专题11 二次函数综合题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第二部分 专题突破 加 专题十一二次函数综合题 分类探究 类型一二次函数与线段、面积问题 例1(2024·南山区二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2十bx十c的图象与x 轴交于A,B点，与y轴交于点C(0,3),点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P在直线CB上方运动，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标 和△BPC面积的最大值. (3)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形？若存在，请 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. B 315 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式1(2025·罗湖区校级模拟)在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都 在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的 “美好矩形” 例如：如图1，已知△ABC,矩形ADEF,AD∥x轴，点B在DE上，点C在EF上，则矩形 ADEF为△ABC的美好矩形， (1)如图2，矩形ABCD是函数y=2x(一1≤x≤1)图象的美好矩形，求出矩形ABCD的面积； (2)如图3，点A的坐标为(1,4)，点B是函数y=4(x>0)图象上一点，且横坐标为m,若函数图象在 A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值； (3)对于实数a,当a≤x≤a十2时，函数y=x2一6.x图象的美好矩形恰好面积为6，请直接写出a的 值为 A(1,4) 0 图1 图3 备用图 名师点拨：1.线段：化斜为直；2.面积：①割补法；②铅垂法；③平行转化；④面积之比转化为底之比或 高之比 316 第二部分 专题突破 类型二二次函数与存在性问题（特殊三角形、四边形、相似三角形） 例2(2025·罗湖区二模)如图1，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点. ①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D,设△PCD的面积为S1,△ACD面 积为5治容-号求点P坐标： ②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC于点F,点Q是对称轴上的一个 动点，是否存在以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐 标若不存在，请说明理由. 图2 图3 317 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式2(2025·天河区校级二模)如图，二次函数y=ax2十bx十2的图象与x轴交于A(-1, 0),B(4,0)两，点，与y轴交于点C,一次函数y=mx十n经过点B,C.点P是直线BC上方二次函数 图象上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,连接CP. (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接BP,连接AP交BC于点M,记△ABM面积为S1,△PBM面积为S2,在点P运动的过程 中，判断是否作在最大值，者行在，术山其最大值，岩不你在，请说明理由。 D 名师点拨： 1.三角形存在性：①等腰三角形：两圆一线；②直角三角形：两圆一线；③等腰直角三角形：一线三等角； 2.四边形存在性：①平行四边形存在性：xA十xc=xB十xD,yA十yc=yB十yD ②矩形的存在性问题一般转化为直角三角形存在性问题； ③菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形存在性问题； ④正方形的存在性问题一般转化为等腰直角三角形存在性问题， 318 第二部分 专题突破 类型三二次函数代数推理 例3(2025·龙华区二模)如图，已知二次函数y1=一x2十4x的图象与x轴交于点O,A. (1)线段OA的长度为； (2)将函数y1的图象沿x轴正方向平移m(m>0)个单位得到函数y2的图象，平移后点O,A的对应 点为B,C.