广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试题

**基本信息** 高三三模数学试卷，覆盖集合、函数、几何等核心知识，通过汽车模型抽奖等现实情境及导数切线证明等综合问题，考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、数列充要条件等|基础概念辨析，如第3题结合数列单调性考查充要条件| |多选题|3题|频率分布直方图、抛物线综合等|选项分层，如第11题正四棱柱轨迹问题融合几何直观| |填空题|3题|二项式定理、贝叶斯公式等|应用导向，第14题以贝叶斯公式解决零件次品概率| |解答题|5题|解三角形、立体几何翻折等|综合创新，17题汽车模型抽奖情境融合概率与期望，19题导数切线证明体现逻辑推理|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年度第二学期高三年级总复习质量调查(三) 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 3.已知是无穷等比数列,则“对任意正整数,都有”是“数列是严格减数列”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.已知函数的图象关于原点对称,则( ) A. B. C. D. 5.如图,平行四边形中,,作如下图所示网格,使得每个小平行四边形都是菱形,若,则=( ) A. B. C. D. 6.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名,进球数的平均值和方差分别是4和3.6,其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8,女生进球数的平均值为3,则女生进球数的方差为( ) A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8 7.已知平面直角坐标系中两个定点,,如果对于常数,在函数,的图像上有且只有6个不同的点,使得成立,那么的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知一几何体上半部分为圆台,下半部分为圆锥,其中圆锥底面的半径为,高为.圆台的两底面的半径分别为和,高为.该几何体内接于表面积为的球,则圆台的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛,按得分(满分100分)绘制如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图,并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为,.从高一和高二年级各随机抽取一名学生,记事件“高一年级学生得分不低于60分,高二年级学生得分不低于80分”,事件“高一年级学生得分不低于80分,高二年级学生得分不低于60分”则( ) A. B. C.事件,互斥 D. 10.如图,阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形,因其形似四叶草,故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为A,B,C,D.已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为,过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点,分别记最下方和最上方的交点为P,Q,且,则( ) A.开口向下的抛物线的焦点坐标为 B.曲线E上两点间距离的最大值为 C.点不在曲线E的内部 D.直线l的斜率为 11.正四棱柱中,,,点为侧面内一点,则( ) A.若直线与直线所成角为,则点的轨迹为双曲线的一部分 B.若直线与直线所成角为,则点的轨迹为椭圆的一部分 C.若点到直线的距离等于到直线的距离,则点的轨迹为抛物线的一部分 D.若,则点的轨迹长度为 三、填空题 12.已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等,则展开式中含项的系数为_(用数字作答) 13.已知数列的前项和为,若,且,则_. 14.托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:,这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理,其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件,第台加工的次品率为,第,台加工的次品率均为,加工出来的零件混放在一起,已知第,,台车床加工的零件数分别占总数的,,,任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是第台车床加工的概率是_. 四、解答题 15.记的内角的对边分别为,已知. (1)求角; (2)若的面积为,且. ①求的周长; ②求. 16.如图,在矩形中,,分别是的中点,点分别是对角线上的动点(不包括端点),且,将四边形沿翻折,使平面平面. (1)求证:平面; (2)求线段的长(用表示); (3)当线段的长最小时,求平面与平面夹角的余弦值. 17.下表为某汽车模型公司的产品分类,共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如表所示: 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件为小明取到的模型为红色外观,事件为取到模型有棕色内饰.求; (2)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动,并规定,在一次抽奖中,每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型,现作出如下假设: 假设1:每人抽取的两个模型会出现三种结果:①两个模型的外观和内饰均为同色;②两个模型的外观和内饰均为不同色;③两个模型的外观同色但内饰不同色,或内饰同色但外观不同色. 假设2:该抽奖设置三类奖,奖金金额分别为:一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元. 假设3:每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小,奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是,写出的分布列,并求的数学期望. 18.已知角的顶点为,在的两边上截取,连接,在线段上取一点,使得,记的中点为,以为中心,为顶点作离心率为2的双曲线,以为圆心,为半径作圆,与双曲线左支交于点(射线在内部),则.在上述作法中,以为原点,直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,若,点在轴的上方. (1)求双曲线的方程; (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点,点到直线的距离为. 证明:①为定值; ②. 19.已知函数,曲线在点处的切线记为. (1)求函数的最小值; (2)当时,证明:除切点外,直线 曲线的下方; (3)设过点的直线与直线垂直,与轴交点的横坐标分别是,若,求的取值范围. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 《