 (10分) 面积. （1)此时3=a十=2号安司 即S=2X3号×2Xx=6-x. 2 =kx1十m-3⊥kx2十m-3 由此可得四棱锥B一APCD的体积V关于x的函 x1-2 x2-2 数为V)=吉S·BH, =(kx十m-3)(x2-2)十(kx2十m-3)(x1-2) (x1-2)(x2-2) 即V(x)=2(6xx2 =2kx12十(m-3-2k)(x1十x2)-4(m-3) 3√4+x2 x1x2-2(x十x2)十4 其中0<x<3, =2k(m2十3)-2km(m-3-2k)-4(m-3)(k2-3) m+3+4km+4(k2-3) (6-2x)/4+x-(6x-x2)· 且V()=2 /4+x =12k+(6m+6)k+12m-36 4十x (15分) 4k2+4km+m2-9 (8分) 得12k+12km十3m2-27=12k+(6m十6)k十12m 整理得V(x)=名.6-2x)(4十x)-x(6x-x2) -36,(2k十m-3)(m-1)=0. 3 (4十x2)2 由点A不在1上有3≠2k十m, -号2四 3(4十x2)立 即2k十m-3≠0，故m=1,于是l过定点(0,1). 因为x2十2x十12=(x十1)2十11>0恒成立， (17分) 故当0<x<2时，V(x)>0,V(x)单调递增； 当2<x<3时，V'(x)<0,V(x)单调递减. ·4· 参考答案及解析 数学 所以当x=2时，V(x)取得最大值，最大值为V(2) 由于(f(4-x1)2-(f(1)=8+2-)2 xi-8x1十20 =2(6×2-2)_1642 3√4+2 3√8 3 (6x1-x)2 ,且(x-8.x1+20)(4+x1)>0恒成立， 4xi 此时BP=2,即点P为线段BC上靠近点C的三等 只需考察D(x1)=(8十2x1一x1)(4十x)-(6x1 分点 (11分) x1)2(x-8.x1十20). (3)由(2)，不妨令f(x)= 6x,其中0<x<3. w/4+x2 展开并化简得D(x1)=16(xi-10x+34xi-44x1 由题意得题目等价于f(x1)=f(x2). +8x1+16), 由(2)中单调性可知，不妨设0<<2<x2<3. 也即D(x1)=16(x1-2)3(x1-4x1-2). 因为x∈(1,2)，所以x1-2<0,从而(x1-2)3<0. 注意到f(1)=5,而f(3)=- 9 (15分) 由于，的取值范围在∈么，3时为（希2）小， 又因为x1-4x1-2=(x1-2)2-6, 且-1<x1-2<0, 9 所以fx1)=f(x2)> >f(1). 所以0<(x1-2)2<1,则(x1-2)2-6<0. √13 所以D(x1)>0,进而得到(f(4-x1)>(f(x1)2, 因为f(x)在区间(0,2)上单调递增， 即f(4-x)>f(). 所以必有x1>1,故x1∈(1,2) (13分) 由于f(x2)=f(x1),得到f(x2)<f(4-x1). 因为x1∈(1,2)， 因为x2∈(2,3)且4-x1∈(2,3)， 所以4-x1∈(2,3)， 而f(x)在(2,3)上单调递减， 要比较f(x1)与f(4-x1)的大小， 所以必有x2>4一x1,即x1十x2>4 由于x1∈(1,2)时，分子6x1-x>0且6(4-x1) 综上所述，BP十BP2>4成立 (17分) (4-x1)2=8十2x1-x1>0. ·%5高三年级5月份学情调研 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知集合A={xx>2},B={xx2-2x-3<0},则AUB= A.{x2<x<3}》 B.{xx>-1} C.{xx<3} D.{xx>2} 2.设甲：a+b>12,乙：ab>36,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 3.若sin(0+）=3则cos(520) 4-日 D.9 4.在等比数列{an}中，a2a5a8=8,a3a6ag=27,则a4= a号 B c号 D号 5.已知椭圆C的右焦点为F,O为坐标原点，其中C的长半轴长为3，P为C上一点，点Q为PF中 点，若△QOF的周长为4，则C的焦距为 A.1 B.2 C.3 D.4 6设偶函数酒足当<0时，/)=1og3)·则之J号 A.26 B.27 C.28 D.29 数学第1页（共4页） 7.模型构建常需要进行正态检验.记随机变量X服从标准正态分布N(0,1),给定区间(，n),若 P(m<X<n)<0.01,则称区间(m,n)具有较好构建度，则下列命题为假命题的为 附：若随机变量Y服从正态分布V(,o2),则P(Y-<σ)≈0.6827，P(|Y-<2o)≈0.9545， P(|Y-u<3o)≈0.9973. A.P(X<0)=P(X>0) B.P(X<4)+P(X<-4)=1 C.区间(2,3)具有较好构建度 D.区间(985,2026)具有较好构建度 8.已知正数x,y满足xe+y=y,则一定有 A<内 B.x>1 e C.y≤1 D.y≥1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin(orx+琴)-3cos(orx+)的最小正周期为2，w>0,则 A.f(x)的值域为[-1,1] B.f(x+)是偶函数 C.曲线y=f(x)与y=2πx相切 D.前线y=f)关于(0)对称 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0,且对于任意实数x,均有f(x)f(一x)=1,f(x) f(一x)=2x,则 A.f(x)+f(-x)≥2 B.y=f(x)一x为奇函数 C.f(x)>2x恒成立 D.f(x)在R上单调递减 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1.若动点P在C上且横坐标大于1，以F为圆心， FP为半径作圆，与1交于A,B两点.则 A.△PAB的外接圆与C有两个交点 B.△PAB的垂心到P的距离恒为4 C.△PAB的垂心的运动轨迹经平移后可与C部分重合 D.△PAB的重心的运动轨迹经平移后可与C部分重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知平面向量a=(x,y)在b=(1,2)上的投影向量为yb,xy≠0，则工= 13.已知复数z=3a2+2a一1十(2一a)i,a∈R在复平面内对应的点位于第一象限，则a的取值范围 为 14.已知袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球.甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放 回).三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球.此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜 色的球.”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球.”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则 在此条件下，甲手中是红球的概率为 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=1,ccos A+√3 csin A=2,且△ABC为 锐角三角形， (1)求A; (2)求b的取值范围. 16.(本小题满分15分) 记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sm十nam=4. (1)求{am}的通项公式： (2)记Tm为数列{a房}的前n项和，证明：Tm<5. 17.(本小题满分15分) 进行抽卡游戏，现从标有1,2,3，…，10的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，记录它 们标记的数字， (1)求标记数字的和为3的倍数的概率； (2)求标记数字的中位数等于平均数的概率. 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) x2 y 已知双曲线E:言=1(a,b>0)的离心率为2，其上有一点A(2,3). (1)求E的方程； (2)直线1与E的左，右两支分别交于B,C两点，点A不在1上. (ⅰ)求I斜率k的取值范围； (ⅱ)若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：l过定点. 19.(本小题满分17分) 已知矩形ABCD中，AB=2,BC=3.点P在边BC上运动（不与B,C重合），将△ABP沿AP 翻折到△AB'P,使得二面角B'一AP一D为直二面角.在平面ABCD内作BH⊥AP,垂足为H.记 四棱锥B一APCD的体积为V. (1)证明：BH⊥平面ABCD; (2)求V的最大值及此时点P的位置； (3)若存在两个不同的位置P1,P2,使得对应的V相等，证明：BP1十BP2>4. 数学第4页（共4页）】