当点A在点B的左边时，函数y1,y2的图象交于点P,若AB=2,求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，过y1的图象顶点作x轴的平行线l,将直线1向下平移，当直线1与函数y1,y2 的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,x4,请判断x4 一x3十x2一x1是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由. 319 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式3(2023·宝安区二模)新定义：若函数图象恒过点(m,n),我们称(m,n)为该函数的“永恒 点”.如：一次函数y=k(x一1)(k≠0)，无论k值如何变化，该函数图象恒过点(1,0)，则点(1,0)称为 这个函数的“永恒点” 【初步理解】一次函数y1=mx十3m(m>0)的永恒点的坐标是 【理解应用】二次函数y2=一mx2一2m.x十3m(m>0)落在x轴负半轴的永恒点A的坐标是 ,落在x轴正半轴的永恒点B的坐标是 【知识迁移】点P为抛物线y2=-一m.x2一2mx十3m(m>0)的顶点，设点B到直线y1=mx十3m (m>0)的距离为d1,点P到直线y1=mx十3m(m>0)的距离为d2,请问是否为定值？如果是，请 d, 求出的值；如果不是，请说明理由。 d, 名师点拨：1.二次函数基本性质；2.数形结合；3运用代数变形；4.关注特殊，点与对称性 巩固提升 1.(2025·秦都区校级模拟)已知抛物线C1:y=x2+2x十c,抛物线C2与C1关于x轴对称，两抛物 线的顶点相距5，则c的值为 ) A号 c n8好 2.(2025·西安模拟)已知二次函数y=ax2+4ax十c(a≠0)，当x>一1时，y随x的增大而增大，点 A(x1,y1),B(x2,y2)在该函数图象上，若x1十x2>一1，x1>x2,则y1与y2的大小关系是( A.y>y2 B.y<y2 C.y1=y2 D.无法判断 320 第二部分 专题突破 3.(2025·福田区三模)如图，坐标平面内，点A是抛物线y=x2上异于点O的任 点，A0与抱物线)=2x的交点记为A,现请你考查9这一比值，它是香会 随着点A的位置改变而发生改变？若改变，说明比值变化的规律；若不变，请说 出该比值大小.下列对上述问题的回答正确的是 A.改变；该比值会随x的增大而增大 B.改变；该比值会随x|的增大而减小 C.不变；比值大小为2 D.不变；比值大小为√2 1 4.(2025春·梁魂区校级月考)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=一2x+3与x轴交于 点B,与y轴交于点C,二次函数y=ax2十x十c的图象过B,C两点，且与x轴交于另一点A. (1)求二次函数的表达式； (2)点E是二次函数y=ax2十x十c图象上位于直线BC上方的动点，过点E作直线BC的垂线，垂 足为F. ①求EF的最大值； ②当以C,E,F为顶点的三角形与△AOC相似时，请直接写出点E的坐标. 321 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 5.(2025·宝安区校级二模)(1)特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点A(2,3),点A关于坐标原点O的中心对称点的坐标是 在平面直角坐标系中已知点B(3,4),点B关于坐标点（一1,0）的中心对称点的坐标是 在平面直角坐标系中，已知点C(3,4),点C关于坐标点(m,n)的中心对称点的坐标是 (2)特例启发，引发思考：点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢？ 定义：对于抛物线C1:y=ax2+bx十c(a≠0)，以点M(m,n)为中心，作该抛物线关于点M中心 对称的抛物线C2,则称抛物线C2为抛物线C1关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中 心”.例如：如图1，抛物线C1:y=(x一4)2十3关于点M(0,1)的“中心镜像抛物线”为C2:y= 一(x+4)2一1，点M(0,1)为“镜像中心” ①如图2，当m=n=0时，直接写出抛物线y=x2+2x十3关于点M的“中心镜像抛物线”的函 数表达式 ②已知抛物线C1:y=一x2一4x十5，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰 好落在抛物线C1关于点M的“中心镜像抛物线”C2:y=x2十bx十8的图象上，求“镜像中心” 点M的坐标； (3)拓展结论，思维提升：已知抛物线C1:y=x2一2tx十5关于点M(t,2)的“中心镜像抛物线”为 C2,当0≤x≤1时，C2最大值与最小值的差为3，直接写出t的值. ,1 (x-4)2+3 y↑，y=x+2x+3 O(M C2y=-(x-4)2-1 图1 图2 备用图 322 第二部分专题突破 加 (第5题答题区) 323(2)解：如答图2，延长CD到点G,使DG=AE,连接OG 由(1)可知四边形CDOE是正方形，.OD=OE, OE=OD, 在△ODG和△OEA中 ∠E=∠ODG=90°， AE=GD, ∴.△ODG≌△OEA(SAS),.∠GOD=∠AOE,OG=OA. .∠C=90°，∴.∠BAC+∠CBA=90°， ∴.∠BAE+∠ABD=270°， 又，AO,BO分别平分∠BAE和∠ABD, ∴.∠BAO+∠OBA=135°，.∠AOB=45°， '.∠EOA+∠BOD=45°， ∴.∠GOD+∠BOD=45°，即∠GOB=45° OG=OA, 在△GOB和△AOB中，J∠GOB=∠AOB=45°， OB=OB. .△GOB≌△AOB(SAS),.BA=BG=BD+AE=3+2=5, 设CE=CD=x,∴.BC=x-3,AC=x-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2十AC2-AB2, ∴.(x-3)2+(x-2)2=52, 解得x1=6,x2=一1（不合题意，舍去），.CE=6. 3.①(1)证明：AF=BF,EF=DF, .四边形ADBE是平行四边形， AF=EF,..AF=BF=EF=DF, ∴.AF十BF=EF+DF,即AB=DE, ∴.平行四边形ADBE是矩形： (2)解：由(1)可知，四边形ADBE是矩形， ∴.∠ADB=90°，AE∥BD,∴.∠ADC=90°， ,AC∥ED,∴.四边形ACDE是平行四边形， ..CD=AE=5,AC=DE, .'tan C=12_AD 5CD-12, ∴.AC=√/AD2+CD2=√12+5=13，.DE=13 DF=号DE=号，即线段DF的长为号 4.解：(1)理由如下：如答图，连接OC, D :AC平分∠BAE,∴∠EAC=∠OAC, E .OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, .∠EAC=∠OCA,∴.AE∥OC, CD⊥AE,∴.OC⊥CD 而OC为⊙O的半径， 答图 '.直线CD是⊙O的切线；故答案为AC平分∠BAE; (2)如答图，CM为所作， .AC平分∠EAB,CD⊥AE,CG⊥AB, ∴CD=CG,∠EAC=∠OAC,∴.CE=CB,CE=CB, 在Rt△CDE和Rt△CGB中，CE=CB, CD=CG, ∴.Rt△CDE≌Rt△CGB(HL),.DE=BG=2, :∠ECD+∠DEC=90°，∠B+∠BAC=90°， 而∠B=∠DEC,∠BAC=∠EAC,∴.∠ECD=∠EAC, '∠CDE=∠ADC,.△DCE∽△DAC, .DC:DA=DE DC, 3 参考答案 即DC:(2+4)=2:DC,解得DC=2√3. 5.(1)证明：如答图，连接OC,则OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, :过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D, ∴.OC⊥CD,∴.∠BCD+∠OCB=90°， AB为直径，.∠ACB=90°，∠OCA+∠OCB=90°， ∴∠OCA=∠BCD,∴.∠CAB=∠BCD, EC=BC,∴.∠CAE=∠CAB=∠BCD, ,∠CAB=∠EBC,.∠EBC=∠BCD,∴，BE∥CD; (2)解：设半圆O的半径为r,则OC=OB=r, ,BD=1,∴.OD=r+1, :ocLCD,∴sinD=O那，+3' OC r 2 .r=2,即半圆O的半径为2，.AB=2r=4, 如答图，连接AE,则∠AEB=90°， 答图 .BE∥CD,.∠ABE=∠D, ∴.sin∠ABE=sinD _AE_AE-2 、AB=4=3，∴.AE=3、】 BE-ABT-AET45 3 :EC-BC,∠EAF-∠BAF,AF平分∠BAE, ∴，F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长， 2AE·EF EF.EF AE 2.EF2 S△ABF TAB.EF BFBAB=3小距=行 EF=号E-8 51 专题十一二次函数综合题 分类探究 例1解：(1)将B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得 -9+3b+c=0 解得62， c=3, c=3, 二次函数的解析式为y=一x2+2x十3. 答：二次函数的解析式为y=-x+2x十3. 答图1 答图2 (2)如答图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q, 设P(x,-x2+2x十3)，直线BC的解析式为y=mx十n,将 (n=3,解得m1, 点B(3,0),C(03)代入得3m十n=0, 1n=3, 直线BC的解析式为y=-x十3，则Q(x,一x十3)， i.Sacm-Sam+Saco-QPOB-+3)X3 1 9 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） =-()+ 当x=时，△CPB的面积最大， 此时，点P的坐标为（会，）△CPB的商积最大为号 (3)存在.如答图2，设点P(x,-x2+2x+3),PP'交C0于点 E,若四边形POP'C是菱形，则OP-PC,连接PP',则PE1 0C,0E=CE=2, 3 8+2x+3=解得，= 2+√102-√10 2 x2= 变式1解：(1)：矩形ABCD是函数y=2x(-1≤x≤1)图象 的美好矩形，当x=1时，得y=2; 当x=一1时，得t=一2，.A(1,2),C(-1,一2)， .B(-1,2),D(1,-2),.AB=2,BC=4, ∴.S地形ABCD=2X4=8; (②设矩形ACBD是其英好矩形，B(,)c(,合) ∴.AC=4 4 ,BC=|m-1|, m 4 '.S矩形ABcD一 ·1m-1=4(m-1)2 =9, m m 解得m-4或好； (3)a的值为√5+1或3一√5；理由如下： y=x2-6x=(x-3)2-9,对称轴为直线x=3, ①当a+2<3即a<1时，如答图1，，美好矩形恰好面积为6，a ≤x≤a十2，即A,B的横坐标之差为2，∴矩形的两个端点B,C 的纵坐标之差为3，∴.B(a,a2一6a), ".BC=3,..C(a,a2-6a-3),.CD//AB,CD=AB=2, .D(a+2,a2-6a-3), 又，D在抛物线y=x一6x上， 5 六a2-6a-3=(a+2)2-6(a+2),解得a=4（舍去)， D C D 答图1 答图2 答图3 当a>3时，如答图2，同理可得，A(a+2,(a十2)2-6(a+ 2),AD=3,D(a+2,(a+2)2-6(a+2)-3), ∴.C(a,(a+2)2-6(a+2)-3), 又，C在抛物线y=x2一6x上， (a+2)-6a+2)-3=g-6a,解得a-号（会去）： ②如答图3，当a<3<a+2,即1<a<3时， ∴.C(a,-9),D(a+2,-9), AD=BC=3,A(a+2,-6),B(a,-6), 当A在抛物线y=x2-6x上时，-6=(a+2)2-6(a十2)， 解得a=√3+1或a=1-√3（不合题意，舍去）， 当B在抛物线y=x2一6x上时，将点B的坐标代人得 一6=a2-6a,解得a=3-√3或a=√3+3（不合题意，舍去）， 综上所述，a的值为√3十1或3一√3. 例2解：(1)由题意得：y=a(x+1)(x一3)=a(x2-2x-3), 则-3a=3,则a=-1, 则抛物线的表达式为y=一x2+2x十3； (2)①y=一x2十2x十3，.点C坐标为(0,3)，由点B,C的 坐标得，直线BC的表达式为y=一x十3. 过P作PM⊥x轴交BC于M,过A作AN⊥x轴交BC于 N,如答图1， AN∥PM,∴.△PMD∽△AND,∴.PD:AD=PM:AN, S:S2=PD AD=MP:AN=1:2, 设P(m,-m2+2m十3)，则M(m,-m+3), ∴.PM=-m2+2m+3-(-m十3)=-m2+3m, A(-1,0),.N(-1,4),AN=4, .(-m2十3m):4=1:2,∴.m=1或2， .点P的坐标为(1,4)或(2,3)； ↑y y↑ MBX AOEGB 答图1 答图2 答图3 ②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G,如答图2， y=一x2+2x十3的对称轴为x=1,.OE=1, .B(3,0),C(0,3),∴.OC=OB=3, 又∠COB=90°，∴△OCB是等腰直角三角形， .∠EFB=90°，BE=OB-OE=2, ∴，△EFB是等腰直角三角形， .FG=GB=EG=1,点F的坐标为(2,1)，当EF为边时， ,四边形EFPQ为平行四边形， '.QE=PF,QE∥PF∥y轴， 点P的横坐标与点F的横坐标同为2， 当x=2时，y=-22+2×2十3=3，∴.点P的坐标为(2,3)， ∴.QE=PF=3一1=2，点Q的坐标为(1,2)， 根据对称性当P(0,3)时，Q(1,4)时，四边形EFQP也是平行 四边形. 当EF为对角线时，如答图3， ,四边形PEQF为平行四边形， ∴.QE=PF,QE∥PF∥y轴， 同理求得：点P的坐标为(2,3)， .QE=PF=3一1=2，点Q的坐标为(1，一2). 综上，点Q的坐标为：(1,2)或(1，-2)或(1,4). 变式2解：(1)二次函数y=ax2+bx十2的图象与x轴交于 A(一1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C, 0 将点A,点B的坐标代人得 (a-b+2=0, 16a+4b+2=0, 1 2 1 解得 心二次函数解析式为y=?x+号 3 2x+2. 当x=0时，得y=2,.C(0,2),一次函数y=mx+n过点 B(4,0)和C(0,2),将点B,点C的坐标分别代人得 1 (4m十n=0, 解得 m=-2’ n=2, (n=2, ·一次函数解析式为y=一2x十2 1 【2)依题意，可设P(x,一号+3+2，则Ex,-?x十2D 过点C作CF⊥PE于点F,如答图1， :△CEP是以PE为底边的等腰三角形， PF-FE,CF∥x轴， 1 F的纵坐标为2， 2 2, 即有-号+：=0，解得x=0合去)减1=2，P2,3 (③)g存在最大值：理由如下。 △ABM面积为S,△PBM面积为S2,受-) 如答图2，过A作AQ∥y轴交BC于Q,而直线PD⊥x轴， ∴.PE∥y轴，则PE∥AQ,∴.△PEMp△AQM, ..PM_PE AM AQ A(-1,0),直线BC为y=-2x+2, x=-1w=-合×(-1+2-号即Q(-1,受） AQ=2 5 3 PE=-zx2+2x+2+2x-2= 1 2x2+2x, ,点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点， 1 0<x<4,而二写<0，则令有最大值 4 当x= 2x(- 、-2时，的最大值为号 例3解：(1)令y=0得，x=0或4，∴.A(4,0), .OA=4.故答案为4； (2)解法一：，·平移前后图象均是轴对称图形， 整体为轴对称图形，对称轴经过点P, 2 :0A=4,AB=2,x,=4+乞=5， 参考答案 点P在y1=一x2十4x的图象上， yp=-52+4×5=-5,P(5,-5). 解法二：，y1=-x2十4x,当y1=0时，一x2十4x=0, 解得x1=0,x2=4,∴.0(0,0)，A(4,0), AB=2,.B(6,0),C(10,0), .平移后函数为y2=一(x一6)(x一10)=一x2+16x一60， .二一x2十4x·解得x一5，.P《5,一5). y2=-x2+16x-60, (y=-5, (3)存在，最大值为12： 当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得 xg一x1=6,x4-x2=6, x1<x2<x3<x4,x2-x1<x8-x1,x4-x3<x4-x2, ∴.x2-x1<6,x4-xs<6,x4-x8十x2-x1<12; 当直线位于点P下方时，根据平移的性质可得 x2-x1=6,x4-x3=6,.x4-x3十x2-x1=12; 综上，x4一x十x2一x1≤12，所以x4一xa十x2-x1存在最大 值12. 变式3解：【初步理解】，y1-mx十3m=m(x十3)， 无论m值如何变化，该函数图象恒过点（一3,0）， ∴.一次函数y1=mx十3m(m>0)的永恒点的坐标是（一3,0）， 故答案为（一3,0）； 【理解应用】y2=一mx2一2mx+3m=-m(x8+2x一3)=一m(x +3)(x-1),当x=-3或x=1时，y=0, ∴.无论m值如何变化，y2=一mx2一2mx十3m恒过定点（一3,0） 和(1,0)，A(-3,0),B(1,0).故答案为（一3,0），(1,0)； 【知识迁移会为定值， y2=-mx2-2mx十3m=-m(x十1)2+4m, ∴.顶点P(-1,4m),B(1,0), 如答图，分别过点P,B作直线y1 =m.x十3m(m>0)的垂线，垂足 为Q,C, 则d1=BC,d2=PQ, ∠PQE=∠BCF=90°， 作PE∥y轴交直线y1=mx+3m (m>O)于点E,作BF∥y轴交直 答图 线y1-mx+3m(m>0)于点F,则∠PEQ-∠BFC,E(一1， 2m),F(1,4m), .PE=yp-yE=2m,BF=yr-y8=4m. :∠PQE=∠BCF=90°，∠PEQ=∠BFC, :△P0 C.%3--22:-2 巩固提升 1.D2.A3.C 4.解：(1)当x=0时，y=3,.C(0,3), 当y=0时，x=6,.B(6,0), 将点B,C代人y=ax2十x十c中， /36a+6+e=0, /c=3, 1 得 c=3, -1,心y=-有x+x+3 a=-4 (2)①如答图，过点E作EG∥y轴交BC于点G,设Em, 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） m2+m+3则G(m,-m+3）: X BC X EF =1 1 'SACE= ×6 ×(m2+m+3+m-）小， 0m-3)2+96 EF=-5 10, 答图 当m=3时，EF有最大值95 109 ②当y=0时，-有x十x+3=0,解得x=-2或x=6, ∴.A(-2,0),∴.AC=13,A0=2,C0=3, “E(m,+m+3）CE=m√6 1 2m+2, CO AC 当△AOC∽△CFE时，EF=CE' √/13 10(m2-6m) 1 1 m√16m 2m+2 解得m=12 /12195 或m=36(舍)心E（7,49) 当△AOCn△EFC时，EF-EC, AO AC 2 √/13 10(m2-6m) 1 2m+2 /755\ 解得m=2或m=11(舍)∴E2,6): 综上所达，E点坐标为（告罗）或（名·）】 5.解：(1)设A(2,3)关于坐标原点O的中心对称点的坐标是(p, q),则点(0,0)是点(2,3)和(m,n)为端点的线段的中点， :P十2=2X0解得=一2：点A关于坐标原点0的中 1q+3=2×0, (=-3, 心对称点的坐标是（一2，一3）； 设B(3,4)关于点(-1,0)的中心对称点的坐标是(p',q), 则点(-1,0)是点(3,4)和(p′，q')为端点的线段的中点， 3+p'=2X(-1) 14+q'=2×0, 解得p'=一5， {g'=-4, .点B关于坐标点（一1,0）的中心对称点的坐标是（一5，一4）： 设点C关于坐标点(m,n)的中心对称点的坐标是(p",q”), 同理可得/3+p”-2m 4+g"=2n, 解得p=2m-3, g"=2n-4, .点C关于坐标点(m,n)的中心对称点的坐标是(2m一3,2m一4)： 故答案为(-2，一3)，(-5，-4)，(2m-3,2n-4)； (2)①当m=n=0时，设抛物线y=x2十2x十3上任意一点(t, t2+2t+3)关于M(0,0)的对称点为(e,f), 同(1)可得+e=0, 。解得est, t2+2t+3+f=0,{f=-t2-2t-3, ∴(t,t+2t十3)关于M(0,0)的对称点为(-t,-t2-2t-3), 令x=-t,y=-t2-2t-3,可得t=-x, 把t=-x代入y=-t2-2t-3得 4 y=-(-x)2-2(-x)-3=-x2+2x-3, 抛物线y=x2十2x十3关于点M的“中心镜像抛物线”的函 数表达式为y=一x2+2x一3； 故答案为y=一x2+2x一3； ②：y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9, ∴抛物线C1:y=一x2-4x十5顶点坐标为(-2,9)， 将（一2,9）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可得点 (1,5),把(1,5)代入y=x2+bx+8得5=1+b+8,解得b= 一4，∴抛物线Cg的解析式为y=x2-4x十8， 设(h,一h2-4h十5)为抛物线C1:y=-x2-4x十5上任意一 点，“镜像中心”点M坐标为(m,n), 可知(h,一h2-4h+5)关于(m,n)的对称点为(2m-h,2m+ h3+4h-5), 令x=2m-h,y=2n+h2+4h-5,可得h=2m-x, 把h=2m-x代入y=2n十h2+4h-5得：y=2n+(2m-x) +4(2m-x)-5=x2-(4m+4)x+4m2+8m+2n-5, 抛物线C1:y=一x2-4x十5关于点M(m,n)的“中心镜像 抛物线”为y=x2-(4m十4)x十4m2+8m十2n-5, .抛物线Cg的解析式为y=x2一4x+8,.一(4m+4)=一4， 13 且4m2+8m+2m-5=8,解得m=0,n=2, :“镜像中心”点M的坐标为0,2) 131 (3)设(g,g-2tg+5)为抛物线C1:y=x2-2tzx+5上任意一 点，(g,g2-2tg十5)关于点M(t,2)的对称点坐标为(2t-g, -g2+2tg-1), 令x=2t-g,y=-g2+2tg-1,可得g=2t-x,把g=2t-x 代入y=-g2+2tg-1得y=-(2t-x)2+2t(2t-x)-1= -x2+2tx-1, ∴.抛物线C1:y=x2-2tx十5关于点M(t,2)的“中心镜像抛 物线”C2的解析式为y=一x2十2tx一1， y=-x2+2tx-1=-(x-t)2+t2-1, .抛物线Cg的顶点为(t,t2一1)， 在y=-x2十2tx-1中，令x=0得y=-1, 令x=1得y=2t-2, 当t<0,即抛物线Cz的对称轴在y轴左侧时， :当0≤x≤1时，C:最大值与最小值的差为3，抛物线开口向 下，.-1-(2t-2)=3,解得t=-1; 当0≤：<2时，：当0<x≤1时，G,最大值与最小值的差为 3,抛物线开口向下，.t2一1一(2t一2)=3，解得t=1十√3（舍 去)或t=1一√3（舍去）： 当号<<1时，：当0<x<1时，C,最大值与最小值的差为 3,抛物线开口向下， ∴t2-1-(-1)=3,解得t=√3（舍去）或t=-3(舍去)： 当t>1时，：当0≤x≤1时，C2最大值与最小值的差为3，抛 物线开口向下，∴.2t-2-(一1)=3，解得t=2; 综上所述，t的值为一1或2.